Transcript Ch**ng 1. Bi*n c* và xác su*t c*a bi*n c*

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
• 45 tiết=15 buổi=7 chương
• Slide của giảng viên: (bắt buộc)
– Lí thuyết
– Bài tập
– Đề tham khảo
• Tham khảo: (tùy chọn)
–
–
–
–
Xác suất thống kê và ứng dụng Lê Sĩ Đồng
Thống kê Ứng dụng Chu Nguyễn Mộng Ngọc
Xác suất thống kê Nguyễn Thành Cả
Xác suất thống kê Phan Khánh Luận
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
1
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT
• Chương 1: Biến cố – Xác suất – Các định lý
• Chương 2: Biến ngẫu nhiên một chiều – Qui luật
phân phối xác suất
• Chương 3: Các qui luật phân phối xác suất
thông dụng
• Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều
• Chương 5: Luật số lớn
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
2
Kiểm tra giữa kì
• Hình thức: tự luận (50%) + trắc nghiệm (50%)
• Tự luận: chương 1, 2, 3
• Trắc nghiệm: chương 4,5
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
3
THỐNG KÊ CƠ BẢN
• Chương 6: Lý thuyết mẫu
• Chương 7: Ước lượng tham số
• Chương 8: Kiểm định giả thuyết
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
4
Thi hết học phần
• Hình thức: trắc nghiệm + Tự luận
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
5
Yêu cầu giảng viên
• Đến lớp phải học bài
• Phải làm bài tập về nhà
• Phải tham gia ít nhất 12 buổi (được vắng nhiều
nhất 3 buổi)
• Kí tên điểm danh trước khi ra khỏi lớp
• Tuân thủ nghiêm ngặt các qui định của giáo
viên về thi cử…
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
6
Dặn dò
• Đây là môn học khó
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
7
CHƯƠNG 1
BIẾN CỐ – XÁC SUẤT
CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
8
Phép thử ngẫu nhiên
• Khi ném một hòn đá lên trời, chắc chắn hòn đá
sẽ rơi xuống Đây là phép thử không ngẫu
nhiên
• Khi tung một cục xúc sắc, ta không biết chắc
chắn mặt ngửa có mấy chấm Đây là phép thử
ngẫu nhiên.
• LT xác suất nghiên cứu các phép thử ngẫu nhiên
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
9
Phép thử ngẫu nhiên
• Là các thí nghiệm, quan sát mà kết quả của nó
không thể dự báo trước được.
• Kí hiệu: T.
• Ta có thể liệt kê hoặc biểu diễn được tất cả các kết
quả của phép thử.
• Ví dụ:
–
–
–
–
Tung một đồng xu, quan sát mặt ngửa.
Gieo 100 hạt giống và quan sát số hạt nảy mầm.
Quan sát số người vào siêu thị trong một giờ
….
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
10
Biến cố sơ cấp – Không gian mẫu
• Các kết quả của phép thử được gọi là các biến
cố sơ cấp (bcsc). Kí hiệu: wi
• Không gian mẫu: tập hợp tất cả các biến cố sơ
cấp. Kí hiệu: Ω
• Ví dụ: T : gieo một đồng xu
• Không gian mẫu là:
Ω={S, N}
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
11
Biến cố (sự kiện)
• Khi gieo một con xúc sắc sẽ ra số chấm lẻ nếu
kết quả là ra mặt có số chấm thuộc {1, 3, 5}.
Như vậy các kết quả (bcsc) này thuận lợi cho sự
kiện ra số chấm lẻ.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
12
Biến cố (sự kiện)
• Một biến cố (bc) liên quan đến phép thử T là
một sự kiện mà việc nó xảy ra hay không xảy ra
tùy thuộc vào kết quả của phép thử T.
• Kí hiệu: chữ cái in hoa A, B, C,…, A1, A2,…
• Kết quả w của T được gọi là thuận lợi cho biến
cố A nếu A xảy ra khi kết quả của T là w.
• Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A kí
hiệu là: ΩA
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
13
Biến cố (sự kiện)
• Ví dụ: T: tung một cục xúc sắc
• B: bc ra số chấm chẵn thì ta có: ΩB={2, 4, 6}
Chú ý:
• Mỗi bc A tương ứng với một và chỉ một tập con
ΩA  Ω.
• Mỗi biến cố sơ cấp w cũng là một biến cố.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
14
Ví dụ 1
• T1: Tung một đồng xu
Ω1={S; N} hay Ω1={w1; w2}
• T2: Tung hai đồng xu phân biệt
Ω2={SS; SN; NS; NN} hay Ω2={w1; w2; w3; w4}
• T3: tung 10 đồng xu phân biệt.
– Hỏi: có bao nhiêu bcsc? Biểu diễn KG mẫu?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
15
Ví dụ 1
• Số bcsc: 1024=210
• Biểu diễn:
3  a1a2 ...a10 ai S , N 
• Hay:
3  a1a2 ...a10 ai 0,1
– Với qui ước: 0 là sấp và 1 là ngửa
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
16
Ví dụ 2
Tung ngẫu nhiên 2 đồng xu phân biệt
•
•
•
•
•
•
•
A=“Có ít nhất một đồng sấp”
B=“Số đồng ngửa nhiều hơn”
C=“Số đồng ngửa bằng số đồng sấp”
D=“Nhiều nhất hai ngửa”
E=“Trời hôm nay không mưa”
F=“Hôm sau thầy bị ốm”
G=“Số đồng ngửa gấp đôi số đồng sấp”
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
17
Biến cố đặc biệt
• Bc không thể: là bc không bao giờ xảy ra khi
thực hiện T. Nó không chứa bcsc nào. Kí hiệu: ϕ
• Bc chắc chắn: là bc luôn luôn xảy ra khi thực
hiện T. Nó chứa tất cả các bcsc. Kí hiệu: Ω
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
18
Kéo theo
Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký
hiệu AB, nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra
 Ta có:
 A  B

A
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
B
Nguyễn Văn Tiến
19
Tương đương (bằng nhau)
Biến cố A đgl tương đương với biến cố B nếu A
xảy ra thì B xảy ra và ngược lại
Kí hiệu: A=B
A  B
A B
B  A
Ta có:
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 A  B
Nguyễn Văn Tiến
20
Biến cố đối
• Biến cố đối của biến cố A, kí hiệu A là biến cố
xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
A   \ A
• Ta có:
• Ví dụ: khi gieo một con xúc sắc
• A: bc số chấm chẵn thì A là bc số chấm lẻ
  1, 2,3, 4,5,6
 A  2, 4,6
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 A  1,3,5   \  A
Nguyễn Văn Tiến
21
Tổng (hợp) hai biến cố
• Cho A, B là hai bc liên quan đến phép thử T. Khi
đó, tổng (hợp) của A và B là một biến cố, kí hiệu
A∪B hay A+B
• Bc này xảy ra khi ít nhất một trong hai bc A, B
xảy ra
A
B
A
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
B
Nguyễn Văn Tiến
22
Tổng (hợp) các biến cố
• A1, A2,…,An là các bc trong phép thử T.
• Tổng (hợp) của các bc này kí hiệu:
A1  A2  ...  An hay A1
A2
... An
• Bc này xảy ra khi ít nhất một trong các bc A1,
A2,…,An xảy ra
• Ta có:
A1  A2 ... An  A1
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
A2
... An
Nguyễn Văn Tiến
23
Tích (giao) hai biến cố
• Cho A, B là hai bc liên quan đến phép thử T. Khi
đó, tích (giao) của A và B là một biến cố, kí hiệu
A∩B hay A.B
• Bc này xảy ra khi cả hai bc A, B cùng xảy ra
A
B
A
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
B
Nguyễn Văn Tiến
24
Tích (giao) các biến cố
• A1, A2,…,An là các bc trong phép thử T.
• Tích (giao) của các bc này kí hiệu:
A1 A2 ... An hay A1
A2
... An
• Bc này xảy ra khi tất cả các bc A1, A2,…,An cùng
xảy ra
• Ta có:
A1A2 ... An   A1
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 A2
...  An
Nguyễn Văn Tiến
25
Hai biến cố xung khắc
• Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc nếu:
AB  

B
A
A và B xung khắc
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
26
Tính chất
i)
ii )
A. A  A
A A  A
A B  B  A
A.  A
A  
A.B  B. A
A.  
A  A
iii ) A  B  C   AB  AC
iv) A   B.C    A  B  .  A  C 
v)
 A  A
vi ) A  B  A.B
A.B  A  B
vii ) A  B  C  A.B.C
A.B.C  A  B  C
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
27
Ví dụ
Kiểm tra chất lượng 4 sản phẩm. Gọi Ak là biến
cố sản phẩm thứ k tốt. Biểu diễn các biến cố
sau theo Ak.
•
•
•
•
•
A là bc cả 4 sản phẩm tốt
B là bc có 3 sản phẩm tốt
C là biến cố có ít nhất 2 sản phẩm xấu
D là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm tốt
E là biến cố có tối đa 1 sản phẩm xấu
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
28
Ví dụ
• A là bc cả 4 sản phẩm tốt
• B là bc có 3 sản phẩm tốt
A  A1 A 2 A3 A4
B  A1 A 2 A3 A4  A1 A 2 A3 A4  A1 A 2 A3 A4  A1 A 2 A3 A4
• C là biến cố có ít nhất 2 sản phẩm xấu
C  A B
• D là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm tốt
D  A1. A2 A3 . A4  A1  A2  A3  A4
• E là biến cố có tối đa 1 sản phẩm xấu
E  A B  C
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
29
Ví dụ
Có 2 sinh viên đi thi. Gọi A là biến cố sinh viên 1 đậu; B là
biến cố sinh viên 2 đậu. Biểu diễn các biến cố sau qua A và
B.
•
•
•
•
•
•
•
•
C =“cả 2 sv đều thi đậu”;
D=“không sv nào đậu”
E=“có ít nhất một người đậu”;
F=“chỉ sv 1 đậu”
G=“sinh viên 1 thi đậu”;
H=“chỉ có một sv đậu”
I=“có nhiều nhất 1 sv đậu”;
J=“có sv thi đậu”
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
C  A.B;
D  A.B;
ED
F  A.B
G CF
H  A.B  A.B
I C
J E
Nguyễn Văn Tiến
30
XÁC SUẤT CỦA BC
• Con số đặc trưng cho khả năng xuất hiện khách
quan của biến cố trong phép thử gọi là xác suất
của biến cố đó.
• Kí hiệu xác suất của bc A: P(A)
• Xác suất không có đơn vị
• Điều kiện:
i)
0  P  A  1
ii ) P     0,
P   1
iii ) P  A  B   P  A   P  B  khi AB  
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
31
Định nghĩa cổ điển về xác suất
• Xét phép thử có không gian mẫu gồm hữu hạn
các biến cố sơ cấp đồng khả năng.
• Xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A) được định
nghĩa bằng công thức sau:
n(A) Số bcsc thuận lợi cho A
𝑃 𝐴 =
=
n(Ω)
Số bcsc có thể xảy ra
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
32
Tính xác suất cổ điển
•
•
•
•
•
Xác định phép thử.
Tính số bcsc của không gian mẫu
Gọi tên biến cố cần tính xác suất (gọi chính xác)
Tính số bcsc thuận lợi cho biến cố này
Áp dụng công thức
n  A
P  A 
n  
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
33
Ví dụ
• 1. Một người gọi điện thoại nhưng lại quên hai số cuối
của số điện thoại cần gọi mà chỉ nhớ hai số đó khác
nhau. Tìm xác suất người đó quay ngẫu nhiên một lần
trúng số cần gọi.
• 2. Một lớp học có 160 sinh viên trong đó có 60 sinh
viên nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 5 sinh viên, tính xác suất
có 2 sinh viên nữ trong 5 sinh viên chọn được.
• 3. Một hộp có 7 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Chọn
ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất chọn được ít nhất
một quả cầu đỏ.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
34
Ví dụ
• 4. Một lớp học có 50 sv. Tìm xác suất có ít nhất 2 sinh
viên có cùng ngày sinh. (Giả sử một năm có 365 ngày)
• Gọi x1,x2,…,x50 là ngày sinh nhật của 50 sv
• Như vậy mỗi bộ (x1,x2,…,x50) là 1 kết quả
• A: có ít nhất 2 sv có cùng sinh nhật A : cả 50 sinh
viên có sinh nhật khác nhau.
• Ta có:
n     365
50
 
n A  365.364.363....316
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
35
Ví dụ
• Từ đó:
 
316....364.365
P  A  1  P A  1 
 0,970374
50
365
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
36
Ví dụ
• Tìm xác suất để trong một nhóm gồm n người tập
hợp ngẫu nhiên có ít nhất hai người có cùng ngày
sinh (cùng ngày và cùng tháng). Giả sử một năm có
365 ngày.
• Giải:
• Gọi S là tập hợp các danh sách ngày sinh có thể của
n người
• E là biến cố có ít nhất 2 người trong nhóm có cùng
ngày sinh trong năm.
• E là biến cố không có bất kì 2 người trong nhóm có
cùng ngày sinh hay n người đó có ngày sinh khác
nhau.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
37
Ví dụ
• Số các trường hợp của S là
n  S   365
n
• Số các trường hợp thuận lợi của
E
là
 
365!
n E  365.364.363.... 365  n  1 
 365  n !
 
n E A
n
365
365!

 365  n !
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
38
Vì các biến cố đồng khả năng nên P  E  
 
n E
nS 
365!
 365  n !365n
Do đó xác suất để có ít nhất 2 người cùng ngày sinh là
 
P E  1 P E 1
365!
 365  n !365n
n
P(E)
n
P(E)
5
10
15
20
0,027
0,117
0,253
0,411
40
50
60
70
0,891
0,970
0,994
0,999
Bảng bài toán ngày sinh
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
39
Ưu – Nhược điểm
• Không phải thực hiện phép thử
• Nếu kg mẫu vô hạn  tính không được
• Không đồng khả năng  tính không được
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
40
Định nghĩa thống kê về xác suất
• Giả sử phép thử T có thể được lặp lại rất nhiều
lần trong điều kiện giống hệt nhau. Nếu trong n
lần thực hiện T có m(A) lần biến cố A xuất hiện
thì tần suất xuất hiện của bc A trong n phép
thử:
m  A
f n  A 
n
• Khi số phép thử tăng lên vô hạn nếu fn(A) dần
tới một con số p thì:
P  A  p
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
41
Ví dụ
• Nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi gieo
đồng xu cân đối, đồng chất.
Người
tung
Buyffon
Pearson
Pearson
Số lần
tung
4040
12000
24000
Số lần
sấp
2048
6019
12012
Tần
suất
0,5069
0,5016
0,5005
• Tần suất dần tới 0.5
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
42
Định nghĩa thống kê về xác suất
• Vậy:
m  A
P  A   lim f n  A   lim
n 
n 
n
• Trên thực tế ta lấy P  A  f n  A với n đủ lớn.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
43
Ví dụ
• Theo dõi 10000 sản phẩm do máy sản xuất ra ta
thấy có 150 phế phẩm.
• Gọi A là biến cố máy sản xuất ra phế phẩm.
• Xác suất của A có thể xấp xỉ bằng:
150
P  A 
 0,015
10.000
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
44
Định nghĩa hình học về xác suất
• Đọc thêm
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
45
Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn
• Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm):
Nếu một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế
có thể xem rằng trong một phép thử biến cố đó
sẽ không xảy ra.
• Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác
suất rất gần 1 thì thực tế có thể xem rằng biến cố
đó sẽ xảy ra trong một phép thử.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
46
Ví dụ
• Trong một lớp có 50 sinh viên nhất định có 2 bạn
có sinh nhật trùng nhau. Vì biến cố “có ít nhất 2
người có cùng sinh nhật” có xác suất rất lớn
P(A)= 0,970374.
• Chú ý:
• Việc qui định một mức xác suất đủ nhỏ hay đủ
lớn tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể.
• Thông thường:  0,05 được coi là đủ nhỏ
• Đủ lớn: ≥ 0,95.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
47
Ví dụ
• Một lớp có 50 sinh viên. Thầy giáo gọi ngẫu
nhiên 2 học sinh lên bảng thì cả 2 học sinh đều
không thuộc bài. Hãy dự đoán xem hôm nay lớp
có bao nhiêu học sinh không thuộc bài.
• Giải:
• Giả sử lớp có n học sinh không thuộc bài
• Xác suất gọi được 2 học sinh không thuộc bài
n  n  1
C
P T  

C
2450
2
n
2
50
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
48
Ví dụ
• Vì T xảy ra nên T không là biến cố hiếm. Theo
nguyên lý xác suất nhỏ:
P T  
n  n  1
2450
 0,05  2n  2n  245  0
2
• Vậy: có ít nhất 12 học sinh không thuộc bài.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
49
Tính chất xác suất
a.
b.
0  P( A)  1 với mọi biến cố A.
P()  1
P()  0
c.
Nếu A  B thì P ( A)  P  B  .
d.
P( A)  P( A)  1
e.
P( A)  P( AB)  P( AB)
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
50
Các công thức tính xác suất
1.Công thức cộng
2.Công thức xác suất điều kiện
3.Công thức nhân
4.Công thức xác suất đầy đủ
5.Công thức Bayes
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
51
Công thức cộng
• Nếu các biến cố A1, A2, …, An liên quan đến
phép thử T và xung khắc đôi một thì:
P  A1  ...  An   P  A1   ...  P  An 
• Xác suất của tổng bằng tổng xác suất.
• Cho 2 biến cố:
P  A  B   P  A  P  B 
• Áp dụng:
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 
P  A  1  P A
Nguyễn Văn Tiến
52
Ví dụ
Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng điểm 10 là 0,1;
trúng điểm 9 là 0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít
hơn 8 điểm là 0,45. Tìm xác suất để xạ thủ
được ít nhất 9 điểm.
• A1: “trúng điểm 10”
A2: “trúng điểm 9”
• A: “ít nhất 9 điểm”
• Ta có: A=A1+A2
và
A1, A2 XUNG KHẮC
• Vậy: P  A   P  A1  A2 
 P  A1   P  A2   0,1  0, 2  0,3
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
53
Công thức cộng tổng quát
• Nếu các biến cố A1, A2, …, An liên quan đến
phép thử T thì:
P( A1  ...  An )   P  Ai    P  Ai . Aj  
n
i 1
i j
  P  Ai . Aj . Ak   ...   1
i  j k
n1
P  A1. A2 ... An 
• Bộ chẵn: –
• Bộ lẻ: +
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
54
Công thức cộng tổng quát
• Cho 3 biến cố:
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P  C 
 P  AB   P  BC   P  CA   P  ABC 
• Cho 4 biến cố:
P( A1  A2  A3  A4 ) 
 P( A1 )  P( A2 )  P  A3   P  A4 
 P  A1 A2   P  A1 A3   P  A1 A4   P  A2 A3   P  A2 A4   P  A3 A4 
 P  A1 A2 A3   P  A1 A2 A4   P  A1 A3 A4   P  A2 A3 A4   P  A1 A2 A3 
 P  A1 A2 A3 A4 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
55
Ví dụ
• Theo thống kê, trung bình một năm 365 ngày
thì có 40 ngày có mưa thật to, 60 ngày có gió
thật lớn và 20 ngày có bão (vừa mưa thật to,
vừa gió thật lớn). Tính xác suất để một ngày
chọn ngẫu nhiên trong năm có thời tiết bất
thường.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
56
Hai biến cố độc lập
• Hai biến cố độc lập: A và B độc lập nếu
việc A xảy ra hay không xảy ra không ảnh
hưởng đến xác suất của B và ngược lại.
• Hai biến cố không độc lập gọi là phụ
thuộc.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
57
Độc lập từng đôi
• Hệ các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập từng
đôi nếu mỗi cặp hai biến cố trong n biến cố đó
độc lập với nhau.
• Độc lập từng đôi ↔ Ai, Aj bất kỳ độc lập.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
58
Độc lập toàn phần
• Hệ các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập toàn
phần nếu mỗi biến cố trong hệ độc lập với một
tổ hợp bất kỳ các biến cố còn lại.
• Chú ý:
– Độc lập toàn phần  độc lập từng đôi
– Không có chiều ngược lại.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
59
Công thức nhân xác suất
• Cho các biến cố A1, A2,…,An độc lập toàn phần,
cùng thuộc phép thử T. Khi đó:
P  A1 .A2 ...An   P  A1  .P  A2  ...P  An 
• Xác suất tích bằng tích xác suất
• Trường hợp hai biến cố độc lập.
P  A1 .A2   P  A1  .P  A2 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
60
Ví dụ
• Tại giải vô địch Taekwondo thế giới, Việt Nam
có hai vận động viên A, B tham gia. Khả năng lọt
vào vòng chung kết của A, B theo đánh giá lần
lượt là 0,9 và 0,7. Biết A và B không cùng bảng
trong vòng đấu loại. Tính xác suất
• A) Cả hai lọt vào vòng chung kết.
• B) Ít nhất một người lọt vào vòng chung kết.
• C) Chỉ có A lọt vào vòng chung kết.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
61
Ví dụ
• Gọi
A:”vđv A lọt vào vòng chung kết”
B:”vđv B lọt vào vòng chung kết”
• Theo đề: P(A)=0,9 P(B)=0,7
A và B là hai biến cố độc lập.
A và B không xung khắc.
a)P  AB  P  A .P  B  0, 63
b)P  A  B  P  A  P  B  P  AB  0, 97
 
 
c)P A.B  P  A .P B  0, 27
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
62
Chú ý
• Cho A và B là hai biến cố độc lập. Khi đó các cặp
biến cố sau cũng độc lập.
A& B
A& B
A& B
• Trong thực tế việc xét tính độc lập hay phụ
thuộc của các biến cố chủ yếu dựa vào trực
giác.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
63
Xác suất điều kiện
• Có những biến cố mà sự xảy ra của chúng có
ảnh hưởng đến nhau. Việc xuất hiện biến cố
này đôi khi ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện
của biến cố kia và ngược lại.
• Ví dụ: hộp có 3 bi trắng và 1 đỏ. Rút 2 lần, mỗi
lần một bi, không hoàn lại.
A: lần đầu bi trắng
B: lần sau bi đỏ
Rõ ràng việc A xuất hiện hay không ảnh hưởng
đến xác suất của B.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
64
Xác suất điều kiện
• Định nghĩa: Xác suất của biến cố A với giả thiết
là biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất của A với
điều kiện B.
• Kí hiệu: P(A|B)
• Công thức tính:


P AB 
P  AB
P  B
neá
u P( B)  0
• Nếu P(B)=0 thì xác suất trên không xác định.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
65
Tính chất
• Khi cố định điều kiện A với P(A)>0. Ta có:
i)
ii )
iii )
iv)
 
P   A  1
P  B  C A  P  B A  P C A  P  BC A
P  B A  1  P  B A
P B A 0
• Nếu B và A độc lập thì:


i )P B A  P  B


ii )P A B  P  A
(nếu các xác suất xác định)
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
66
Ví dụ
• Gieo đồng thời 2 con xúc sắc cân đối. Tìm xác
suất tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc sắc
10 biết có ít nhất một con đã ra 5 chấm.
• Gọi
A=“ít nhất 1 con ra 5 chấm”
B=“tổng số chấm  10”
Ta có: A và B không độc lập.
2
 5  11
P  A  1    
 6  36
 AB
3
  5;6  ,  6,5  ;  5,5   P  AB  
36
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
P  AB  3
P  B A 

P  A  11
Nguyễn Văn Tiến
67
Ví dụ
• 3 người vào cửa hàng mua điện thoại iphone 7.
Mỗi người muốn mua một cái nhưng cửa hàng
chỉ còn đúng 2 cái. Chủ cửa hàng làm 3 lá thăm
trong đó có 2 lá được đánh dấu. Mỗi người rút
một lá thăm nếu có đánh dấu thì được mua
iphone 7. Chứng minh rằng cách làm trên công
bằng cho cả 3 người.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
68
Giải
• Ai là người thứ I rút được thăm có đánh dấu
• Ta có: P(A1)=2/3
A2  A1 A2  A1 A2
  
P  A2   P  A1  P  A2 A1   P A1 P A2 A1
A3  A1 A2  A1


  
P  A3   P  A1  P A2 A1  P A1
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
69
Ví dụ
• Tung ngẫu nhiên một cục xúc sắc trên mặt
phẳng nằm ngang. Gọi
• A: bc mặt ngửa lên là mặt chẵn chấm
• B: mặt ngửa lên có số chấm nhỏ hơn 3
• C: mặt ngửa có số chấm từ 2 đến 5
Hỏi: A&B có độc lập? A&C có độc lập?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
70
Công thức nhân tổng quát
• Cho A1, A2 là hai biến cố trong phép thử T.
P  A1 A2   P  A1  P  A2 A1 
• Hoặc
P  A1 A2   P  A2  P  A1 A2 
(được suy ra từ xác suất điều kiện)
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
71
Công thức nhân tổng quát
• Cho A1, A2,…,An là các biến cố trong phép thử
T.
P  A1. A2 ... An   P  A1  P  A2 A1  ...P  An A1. A2 ... An 1 
• Điều kiện:
P  A1.A2 ...An1   0
• Công thức trên được chứng minh bằng qui nạp.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
72
Bài tập
1. Một lô hàng có 9 sản phẩm. Mỗi lần kiểm tra chất
lượng lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Sau khi kiểm tra
xong thì trả lại lô hàng. Tính xác suất để sau 3 lần
kiểm tra lô hàng như vậy thì tất cả các sản phẩm
đều được kiểm tra.
2. Bắn hai lần độc lập nhau, mỗi lần một viên đạn vào
cùng một bia. Xác suất bắn trúng đích của viên đạn
thứ nhất là 0,7 và của viên đạn thứ 2 là 0,4.
a) Tìm xác suất để chỉ có một viên đạn trúng bia.
b) Biết rằng chỉ có một viên đạn trúng bia. Tính xác
suất đó là viên đạn thứ nhất.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
73
Bài tập
3. Xác suất để động cơ thứ nhất của máy bay trúng đạn là
0,2; để động cơ thứ 2 của máy bay bị trúng đạn là 0,3;
còn xác suất để phi công bị trúng đạn là 0,1. Tìm xác suất
để máy bay rơi, biết rằng máy bay rơi khi cả 2 động cơ bị
trúng đạn hoặc phi công bị trúng đạn.
4. Có 12 lá thăm trong đó có 5 lá trúng thưởng. Hai người A
và B bốc thăm như sau. Người A bốc trước không hoàn
lại 2 lá. Sau đó người B bốc 4 lá ngẫu nhiên.
a) Tính xác suất người B bốc được 2 lá thăm trúng thưởng.
b) Xác suất bốc được thăm trúng thưởng của ai cao hơn.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
74
Công thức xác suất đầy đủ
Định nghĩa:
Hệ các biến cố A1 , A2 ,...., An gọi là hệ biến cố đầy đủ nếu
 A1  A2  ...  An  

 Ai . Aj  , 1  i  j  n
Hệ gồm 5 biến cố đầy đủ
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Hệ gồm 2 biến cố đầy đủ
Nguyễn Văn Tiến
75
Hệ biến cố đầy đủ
• Hệ biến cố H1, H2,…,Hn gọi là một hệ đầy đủ
các biến cố nếu thỏa mãn cả 2 điều kiện sau:
i) H i .H j  , i  j
ii) H1  H 2  ...  H n  
– Xung khắc từng đôi
– Hợp là biến cố chắc chắn
• Hệ biến cố đầy đủ khi thực hiện phép thử thì có
1 và chỉ 1 biến cố trong hệ xảy ra.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
76
Công thức xác suất đầy đủ
•
•
•
•
Cho H1, H2,…,Hn là một hệ đầy đủ các biến cố.
A là một biến cố trong phép thử
Xác suất của A bị phụ thuộc vào hệ biến cố
Khi đó:
n
P  A   P  H i  P  A H i 
i 1
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
77
Ví dụ 1
HỘP 1
6 chính phẩm
4 phế phẩm
HỘP 2
HỘP 3
10 chính phẩm
5 phế phẩm
15 chính phẩm
5 phế phẩm
• Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu
nhiên ra 3 sản phẩm. Tính xác suất để lấy được
2 chính phẩm và 1 phế phẩm?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
78
Ví dụ 1
• A: “lấy được 2 chính phẩm và 1 phế phẩm”
• Hi: “lấy được hộp thứ i”
Dễ thất Hi là hệ biến cố đầy đủ (i=1,2,3)
và:
1
P  H1   P  H 2   P  H 3  
3
Biến cố A phụ thuộc hệ này.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
79
Ví dụ 1
A: “lấy 2 chính phẩm và 1 phế phẩm”
HỘP 1
6 chính phẩm
4 phế phẩm
C62C41 1
P  A H1   3 
C10
2
HỘP 2
10 chính phẩm
5 phế phẩm
C102 C51 45
P  A H2   3 
C15
91
HỘP 3
15 chính phẩm
5 phế phẩm
C152 C51 35
P  A H3   3 
C20
76
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
80
Ví dụ 1
• Theo công thức xác suất đầy đủ:
P  A  P  H1 .P  A H1   P  H2 .P  A H2   P  H3 .P  A H3 
• Thay số:
1 1 1 45 1 35
P  A  .  .  .  0,48501
3 2 3 91 3 76
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
81
Chú ý
• Nếu phép thử gồm 2 giai đoạn và biến cố A liên
quan đến giai đoạn sau thì các kết quả có thể có
của giai đoạn đầu chính là một hệ biến cố đầy
đủ.
• Khi trình bày cần:
– Ghi rõ công thức.
– Tính đủ các thành phần.
– Có thể không cần quá chi tiết: gọi phép thử, không
gian mẫu. Nhưng bắt buộc phải gọi biến cố và gọi
chính xác.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
82
Ví dụ 2
Kiện 1
5 loại A
1 loại B
Kiện 2
Kiện 3
2 loại A
4 loại B
0 loại A
0 loại B
Từ mỗi kiện chọn ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm đem
giao cho khách hàng.
Sau đó các sản phẩm còn lại của 2 kiện được dồn
chung vào kiện hàng 3 đang trống.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
83
Ví dụ 2
a) Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kiện hàng 3. Tính xác
suất chọn được sản phẩm loại B?
b) Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện hàng 3. Tính xác
suất để có ít nhất 1 sản phẩm loại B trong 2 sản phẩm
được chọn?
Hướng dẫn:
- Mấy hành động? Mấy giai đoạn?
- Biến cố cần tính xác suất? Thuộc giai đoạn mấy?
- Hệ biến cố đầy đủ?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
84
Ví dụ 2
Kiện 1:
5A+1B
Kiện 2:
2A+4B
Giao 1 sản phẩm
Giao 1 sản phẩm
Kiện 3: 10 sản phẩm
?A
?B
a)Lấy 1 sp P(B)=?
b) Lấy 2 sản phẩm. Xác suất ít nhất 1 sản phẩm loại B?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
85
Ví dụ 2
Gọi H1 là biến cố lấy được sản phẩm loại B từ hộp 1
H2 là biến cố lấy được sản phẩm loại B từ hộp 2.
Kj là biến cố có j sản phẩm loại B trong hộp 3. (j=3,4,5)
Ta thấy K3; K4; K5 là hệ biến cố đầy đủ.
Ta có:
1 4 4
P  K 3  P  H1.H 2   P  H1 .P  H 2   . 
6 6 36

P K 4

   
 P H1.H 2  H1.H 2  P  H1 .P H 2  P H1 .P  H 2 

1 2 5 4 22
 .  . 
6 6 6 6 36
    
5 2 10
P  K 5   P H1.H 2  P H1 P H 2  . 
6 6 36
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
86
Ví dụ
a) Gọi C là biến cố lấy được sản phẩm loại B trong hộp 3.
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
P C   P  K 3 P C | K 3  P  K 4 P C | K 4  P  K 5 P C | K 5
Ta có:
3
P  C | K 3 
10
4
P C | K 4 
10
5
P  C | K 5 
10
Vậy:
4 3 22 4 10 5 5
P  C   .  .  .   0,4167
36 10 36 10 36 10 12
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
87
Ví dụ
b) Gọi D là biến cố lấy được ít nhất một sản phẩm
loại B từ hộp 3.
D
là biến cố cả 2 sản phẩm đều là loại A.
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
 





P D  P  K 3 P D | K 3  P  K 4  P D | K 4  P  K 5  P D | K 5
Ta có:


C72
P D | K3  2
C10


C62
P D | K4  2
C10



C52
P D | K5  2
C10
 
4 21 22 15 10 10 257
257 553
P D  .  .  . 
 P  D  1

36 45 36 45 36 45 810
810 810
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
88
Ví dụ
Có 2 xạ thủ loại I và 8 xạ thủ loại II. Xác suất bắn trúng
đích của xạ thủ loại I là 90% và của xạ thủ loại II là 80%.
a) Lấy ngẫu nhiên một xạ thủ và xạ thủ đó bắn một viên
đạn. Tính xác suất viên đạn trúng đích.
b) Lấy ngẫu nhiên 2 xạ thủ và mỗi xạ thủ bắn một viên đạn.
Xác suất cả hai viên đều trúng là bao nhiêu?
• Hướng dẫn:
a) A: bc chọn được xạ thủ loại 1. P(A)=0,2
F: bc viên đạn trúng đích

  
 
P  F   P  A P F A  P A P F A
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
89
Ví dụ 2
• b) B0; B1; B2: biến cố có 0;1;2 xạ thủ loại 1
trong 2 xạ thủ chọn được.
• G: cả 2 viên đạn đều trúng
• Ta có:






Nguyễn Văn Tiến
90
P G  P B0 P G B0  P B1 P G B1  P B2 P G B2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Bài tập
1. Có 2 lô loại 1 và 3 lô loại 2; mỗi lô chứa 5 sản
phẩm. Lô loại 1 chứa toàn sản phẩm tốt còn lô
loại 2 chứa 4 sản phẩm tốt. Chọn ngẫu nhiên 2
lô rồi trộn chung các sản phẩm của 2 lô với
nhau. Sau đó lấy ra ngẫu nhiên 2 sản phẩm.
Tính xác suất lấy được cả 2 sản phẩm tốt?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
91
Bài tập
2. Lô 1 có a phế phẩm và b chính phẩm. Lô 2 có c
phế phẩm và d chính phẩm. Lấy ngẫu nhiên một
sản phẩm từ lô 1 cho sang lô 2; sau đó lấy ngẫu
nhiên một sản phẩm từ lô 2 cho vào lô 1. Sau
đó từ lại lấy một sản phẩm từ lô 1. Tính xác suất
sản phẩm này là sản phẩm tốt
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
92
Bài tập
3. Tỉ lệ người dân nghiện thuốc là 30%. Tỉ lệ bị
viêm họng trong số những người nghiện là
60%. Tỉ lệ bị viêm họng trong số những người
không nghiện là 20%.
a) Lấy ngẫu nhiên một người thì thấy người
này bị viêm họng. Tính xác suất người này
nghiện thuốc lá?
b) Nếu người đó không bị viêm họng. Tính xác
suất người đó nghiện thuốc
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
93
Bài tập
4. Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến bán ở
công ty A 3 lần. Xác suất lần đầu bán được
hàng là 0,8. Nếu lần trước bán được hàng thì
xác suất lần sau bán được hàng là 0,9. Còn
nếu lần trước không bán đươc hàng thì xác
suất lần sau bán được là 0,4. Tính xác suất
a) Cả 3 lần đều bán được hàng?
b) Có đúng 2 lần bán được hàng?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
94
Công thức Bayes
•
•
•
•
Cho H1, H2,…,Hn là một hệ đầy đủ các biến cố.
A là một biến cố trong phép thử
Xác suất của A bị phụ thuộc vào hệ biến cố
Khi đó:
P  H k A 
P  Hk  P  A Hk 
n
 PH  P A H 
i 1
i
i
• Điều kiện: P(A)>0.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
95
Công thức Bayes
P  A.H k 
P  H k A 
P  Hk  P  A Hk 
n
 PH  P A H 
i 1
i
i
P  A
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
96
Ví dụ 1
HỘP 1
6 chính phẩm
4 phế phẩm
HỘP 2
HỘP 3
10 chính phẩm
5 phế phẩm
15 chính phẩm
5 phế phẩm
• Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu
nhiên ra 3 sản phẩm. Kết quả được 2 chính
phẩm và 1 phế phẩm. Tính xác suất để các sp
đó thuộc hộp 3?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
97
Ví dụ 1
P  H 3 A 
P  H3  P  A H3 
P  A
 0,3165
• Công thức Bayes thường dùng với công thức
xác suất đầy đủ.
• Giúp ta đánh giá lại xác suất của hệ biến cố khi
có một biến cố xảy ra.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
98
Ví dụ
• Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng
về một loại sản phẩm định đưa ra thị trường và
thấy có:
– 34 người trả lời: “Sẽ mua”
– 96 người trả lời: “Có thể sẽ mua”
– 70 người trả lời: “Không mua”
Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự mua
sản phẩm dựa theo các cách trả lời trên là: 40%;
20% và 1%.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
99
Ví dụ
• Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản
phẩm đó? (tỷ lệ người thực sự mua)
• Trong số khách hàng đã mua sản phẩm, có bao
nhiêu phần trăm trả lời là sẽ mua?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
100
Công thức Bernoulli
Thực hiện n phép thử độc lập
Biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử với xác
suất p không đổi.
Khi đó xác suất để A xuất hiện k lần trong n phép
thử là:
Pk  A  C p q
k
n
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
k n k
Nguyễn Văn Tiến
101
Công thức Bernoulli
Có n phép thử, bc A xuất hiện k lần.
Số trường hợp:
k
Cn
Xét 1 trường hợp:
A. A... A. A... A
Xác suất:


P A. A... A. A... A  p. p... p.1  p ...1  p   p q
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
k
Nguyễn Văn Tiến
nk
102
Công thức Bernoulli
Dễ thấy các trường hợp đều có xác suất như
nhau.
Do đó xác suất để A xuất hiện k lần trong n phép
thử độc lập:
Pk  A  C p q
k
n
k n k
q  1  p, k  0,1,2,..., n
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
103
Ví dụ
Một hộp có 10 viên bi gồm 3 bi vàng và 7 bi đỏ.
Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi, mỗi lần 1 bi và có
hoàn lại.
Tính xác suất trong 4 bi đã lấy có 3 bi đỏ?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
104
Công thức Bernoulli
Phân tích
Phép thử: lấy 4 bi lần lượt, hoàn lại.
Phép thử: gồm 4 giai đoạn (4 phép thử nhỏ hơn)
Biến cố: trong 4 bi đã lấy có 3 đỏ (1 vàng)
Gọi A: lấy được bi đỏ trong 1 lần lấy
Ta có: P(A) không đổi
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
105
Bài tập
Có 10 thăm, trong đó có 4 thăm có thưởng. Sinh
viên A bắt đầu tiên, B bắt sau.
a) Hỏi bắt thăm như vậy có công bằng không ?
b) Nếu B được thưởng, tính xác suất A được
thưởng.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
Bài 1
Có 4 nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ nhất có 5
người; nhóm thứ hai có 7 người; nhóm thứ
ba có 4 người và nhóm thứ tư có 2 người.
Xác suất bắn trúng đích của mỗi người trong
nhóm thứ nhất, hai, ba và tư lần lượt là: 0,8;
0,7; 0,6 và 0,5. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ
và biết rằng xạ thủ này bắn trượt. Hãy xác
định xem khả năng xạ thủ này ở trong nhóm
nào là nhiều nhất.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
107
Bài 2
Một bài thi trắc nghiệm gồm 200 câu hỏi, mỗi câu
hỏi có 4 câu trả lời, trong đó chỉ có một đáp án
đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, trả lời
sai bị trừ 1 điểm. Một học sinh kém làm bài
bằng cách chọn ngẫu nhiên các câu trả lời.
a) Tính xác suất anh ta được 25 điểm.
b) Tính xác suất anh ta làm đúng tối đa 60 câu.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
108
Bài 3
Một người bệnh được xác định là mắc một trong hai bệnh
A và B. Theo thống kê xác suất mắc bệnh A cao gấp đôi
xác suất mắc bệnh B. Bệnh viện cho người bệnh làm hai
xét nghiệm T1 và T2 độc lập nhau. Biết rằng nếu người
bệnh có bệnh A thì xét nghiệm T1 cho kết quả dương
tính với xác suất 90% còn T2 cho kết quả dương tính với
xác suất 80%. Nếu bệnh nhân có bệnh B thì xét nghiệm
T1 cho kết quả dương tính với xác suất là 5% còn T2 cho
kết quả dương tính với xác suất 10%.
a) Giả sử cả hai xét nghiệm đều cho kết quả dương tính.
Tính xác suất người này bị mắc bệnh A?
b) Biết chỉ có một trong hai xét nghiệm cho kết quả dương
tính. Hỏi khả năng bệnh nhân bị bệnh nào nhiều hơn?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
109
Bài 4
Có 2 kiện hàng 1, 2 mỗi kiện có 20 sản phẩm. Số
sản phẩm tốt tương ứng mỗi kiện là 12 và 8.
Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện 1 cho vào
kiện 2. Sau đó từ kiện 2 ta lấy ra ngẫu nhiên 3
sản phẩm. Tính xác suất:
a) Tổng số sản phẩm tốt trong 2 lần lấy ra nhỏ
hơn 4.
b) Cả 3 sản phẩm lấy ra từ kiện 2 đều là sản phẩm
tốt.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
110
Bài 5
Có 3 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm.
Theo đánh giá tỉ lệ sản phẩm loại A của 3 máy
là 60%; 76% và 80%. Khi giao xuống công ty do
quên đánh dấu và 3 máy giống hệt nhau nên
ta không thể phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một
máy sau đó cho máy sản xuất một sản phẩm.
a) Tính xác suất sản phẩm loại A?
b) Giả sử máy đã sản xuất được sản phẩm loại A.
Tính xác suất sản xuất tiếp 100 sản phẩm nữa
cũng từ máy này thì có từ 60 đến 90 sản phẩm
loại A?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
111
Bài 6
Có 3 máy 1,2,3 cùng sản xuất ra một loại sản p
Cửa hàng 1 có : 30 loại A và 70 loại B.
Cửa hàng 2 có : 70 loại A và 50 loại B.
Cửa hàng 3 có : 90 loại A và 60 loại B.
Một người chọn ngẫu nhiên một cửa hàng và mua
ngẫu nhiên 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất người này mua được 2 sản phẩm
loại A?
b) Giả sử khách hàng đã mua được 2 sản phẩm loại
A. Tính xác suất người này mua tiếp 3 sản phẩm
nữa cũng từ của hàng này thì 1 sản phẩm loại A?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
112
• [email protected] K50C
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
113