Transcript 2014 Chương 2 - WordPress.com

CHƯƠNG 2
BIẾN NGẪU NHIÊN
1
Khái niệm biến ngẫu nhiên
• Biến ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị
phụ thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu
nhiên. Giá trị của nó là ngẫu nhiên không dự
đoán trước được.
• Kí hiệu: X, Y, Z…
2
Ví dụ 1
• Lượng khách vào một cửa hàng trong ngày
• Độ bền của một sản phẩm
• Số sản phẩm hỏng trong 100 sản phẩm mới
nhập về
• Chiều cao của một sinh viên gọi ngẫu nhiên
trong lớp này
3
Ví dụ 1
• Tung một đồng xu. Ta có các biến cố sau:
– Đồng xu ngửa : “N”
– Đồng xu sấp: “S”
Đặt
0
X
1
neб
u Saб
p
neб
u Ngцы
a
Khi đó X là một biến ngẫu nhiên.
Lưu ý: “X=1” hay “X=0” là các biến cố.
4
Ví dụ 2
• Hộp có 6 viên bi gồm 4 trắng và 2 vàng. Lấy
ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp. Đặt Y là số viên bi
vàng có trong 2 viên lấy ra.
• Khi đó Y cũng là biến ngẫu nhiên.
• Ta có:
Y 0;1; 2
• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” là các biến cố nào???
5
Định nghĩa (tham khảo)
Biến ngẫu nhiên X là một ánh xạ từ không gian
mẫu các biến cố sơ cấp vào tập số thực
X :  R

X  
Chú ý:
- X là bnn
- {X=x} hoặc {X<x}, … là biến cố.
6
Phân loại bnn
Bnn X
Rời rạc
Liên tục
Giá trị X liệt kê
được thành một
dãy số hữu hạn
hoặc vô hạn
Giá trị X lấp đầy một
khoảng hay một số
khoảng của trục số,
hoặc cả trục số
7
Luật phân phối xác suất
• Biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của
biến ngẫu nhiên và xác suất tương ứng.
– Xác suất để bnn nhận một giá trị bất kì
– Xác suất để bnn nhận giá trị trong một
khoảng bất kì
• Dạng thường gặp: công thức, bảng ppxs,
hàm ppxs, hàm mật độ
8
Luật phân phối_Công thức
Ví dụ 1. Một người nhắm bắn một mục tiêu cho
đến khi nào bắn trúng một phát thì thôi (số
phát bắn không hạn chế). Xác suất bắn trúng
của mỗi phát đều bằng p. Tìm qui luật ppxs
của số viên đạn được sử dụng
9
Luật phân phối_Công thức
X: số viên đạn được sử dụng
X có tập giá trị là N* hay X= 1,2,3….
Ta có:
P  X  1  p
P  X  2   1  p  p
P  X  3  1  p  p
2
....................................
10
Luật phân phối_Công thức
• Qui luật ppxs của X là:
n1
P  X  n   1  p  p
n  1, 2,3,...
• X gọi là có phân phối hình học
• Tính
xác suất sau:

 P  X  n   P  X  1  P  X  2  ...
n1
11
Bảng ppxs
• Ví dụ 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có
6 sản phẩm đạt loại A. Lấy ngẫu nhiên 2 sản
phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số sản
phẩm loại A lấy ra?
12
Bảng ppxs
X là số sản phẩm loại A lấy ra. Ta có: X=0,1,2
C42
2
P X  0  2 
C10 15
P  X  1 
C41C61
C102
8

15
C62
5
P X  2  2 
C10 15
Bảng ppxs:
X
P
0
1
2
2/15 8/15 5/15
13
Luật ppxs_Bảng
• Bảng phân phối xác suất của X.
X x1 …. x2 …. xn
P
p1
…. p2
…. pn
• xi : giá trị có thể có của bnn X
• pi : xác suất tương ứng; pi=P(X=xi).
n
• Chú ý:
p 1

i 1
i
14
Luật ppxs_Bảng
Ví dụ 2. Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 4 sản phẩm tốt, 3
sản phẩm xấu. Kiện 2 có 6 sản phẩm tốt, 4 sản
phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện 1 ra 2 sản phẩm
và từ kiện 2 ra 1 sản phẩm. Lập luật phân phối xác
suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra?
Giải:
Gọi Y là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.
 Y=0,1,2,3
Gọi Ai là bc có i sản phẩm tốt lấy ra từ kiện 1.
Gọi Bj là bc có j sản phẩm tốt lấy ra từ kiện 2.
15
Luật ppxs_Bảng
C32 4
2
P Y  0   P  A0 B0   P  A0  P  B0   2 . 
C7 10 35
1
4
1
3
2
3
2
7
4 C 6 11
P Y  1  P  A1B0  A0 B1   2 . 
. 
C7 10 C 10 35
CC
C42 4 C41C31 6 16
P Y  2   P  A2 B0  A1B1   2 .  2 . 
C7 10 C7 10 35
2
4
2
7
6
6
2 11 16
P  Y  3  P  A2 B1  
. 
 1


35 35 35
C 10 35
C
16
Luật ppxs_Bảng
• Bảng phân phối xác suất:
Y
P
0
1
2
3
2/35 11/35 16/35 6/35
17
Luật ppxs_ Hàm phân phối
• Hàm phân phối xác suất hay hàm phân bố, ký
hiệu F(x), định nghĩa như sau:
F ( x)  P  X  x 
• Hay
F (t )  P  X  t 
18
Luật ppxs_ Hàm phân phối
• Cho bnn X có bảng pp
x
f(x)
0
1
2
3
2/35 11/35 16/35 6/35
• Tìm hàm ppxs của bnn X và vẽ đồ thị
• Tính lim F x , lim F x , lim F x , lim F x
 
 
 
 
x 2
x 2
x 
x 
• F(x) có liên tục tại x với x{0,1,2,3}
• Tính P(1<X<3)
19
Luật ppxs_ Hàm phân phối
• Cho X là bnn rời rạc có tập giá trị được sắp
x1  x2  x3  .... và P  X  xi   pi
, x  x1
0
• Khi đó:
p
,
x

x

x
1
1
2

F  x    p1  p2
, x2  x  x3
...............................

 p1  ...  pk 1 , xk 1  x  xk
20
Luật ppxs_ Hàm phân phối
• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x, x là
một giá trị bất kì.
• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên
trái số x.
• Xác suất X thuộc [a,b)
P(a  X  b)  F (b)  F (a)
21
Luật ppxs_ Hàm phân phối
i)
0  F  x   1, x  R
ii)
F  x  là hàm tăng, liên tục bên trái. Nếu X là biến
ngẫu nhiên liên tục thì F  x  là hàm liên tục trên R.
iii)
F     lim F  x   0
x
F     lim F  x   1
x
iv)
P  a  X  b   F b   F  a .
22
Hàm mật độ xác suất
• Cho X là bnn liên tục
• Người ta chứng minh được rằng
P(X=a)=0 với mọi giá trị của a
Để mô tả bnn liên tục ta dùng hàm mật độ
Hàm f(x) là hàm mật độ của một biến ngẫu
nhiên X nào
đó
nếu
thỏa
mãn
2
điều
kiện
sau:
i)
f x 0
, x  R
 

ii )
 f  x  dx  1

23
Hàm mật độ xác suất
• Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên
tục X là đạo hàm cấp 1 của hàm phân bố xác
suất của biến ngẫu nhiên đó, ký hiệu f(x)
f  x  F  x
24
Tính chất
i)
f  x   0 x  R

ii )
 f  x  dx  1

b
iii ) P  a  X  b    f  x  dx
a
• Một hàm số bất kì thỏa mãn 2 tính chất đầu
tiên i) ii) sẽ là hàm mật độ của một biến ngẫu
nhiên liên tục nào đấy.
25
Hàm mật độ xác suất
• Đồ thị hàm mật độ
y
f  x

 f  x  dx  1

0
x
• Diện tích dưới đồ thị f(x) và Ox là 1.
26
Hàm mật độ xác suất
• Lưu ý:
c
P( X  c)   f ( x)dx  0
c
• Do đó:
P ( a  X  b)  P ( a  X  b)
b
 P(a  X  b)  P(a  X  b)   f  x  dx
a
27
Hàm mật độ xác suất
P(a  X  b)  P  a  X  b 
f(x)
a
b
b
P(a  X  b)   f ( x)dx
a
28
CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Kỳ vọng (Expected Value) E(X)
Phương sai (Variance) V(X), Var(X)
Độ lệch chuẩn (Standard Error)
Trung vị (Median) me
Mốt (Mode) m0
Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV
Hệ số bất đối xứng (Skewness)
Hệ số nhọn (Kurtosis)
Giá trị tới hạn
29
Kỳ vọng (Expected Value)
• Ký hiệu: E(X)
• Định nghĩa:
 xi pi
 i
E  X    
  x. f ( x)dx
 -
,vфщ
i X rфш
i raп
c
,vфщ
i X lieв
n tuп
c
• E(X) là trung bình theo xác suất của X
• Có cùng đơn vị với X
30
Tính chất
1) Tнnhchaб
t 1: E(C)=C vфщ
i C laш
haи
ng soб
2) Tнnhchaб
t 2: E(C+X)=C+E(X)
3) Tнnhchaб
t 3: E(C.X)=C.E(X)
4) Tнnhchaб
t 4: E(X  Y)=E(X)  E(Y)
5) Tнnhchaб
t 5: E(X.Y)=E(X).E(Y) neб
u X vaш
Y сoд
c laд
p
   xi  pi
 i
6) Tнnhchaб
t 6: E(  X  )=  
    x  f  x  dx
 
31
Phương sai (Variance)
• Ký hiệu: V(X); Var(X)
• Định nghĩa:
    E  X 
Var  X   E  X  E  X   E X
2
2
2
 x 2 p  E  X 2
,neб
u X rфш
i raп
c.

i
i
 i

Var  X    
2
2
 x f  x  dx  E  X  ,neб
u X lieв
n tuп
c.

 
32
• XA, XB là lãi suất thu được trong một năm
(đơn vị %) khi đầu tư vào 2 công ty A, B một
cách độc lập. Cho biết quy luật phân phối của
2 biến ngẫu nhiên trên như sau:
XA
P
XB
P
4
0,05
-4
0,1
6
0,1
2
0,2
8
0,3
8
0,2
10
0,4
12
0,15
10 12 16
0,25 0,15 0,1
33
• Đầu tư vào công ty nào có lãi suất kỳ vọng cao
hơn?
• Đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro ít
hơn?
• Nếu muốn đầu tư vào cả 2 công ty thì nên đầu
tư theo tỉ lệ nào sao cho:
– Thu được lãi suất kỳ vọng lớn nhất?
– Mức độ rủi ro về lãi suất thấp nhất?
34
Độ lệch chuẩn
• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập
trung của X.
• V(X) có đơn vị là bình phương đơn vị của X
  X   Var  X 
• (X) có đơn vị là đơn vị của X
35
Tính chất của phương sai
ng soб
haи
i C laш
t 1: V(C)=0 vфщ
1) Tнnh chaб
t 2: V(C+X)=V(X)
2) Tнnh chaб
t 3: V(C.X)=C2 .V(X)
3) Tнnh chaб
p
c laд
Y сoд
u X vaш
4) V(X  Y)=V(X)  V(Y) neб
 n
 n
n
n phaа
p toaш
c laд
c X i сoд
u caщ
 V   X i  = V  X i  neб
 i 1  i 1
36
Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa
• Cho X là bnn có kỳ vọng  và độ lệch chuẩn
>0.
X 
• Đặt:
Z

• Ta có:
E Z   0
V Z  1
• Biến Z gọi là bnn chuẩn hóa của bnn X.
37
Ví dụ 1
Cho bnn X:
X 1 2 3 4
5
6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
1
1
1 7
E  X   1.  2.  ...  6.   3,5
6
6
6 2
V (X )  E  X
2
EX 
2
 EX
2
   3,5
2
1
91
2 1
2 1
E  X   1 .  2 .  ...  6 . 
6
6
6 6
2
2
35
35
V X  
 X  
12
12
38
Ví dụ 1
E(X)=3,5 : giá trị trung bình theo xác suất của X
là 3,5. Hay nếu ta thực hiện phép thử n lần (n
đủ lớn) thì giá trị trung bình của X trong n lần
đó sẽ xấp xỉ 3,5.
Chú ý: nếu X có đơn vị là m thì:
E(X) có đơn vị là m
V(X) có đơn vị là m2
(X) có đơn vị là m
39
Ví dụ 2
Theo thống kê việc 1 người Mỹ 25 tuổi, xác suất
Sống thêm 1 năm là 0.992
Chết trong vòng 1 năm tới là 0,008.
Một chương trình bảo hiểm đề nghị người tham
gia bảo hiểm cho sinh mạng người đó trong
vòng 1 năm
Số tiền chi trả 1000 USD.
Lệ phí tham gia là 10 USD.
40
Ví dụ 2
• Gọi X là lợi nhuận thu được trên 1 người tham
gia bảo hiểm. Ta có:
X
-990
+10
P
0,008 0,992
E  X   990  0,008   10  0,992 
E  X   2 USD
• Ta thấy lợi nhuận kì vọng là một số dương nên
công ty bảo hiểm có thể làm ăn có lãi.
• Tất nhiên tính trên điều kiện số người tham
gia bảo hiểm là đủ lớn.
41
Ví dụ 2
X
-990
P
0,008 0,992
EX
2
+10
2


990
0,008

10




 0,992   7940

2
V  X   7936  USD     X   89,08 USD 
2
42
Ví dụ 3
Cho bnn liên tục X có hàm mật độ
2 x , x   0,1
f ( x)  
0 , x   0,1
a) Kiểm tra lại f(x).
b) Tính E(X), V(X).

1
2
E  X    xf  x  dx   2 x dx 
3

0
2
43
Ví dụ 3
Tính V(X)

1
1
E  X    x f  x  dx   2 x dx 
2

0
2
2
3
2
1 2
1
V X     
2  3  18
44
Ví dụ 4
Tuổi thọ của một loại côn trùng M là biến ngẫu
nhiên X (đơn vị: tháng) với hàm mật độ như
sau:
kx  4  x 
f  x  
0
2
, x   0, 4
, nфi khaщ
c
• Tìm hằng số k?
• Xác định hàm ppxs?
• Tính tuổi thọ trung bình của loại côn trùng trên.
45
Ví dụ 4
• 2 tính chất cơ bản hàm mật độ:
i)

f  x   0 , x
ii )
 f  x  dx  1

• Ta có:

4
64k
3
 f  x  dx  1  0 kx  4  x dx  3  1  k  64
• Thử lại thấy điều kiện đầu cũng thỏa.
• Vậy k=3/64
2
46
Ví dụ 4
• Hàm phân phối xác suất:
F  x 
x


0
 3
 3x  4 x 
f  t  dt  
  
 64  3 4 
1
,x 0
,0  x  4
,x  4
• Tuổi thọ trung bình:
4
3
12
3
EX  
x  4  x  dx  (tháng)

64 0
5
47
Ví dụ 5
• Giả sử một cửa hàng sách định nhập về một số
cuốn truyện trinh thám. Nhu cầu hàng năm về
loại sách này như sau:
Nhu cầu (cuốn)
30
31
32
33
P
0,3
0,15
0,3
0,25
• Cửa hàng mua sách với giá 7USD một cuốn, bán
ra với giá 10USD một cuốn nhưng đến cuối năm
phải hạ giá với giá 5USD một cuốn. Cửa hàng
muốn xác định số lượng nhập sao cho lợi nhuận
kì vọng là lớn nhất.
48
Ví dụ 5
• Gọi Xi là số tiền lời khi nhập thêm i cuốn sách
(ngoài 30 cuốn).
• Số tiền lời khi nhập 30+i (cuốn) là: Yi= 90+Xi
• Với X0:
• Bảng ppxs của X0 là:
X0
0
P
1
• Vậy E(Y0)=E(90+ X0)=90+E(X0)=90
49
Ví dụ 5
• Với X1 ta có bảng ppxs:
X1
-2
3
P
0,3
0,7
• Vậy E(Y1)=90+E(X1)=91,5
• Với X2 ta có:
X2
-4
1
6
P
0,3
0,15
0,55
• Vậy E(Y2)=90+E(X2)=92,25
50
Ví dụ
• Với X3 ta có bảng ppxs:
X3
-6
P
0,3 0,15 0,3 0,25
-1
4
9
• Vậy E(Y3)=90+E(X3)=91,5
• Ta thấy E(Y2) lớn nhất như vậy nếu nhập về 32
cuốn sách thì lợi nhuận kì vọng lớn nhất.
51
Hệ số biến thiên
• Kí hiệu: CVx.
CVX 
X
EX 
 E  X   0
• Đo mức độ thuần nhất của bnn. CVx càng nhỏ
bnn càng thuần nhất.
• So sánh độ phân tán của các bnn không có
cùng đơn vị, không có cùng kỳ vọng.
52
Median (Trung vị)
• Ký hiệu MedX, me là giá trị chia đôi hàm phân
phối.
 P  X  me   0,5

 P  X  me   0,5
• Hay
P  X  me   0,5  P  X  me 
53
Median (Trung vị)
• Nếu X liên tục thì:
me
 f  x  dx  0,5

S1  0,5
me
54
Median (Trung vị)
• Nếu X rời rạc thì:
m, m   xi , xi 1  neб
u F  xi   0,5  F  xi 1 
me  
neб
u F  xi   0,5  F  xi 1 
 xi
0  F  x1 
F  xi 
0,5 0,5
me  m   xi , xi 1 
F  xi 1 
me  xi
55
ModX
Ký hiệu:
ModX  m0
Nếu X rời rạc:
P  X  m0   max P  x  xi 
i
Nếu X liên tục:
f  m0   max f  x 
xR
56
Ví dụ 1
Cho bnn X
X
1
P
0,1
2
3
4
5
0,2 0,15 0,3 0,25
Ta có:
Vậy
X
1
2
F(X)
0
0,1
3
4
5
0,3 0,45 0,75
Med  X   4  Mod  X 
57
Ví dụ 2
Cho bnn X có hàm mật độ:
1
f  x 
2
  x  1
 phaвn phoбiCauchy 
a) Tìm MedX, ModX.
b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.
58
Ví dụ 3
Cho bnn X có hàm mật độ:
1
 sin x , x   0, 
f  x   2
0
, x   0, 

a) Tìm MedX, ModX.
b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.
59
Ví dụ 4 (Khó)
• Cho bnn X có hàm
mật độ:
x
2
1 2
f  x 
e
2
 Standard Normal Distribution 
a) Tìm MedX, ModX.
b) Tìm E(X), Var(X) nếu có.
• Lưu ý tính chất:

1
e

2 
x2

2
dx  1
60
Ví dụ 5
Cho bnn X có hàm mật độ xác suất:
0
f  x    x
e
,x  0
,x  0
   0
 Tìm ModX, MedX?
 Tìm E(X), Var(X)?
 Tìm hàm ppxs F(x)?
61
Ví dụ 4
• Cho bnn X có hàm mật độ xác suất
3
 x 2  x
f  x   4
0

,0  x  2
, x   0, 2
• Tìm MedX và ModX?
62
Hệ số bất đối xứng
• Kí hiệu:
3 
E  X  
 X 
3
3
;  E  X 
• Đo mức độ bất đối xứng của luật phân bố
63
Hệ số bất đối xứng
• Đồ thị đối xứng
3  0
64
Hệ số bất đối xứng
• Hàm mật độ lệch về bên phải.
3  0

65
Hệ số bất đối xứng
• Hàm mật độ lệch về bên trái.
3  0

66
Hệ số nhọn
• Kí hiệu:
4 
E  X  
 X 
4
4
• Đặc trưng cho độ nhọn của hàm mật độ so với
đồ thị của phân bố chuẩn.
• Biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn thì 4=3
67
Hệ số nhọn
• 4>3 đồ thị hàm mật độ nhọn hơn so với phân phối
chuẩn
• 4=3 đồ thị hàm mật độ tù hơn so với phân phối
chuẩn
68
Hệ số nhọn
• Đồ thị hàm mật độ của bnn pp chuẩn
1
f  x 
 2
4  3
4  3
2
x  


e
2 2
4  3
69
Kiểm tra 30’ lớp 187
Bài 1. Một hộp có 10 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm
trong hộp, X có bảng phân phối xác suất như sau:
X
P
0
0,6
1
0,3
2
0,1
• Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm. Tính xác suất lấy
được 1 phế phẩm và 1 chính phẩm.
Bài 2. Cho bnn X có hmd:
2

ax
 bx

f  x  

0
, x   0,1
, x   0,1
Biết E(X)=0,6. Tìm a và b.
70
Hệ số nhọn
• Đồ thị hàm mật độ của bnn pp chuẩn
1
f  x 
 2
4  3
4  3
2
x  


e
2 2
4  3
71
Kiểm tra 30’
• 1. Một lô sản phẩm gồm 100 sản phẩm trong đó
có 90 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm. Chọn ngẫu
nhiên ra 3 sản phẩm (chọn 1 lần). Gọi X là số sản
phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.
• Tìm phân phối xác suất của X.
• Viết hàm phân phối và tính E(X); Var(X) và
P(X≥1)?
2.Cho P  A  0, 6; P  B  0, 7; P  AB  0, 4. Tмm:




a) P A  B ; b)P A A  B ;

c)P A  B B

72