Transcript 2014 Chương 3.1
Chương 3
Qui luật phân phối xác suất thường gặp
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 1
Bài toán
Xét tập hợp có N phần tử.
N
M M
Tính chất A Lấy ngẫu nhiên n phần tử.
X: số phần tử có t/c A trong n phần tử đã lấy.
Qui luật ppxs của X?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 2
Bài toán
• Ta có: X={0,1,2,…,k}
k
k C C M
.
n k N M C N n
• • Bnn X gọi là có phân phối Siêu bội X~H(N, M, n) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 3
Phân phối Siêu bội
Kí hiệu: X~H(N,M,n) • • Định nghĩa: Bnn X gọi là phân phối theo qui luật siêu bội nếu: X={0,1,2,3…n} Với xác suất tương ứng là:
k
k C C M
.
n k N M C N n
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 4
Ví dụ 1
Trong một cửa hàng bán 100 bóng đèn có 5 bóng hỏng. Một người mua ngẫu nhiên 3 bóng. Gọi X là số bóng hỏng người đó mua phải.
a) X pp theo qui luật gì? Viết biểu thức?
b) Lập bảng phân phối xác suất của X? Tính kì vọng, phương sai của bnn X?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 5
Có 100 bóng đèn.
Ví dụ 1
95 5 Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.
X: số bóng hỏng .
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Tính chất A: hỏng
X H
k
C C
5
k
5 95
k
3
C
100 Nguyễn Văn Tiến 6
Bảng ppxs: X P
Phân phối siêu bội
0 1 2 3 0,856 0,138 0,006 0,000 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 7
Các tham số
Cho bnn X~H(N,M,n) ta có:
np
;
npq N N
n
1 Trong đó: Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
p
M
;
N q p
Nguyễn Văn Tiến 8
Tính lại kết quả Ví dụ 1
Kỳ vọng: Phương sai:
npq N N
n
1
np
5 3 .
100
3 .
5 .
95 97 .
100 100 99 1843 13200 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 9
Ví dụ 2
Một hộp có 20 sản phẩm trong đó có 6 phế phẩm.
Lấy ngẫu nhiên 4 sp từ hộp. Gọi X là số phế phẩm trong 4 sp.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Tính E(X), Var ( X)?
c) Tìm Mod(X), Med(X)?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 10
Phân phối Nhị thức (Bernoulli)
Kí hiệu: X~B(n,p) • • Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luật Bernoulli nếu X={0,1,2,3…n} Với xác suất tương ứng là:
k
n k k
C p q
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 11
Dãy phép thử Bernoulli
Là dãy n phép thử thỏa 3 điều kiện : – Các phép thử trong dãy độc lập nhau.
– Mỗi phép thử chỉ xét 2 biến cố : A và không A – Xác suất của biến cố A trong mọi phép thử của dãy là hằng số .
p
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 12
Phân phối Nhị thức
Đặt X là số lần bc A xuất hiện phép thử Bernoulli.
trong dãy Khi đó: X~B(n,p) với: n: số phép thử trong dãy p: xác suất để biến cố A xuất hiện.
n
p
Y: số lần A không xuất hiện trong n phép thử. Ppxs của Y?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 13
Tham số đặc trưng
• Cho bnn X~B(n,p). Ta có:
i
)
np ii
)
VarX
npq
n
1
p
mod
X
np ModX
p n
1
p
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 14
Ví dụ 1
Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm với xác suất 1 phế phẩm là 1%.
a) Cho máy sản xuất ra 10 sản phẩm, tính xác suất có 2 phế phẩm?
b) Máy phải sản xuất ra bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một phế phẩm nhỏ hơn 7%?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 15
Ví dụ 1 a
• • • • Tính xác suất … sx 10 lần trong 10 sản phẩm 10 phép thử XS có 2 phế phẩm =t/c A máy phải t/c quan tâm: phế phẩm Số lần A x/h: 2 Các phép thử có độc lập? Kết quả có ảnh hưởng lẫn nhau?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 16
Ví dụ 1
Gọi X là số phế phẩm trong 10 sản phẩm sản xuất ra.
Xác suất sản xuất ra một phế phẩm:
Vậy X~B(10;0,01) 2
C
2 10
8 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 17
Ví dụ 1b
Cần tìm số sản phẩm tìm số lần sx số phép thử n Lưu ý: các phép thử vẫn không đổi độc lập và xs của A vẫn Bc cần tính: B=“ít nhất 1 pp” (trong n sản phẩm) Yêu cầu: P(B)<0,07 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 18
Ví dụ 1
Gọi n là số sản phẩm cần sản xuất.
Y : “số phế phẩm trong n sản phẩm sản xuất ra”.
Ta có: Y~B(n;0,01) B: “có ít nhất một phế phẩm trong n sản phẩm”
P A
P Y
1
n
0
log
n
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 19
Ví dụ 2
Cho bnn X có hàm mật độ: 4 0
x
3 ; ;
x
x
, Tính xác suất để trong đúng 2 lần (0,25;0,5) 3 phép thử độc lập có bnn X nhận giá trị trong khoảng Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 20
Ví dụ 2
• • • • • Tính xác suất trong 3 phép thử độc lập trình gồm 3 phép thử độc lập .
quá Tính chất A: X thuộc (0,25;0,5) Số lần xuất hiện A: 2 Liệu xác suất A có giống nhau trong cả 3 phép thử???
Ta thường dùng pp Bernoilli khi có sự lặp lại các phép thử Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 21
Ví dụ 2
Ta có::
P
X
4 3
x dx
Gọi Y là số lần bnn X nhận giá trị trong khoảng (0,25;0,5) trong 3 phép thử độc lập.
Ta có: Y~B(3;0,0586) Vậy: 2
C
3 2 1 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 22
Ví dụ 3
Tín hiệu thông tin được phát đi 3 lần độc lập nhau. Xác suất thu được mỗi lần là 0,4. Tìm xác suất: a) Nguồn thu nhận được đúng 2 lần.
b) Nguồn thu nhận được thông tin đó.
c) Tìm giá trị chắc chắn nhất của số lần thành công.
d) Nếu muốn xác suất thu được tin ≥0,9 thì phải phát đi bao nhiêu lần.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 23
Tính chất
Cho X~B(n,p). Nếu n=1 thì ta ghi X~A(p).
X có phân phối Không_một.
X P 0 1-p 1 p Thường gặp trong biến phân loại.
Ví dụ: chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên. Đặt:
X
1 0 , , Điều này có nghĩa là trong lớp có 40% nam và 60% nữ.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 24
Tính chất
Cho X 1 , X 2 là hai bnn độc lập.
Giả sử:
X
1
B
n
1 ,
p
;
X
2 2 ,
p
Khi đó:
X
1
X
2 1
n
2 ,
p
Hệ quả: Tổng của n biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng pp A(p) là bnn có pp B(n,p) X i i n
1
X i
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 25
Ví dụ 4
• Một cửa hàng một ngày nhận bán 10 loại nhật báo khác nhau. Xác suất bán hết báo trong ngày của mỗi loại là 0,8. Vậy nếu trong một năm với khoảng 300 ngày bán hàng thì có khoảng bao nhiêu ngày bán không hết báo?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 26
Cách học pp xác suất
• • • • • Nhớ tên phân phối.
Công thức (cách) tính xác suất.
Các tham số đặc trưng.
Bài toán dẫn đến phân phối đó (thường gặp nhất là siêu bội và Bernoulli).
Với bnn rời rạc nhớ thêm miền giá trị.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 27
Phân phối Poisson P(
λ)
Kí hiệu:
X~ P(λ) • • Định nghĩa: bnn X gọi là phân phối theo qui luật Poisson P(λ) nếu X={0,1,2,3…} Với xác suất tương ứng là:
k
)
e
k k
!
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 28
Các tham số và tính chất
• Cho X~ P(λ). Ta có:
i
)
ii
)
iii
)
VarX
ModX
• X 1 , X 2 là hai bnn độc lập và X 1 ~ P(λ 1 ); X 2 ~ P(λ 2 ).
Ta có:
X
1
X
2
P
1 2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 29
Bài toán dẫn đến phân phối Poisson
Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A thời gian (t 1 ;t 2 ) trong khoảng thỏa các điều kiện sau: a) Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng thời gian (t 1 ;t 2 ) không ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện A trong khoảng thời gian kế tiếp.
b) Số lần xuất hiện biến cố A trong một khoảng thời gian bất kì tỉ lệ thuận với độ dài của khoảng đó.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 30
Bài toán dẫn đến phân phối Poisson
Gọi c: cường độ xuất hiện A.
Khi đó: X~P(λ) với λ=c(t 2 -t 1 )>0.
Chú ý: khoảng thời gian có thể được thay thế bởi khoảng khác như: khoảng cách , diện tích , thể tích …
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 31
Một số ví dụ
• Số lượng xe hơi đi ngang qua 1 điểm trên con đường trong một khoảng thời gian cho trước.
• Số lần gõ bị sai của khi đánh máy một trang giấy.
• Số lần truy cập vào một máy chủ web trong mỗi phút.
• Số lần động vật bị chết do xe cộ cán phải trên mỗi đơn vị độ dài của một con đường.
• Số lượng cây thông trên m hỗn hợp.
ỗi đơn vị diện tích rừng • Số cuộc điện thoại tại một trạm đi ệ n mỗi phút.
thoại trong Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 32
Một số ví dụ
• Số lượng người lính bị chết do ngựa đá mỗi năm trông mỗi đội của kị binh Phổ. Ví dụ này rất nổi tiếng trong cuốn sách của Ladislaus Josephovich Bortkiewicz (1868 –1931).
• Phân phối của các tế bào cảm quang trong mắt.
võng mạc của • Số lượng bóng đèn bị cháy trong một khoảng thời gian xác định.
• Số lượng virut có thể lây nhiễm lên một tế bào trong cấu trúc tế bào.
• Số lư ợ ng phát minh của một nhà sáng chế trong suốt cuộc đời của họ.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 33
Ví dụ 1
Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1 giờ có a. Đúng 3 ống sợi bị đứt. ( biến cố A) b. Có ít nhất 1 ống sợi bị đứt.( bc B)
Giải:
Gọi X là số ống sợi bị đứt trong một giờ. Ta có: X~P(4) 3 4 3 3 !
e
4 1 0 4 0 !
0
e
4
e
4 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 34
Ví dụ 2
Trung bình một ngày (24h) có 12 chiếc tàu vào cảng. Chọn ngẫu nhiên 3 giờ trong một ngày.
Tính xác suất để 2 trong 3 giờ ấy có đúng một tàu vào cảng.
Giải: Gọi X là số tàu vào cảng trong một giờ. Ta có: X~P(0,5) Xác suất để trong 1 giờ bất kì có đúng một tàu vào cảng là:
1 1 !
e
, 2 1
e
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 35
Ví dụ 2
Gọi Y là số giờ có đúng 1 tàu vào cảng trong 3 giờ.
Ta có:
Y
~
B
3 ; 2 1
e
Vậy xác suất để 2 trong 3 giờ có đúng một tàu vào cảng là: 2
C
3 2 2 1
e
1 2 1
e
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 36
Ví dụ 3
Một trạm điện thoại trung bình nhận được 300 cuộc gọi trong một giờ. Tính xác suất: a) Trạm nhận được đúng 2 cuộc gọi trong vòng 1 phút.
b) Trạm nhận được đúng 3 cuộc gọi trong vòng 5 phút.
c) Để 2 trong 3 phút liên tiếp, mỗi phút trạm nhận được nhiều nhất 1 cuộc gọi.
Giải:
a) Gọi X là số cuộc gọi nhận được trong một phút.
Ta có: X~P(5) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 37
Ví dụ 3
Xác suất có đúng 2 cuộc gọi trong một phút.
2 5 2 !
2
e
5 b) Gọi Y là số cuộc gọi trạm nhận được trong 5 phút. Ta có: Y~P(25) Xác suất có đúng 3 cuộc gọi trong 5 phút.
3 25 3
e
25 3 !
c)Sinh viên tự giải.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 38
X
~
X
~
P
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Xấp xỉ xác suất
, n< n p rất lớn rất nhỏ ~ n p rất lớn rất lớn ~ Nguyễn Văn Tiến 39X
X
P