Transcript Chương 2 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Bài 2
Biến ngẫu nhiên và phân phối xác
suất
Biến ngẫu nhiên
Biểu diễn định lượng các kết quả của thí
nghiệm ngẫu nhiên
 X là biến ngẫu nhiên
X(B)

X : 

X ( )
B
Biến ngẫu nhiên
Biến ngẫu
nhiên
Biến ngẫu nhiên
rời rạc
Biến ngẫu nhiên
liên tục
Biến ngẫu nhiên rời rạc
Có miền giá trị là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm
được
 Ví dụ

Tung một con xúc sắc 2 lần
Đặt X là số lần mặt 4 điểm xuất hiện. X có thể nhận
các giá trị 0, 1, hoặc 2.

Tung đồng xu 5 lần
Đặt Y là số lần xuất hiện mặt hình.

Thì Y = 0, 1, 2, 3, 4, hoặc 5
Biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ
Tung một con xúc sắc cân đối và đồng chất
Đặt X = Số lần tung cho đến khi mặt 6 điểm
xuất hiện.
X = 0, 1, 2, …
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
rời rạc
Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị
x1, x2, …, xn.
 Hàm xác suất của X: f ( xi )  P( X  xi )


Để đơn giản, ký hiệu pi=f(xi)=P(X=xi)

ĐK

f ( xi )  0
n

 f (x )  1
i 1
x1 x2
Xn-1
f(x1)
f(xn-1)
i
f(x2)
1
xn
f(xn)
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
rời rạc
Thí nghiệm: Tung 2 đồng xu.Đặt X: số lần xuất
hiện mặt hình.
4 khả năng có thể xảy ra
Phân phối xác suất
S
H
H
S
H
S
H
x
P(x)
0
1/4 = .25
1
2/4 = .50
2
1/4 = .25
Xác suất
S
.50
.25
0
1
2
x
Biến ngẫu nhiên liên tục
Có miền giá trị là R hoặc một tập con của R.
 Ví dụ
- Chiều cao, cân nặng.
- Thời gian để hoàn thành 1 công việc.

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
liên tục

Hàm mật độ xác suất
f(x) gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu
nhiên liên tục X nếu
i ) f ( x)  0 x

ii )  f ( x)dx  1

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
liên tục

Tìm P(a<X<b)?
f(x)
P (a ≤ x ≤ b)
= P (a < x < b)
a
b
b
P(a  X  b)   f ( x)dx
a
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên
liên tục

Lưu ý:
c
P( X  c)   f ( x)dx  0
c

Do đó
P ( a  X  b)  P ( a  X  b)
 P ( a  X  b)  P ( a  X  b)
Hàm phân phối xác suất

Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác
suất của X, ký hiệu F(x), được định nghĩa như
sau
F ( x)  P  X  x 

Xác suất X thuộc (a,b]
P(a  X  b)  F (b)  F (a)
Hàm phân phối xác suất
Tính chất
1) 0  F ( x)  1.

2) F(x) là hàm không giảm: nếu a<b thì F(a)  F(b).
3) F ()  lim F ( x)  0
x 
F ()  lim F ( x)  1
x 
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối F(x) thì
hàm mật độ f(x) = F’(x) tại những điểm liên tục của X.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc

Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị x1,
x2, …, xn (x1<x2< …< xn) với các xác suất
tương ứng p1, p2, …, pn.
Với pi = P(X=xi).

Bảng phân phối xác suất của X
X x1 x2 …
xn-1 xn
P p1 p2 …
pn-1 pn
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc

Hàm phân phối xác suất của X tại điểm x0
F(x 0 )  P(X  x 0 )

Cụ thể
F(x 0 ) 
p
xi  x 0
i
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc
0 , x  x1
p ,x  x  x
2
 1 1
 p1  p2 , x2  x  x3
F ( x)  P( X  x)  

 p1  p2  pn 1 , xn 1  x  xn

1 , x  xn
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc

Ví dụ
Tung con xúc sắc cân đối và đồng chất.
Đặt
X = “Số điểm mặt trên con xúc sắc”
Lập bảng phân phối xác suất cho X.
Viết hàm phân phối.
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu
nhiên rời rạc

Ví dụ
Tung một đồng xu cân đối.
Đặt
X = Số lần tung cho đến khi xuất hiện
mặt hình.
Lập bảng phân phối xác suất cho X.
Viết hàm phân phối.
Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu
nhiên liên tục

Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm
mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác
suất của X
F ( x)  P  X  x  
x


f (u )du
Hàm phân phối xác suất của biên ngẫu
nhiên liên tục

Ví dụ
Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất
3 2
 x
f ( x)   8
0


,0  x  2
,
Tìm hàm phân phối F(x).
Tính P(1<X<3/2).
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Là giá trị trung bình theo xác suất của tất
cả các giá trị có thể có của biến ngẫu
nhiên.
 Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm của
phân phối xác suất

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân
phối xác suất
X
P
x1 x2 …
p1 p2 …
Với pi = P(X=xi) và
xn-1 xn
pn-1 pn
n
p
i 1
i
1 .
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Kỳ vọng của X
n
EX   xi pi
i 1

Kỳ vọng thường được ký hiệu là .

Tổng quát
EX   xP( X  x)
x
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ
Tung con xúc sắc. Đặt
X = Số điểm mặt trên con xúc sắc. Tính EX.
X 1
2
3
4
P 1/6 1/6 1/6 1/6
5
1/6
6
1/6
EX = 1x1/6 + 2x1/6 + … + 6x1/6 = 7/2
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục
Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm
mật độ xác suất f(x).
 Kỳ vọng của X


EX 
 xf ( x)dx

Ví dụ. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
2 x , 0  x  1
f ( x)  
0 , 
Tính EX.
Tính chất của kỳ vọng
1)
2)
3)
4)
5)
EC = C, C: hằng số
E(CX) = C.EX
E(X + Y)=EX + EY
E(XY) = EX.EY nếu X và Y độc lập
Cho hàm
số h(x), khi đó
n
Eh( x)   h( xi ) pi
nếu X rời rạc
i 1

Eh( x) 
 h( x) f ( x)dx

nếu X liên tục
Tính chất của kỳ vọng

Ví dụ
Cho h(x) = x2, h(X)=X2
n
EX   x pi
2
i 1

EX 2 


2
i
nếu X rời rạc
x 2 f ( x)dx nếu X liên tục
Phương sai của biến ngẫu nhiên

Biểu thị độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu
nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó. Nếu
phương sai bé thì các giá trị của X tập trung gần trung
bình.

Xét biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng EX, phương sai của
X
VarX  E ( X  EX )2
= EX  ( EX )
2

2
Phương sai thường được ký hiệu là 2.
Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc
Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
 Ký hiệu  = EX.

n
VarX  E ( X  EX )    xi    pi
2
2
i 1
hoặc
n
VarX  EX 2   EX    x 2 pi   2
2
i 1
Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ
Tung 2 đồng xu. Đặt
X = Số lần xuất hiện mặt hình.
Tính VarX.

Bảng phân phối xác suất

X 0
1
P 0.25 0.5
2
0.25
EX=0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25=1
VarX = EX2 – (EX)2 =
= (0x0.25 + 1x0.5 + 4x0.25) – 1
= 0.5
Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục
Xét X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật
độ xác suất f(x).
 Ký hiệu  = EX.


VarX  E ( X  EX ) 
2
 x  
2
f ( x)dx

hoặc
VarX  EX   EX  
2
2



x 2 f ( x)dx   2
Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục

Ví dụ
Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ
xác suất
3 2
 x
f ( x)   8
0
Tính EX, VarX.
,0  x  2
,
Độ lệch tiêu chuẩn

Độ lệch tiêu chuẩn của một biến ngẫu
nhiên, là căn bậc hai của phương sai.
Ký hiệu: .
    VarX
2
Tính chất của phương sai
1)
2)
3)
Var(c)=0, c:hằng số
Var(cX)=c2VarX
Var(X+c)=VarX
Var(X + Y) = VarX + VarY nếu X và Y độc
lập.