Transcript 2014 Chương 3.2

Phân phối chuẩn N(, 2)
• Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn
với tham số  và 2 nếu hàm mật độ của nó
có dạng:
f ( x) 
1

2

e
x 
2
2
2
• Ký hiệu: X ~ N(, 2)
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
1
Đồ thị hàm mật độ
f ( x) 
1

2

e
x 
2
2
2



 
M ed
M od
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
2
Định lý
N eá
u X ~ N   ,
i) E  X

2

thì:
 
ii ) M odX  
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
V ar  X


2
M edX  
Nguyễn Văn Tiến
3
Giá trị của X ~ N(, 2)
•
•
•
•
68.26% nằm trong khoảng (-σ; +σ)
95.44% nằm trong khoảng (-2σ; +2σ)
99.73% nằm trong khoảng (-3σ; +3σ).
99.99% nằm trong khoảng (-4σ; +4σ).
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
4
Các bnn có pp chuẩn
•
•
•
•
•
Trọng lượng, chiều cao của một nhóm người
Lãi suất của một công ty
Nhu cầu tiêu thụ một mặt hàng nào đó
…..
Nếu bnn X là tổng của n bnn độc lập và giá trị
của các bnn này chỉ chiếm vai trò nhỏ trong X
thì X có phân phối chuẩn khi n đủ lớn.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
5
Phân phối chuẩn tắc
• Nếu Z~N(0;1) ta nói Z có phân phối chuẩn tắc.
• Hàm mật độ của Z:
f x 

1
2
e
x
2
2
  x
• Hàm phân phối của Z:
F x 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
1
2
x


e
t
2
2
dt

Nguyễn Văn Tiến
6
Đồ thị hàm mật độ N(0;1)
 x 
1
2

e
x
2
2
E  Z   0;
V Z   1
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
7
Hàm phân phối xác suất của N(0;1)
F x 
1
2
x


e
t
2
2
dt

F  t   0, t   3
F  0   0, 5
F t   1, t  3
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
8
Xác suất của N(0,1)
• Được tính dựa vào tích phân Laplace sau:
  x 
• Ý nghĩa:
1
2
x
e

t
2
2
x
dt     t  dt
0
0
x
  x      t  dt
0
  x   P 0  X  x  ,x  0
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
9
Xác suất của N(0,1)
• Tính chất:
i )    x     x 
ii )        0, 5
       0, 5
iii ) P  a  Z  b     b     a 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
10
Liên hệ giữa chuẩn và N(0,1)
N eá
u X ~ N   ,
2

thì: Z 
X 

~ N  0,1  .
• Định lý này cho phép ta đưa các tính toán liên
quan tới X ~ N(, 2) về phân phối chuẩn tắc.
a
X 
b 
P a  X  b  P 


  P  a  Z  b

 
 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
11
Chuẩn hóa phân phối chuẩn
X
N   ;
2

Z 
X 

N  0;1 
 1


P a  X  b
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 0
b 
a
P
Z 

 
 
Nguyễn Văn Tiến
12
Xác suất của X~N(μ;σ2)
1.
b 
a 
P a  X  b   
 

  
  
2.
a 
a 
P  X  a         
  0, 5   







3.
b 
b 
P  X  b   
        0, 5   







• Giá trị của tích phân Laplace ϕ(t) dò trong bảng
Phụ lục 2.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
13
Tính chất pp chuẩn
• Nếu a, b là các số thực thì:
X
N   ;
2
 Z
 aX  b

N a   b ;  a

2

• Tổ hợp tuyến tính của các bnn độc lập có phân
phối chuẩn là một bnn cũng có pp chuẩn.
X1
N  1 ; 1
X2
N   2 ; 2
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 
 Z
 
2
 aX 1  bX 2
Nguyễn Văn Tiến
N  ?; ? 
14
Ví dụ
• Cho X~N(3,1) và Y~N(4,2) độc lập. Tìm các xác
suất:
a. X  Y
b . X  2Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
15
Ví dụ 1
1. Cho X là bnn có phân phối chuẩn với E(X)=10
và P(10<X<20)=0,3. Tính xác suất P(0<X<15)?
2. Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục
vụ tại một cửa hàng là bnn X, biết X~N(4,5;
1,21)
a) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 đến 5
phút?
b) Tìm t biết xác suất khách phải chờ không quá t
là không quá 5%?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
16
Ví dụ 2
• Tuổi thọ một loại máy lạnh A là bnn X có phân
phối N(10; 6,25). Khi bán một máy thì lời 1,4
triệu đồng nhưng nếu máy lạnh phải bảo hành
thì lỗ 1,8 triệu đồng. Vậy để có tiền lãi trung
bình khi bán loại máy lạnh này là 0,9 triệu đồng
thì cần qui định thời gian bảo hành là bao lâu?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
17
Ví dụ 3
• Có hai thị trường A và B. Lãi suất cổ phiếu trên
2 thị trường này là biến ngẫu nhiên có phân
phối chuẩn, độc lập nhau, có kỳ vọng và
phương sai như sau:
Trung bình Phương sai
Thị trường A 19%
36 (%)2
Thị trường B 22%
100 (%)2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
18
Ví dụ 3
• a) Nếu mục đích là đạt được tối thiểu 10% lãi
thì nên đầu tư vào thị trường nào?
• b) Để tránh rủi ro thì đầu tư vào hai thị trường
này theo tỷ lệ như thế nào?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
19
Quy tắc 2 sigma và 3 sigma
N eá
u X ~ N   ,
2

thì:
i ) P    2  X    2
  0, 9544
ii ) P    3  X    3
  0, 9972
• Áp dụng: một biến ngẫu nhiên mà chưa biết
ppxs nhưng nếu thỏa mãn một trong hai qui tắc
trên thì có thể xem nó có phân phối chuẩn.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
20
Xấp xỉ pp chuẩn
X ~ B  n, p 
 n p  5; n q  5

n  30
 0,1  p  0, 9

npq  20
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
n rất lớn
0,1<p<0,9
X ~ N   ,
2

  E  X   np

2
V X
Nguyễn Văn Tiến
  npq
21
Công thức tính xác suất
PX  k 
 k  np 


npq  npq 
1
P  k1  X  k 2 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 k  np 
 k  np 
2
1

 


 npq 
 npq 




Nguyễn Văn Tiến
22
Công thức tính xác suất
 k  0, 5  np 
 k  0, 5  np 
PX  k 
 





npq
npq




P  k1  X  k 2 
 k  0, 5  np 
 2




npq


Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 k  0, 5  np 
1


npq


Nguyễn Văn Tiến
23
Ví dụ 4
• Gieo 3200 lần một đồng xu cân đối và đồng
chất. Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp trong
3200 lần đó.
• A) Tìm số lần xuất hiện mặt sấp có khả năng
nhất. Tính xác suất tương ứng.
• B) Tính xác suất:

P 5 2  1600  X  10 2  1600
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến

24
Ví dụ 5
• Một khách sạn có 300 phòng nhận đặt chỗ của
325 khách hàng vào ngày 01/08/2011. Theo
kinh nghiệm những năm trước thì tỉ lệ khách
đặt phòng mà không đến nhận phòng là 10%.
Tính xác suất:
a. Có đúng 300 khách đến đặt phòng.
b. Tất cả các khách đến đều được nhận phòng.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
25
Ví dụ 6
• Trọng lượng các viên thuốc có phân phối chuẩn
với kỳ vọng 250mg và phương sai 81 mg2.
Thuốc được đóng thành vỉ, mỗi vỉ 10 viên. Một
vỉ được gọi là đúng tiêu chuẩn khi có trọng
lượng từ 2490 mg đến 2510 mg (đã trừ bao bì).
Lấy ngẫu nhiên 100 vỉ để kiểm tra. Tính xác
suất:
• A. Có 80 vỉ đạt tiêu chuẩn.
• B. Có từ 70 vỉ trở lên đạt tiêu chuẩn.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
26
Ví dụ 7
• Khảo sát một lô thuốc viên, trọng lượng trung bình
của một viên thuốc là 252,6 mg và có độ lệch
chuẩn 4,2 mg. Giả sử trọng lượng pp theo quy luật
chuẩn.
• A. Tính tỷ lệ viên thuốc có trọng lượng lớn hơn 260
mg.
• B. Tính trọng lượng x0 sao cho 30% viên thuốc nhẹ
hơn x0.
• C. Viên thuốc đạt tiêu chuẩn phải có trọng lượng
xung quanh trung bình với độ lệch tối đa 5%. Tính
tỷ lệ viên thuốc đúng tiêu chuẩn của lô thuốc được
khảo sát.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
27
Xấp xỉ Poisson bằng N(0,1)
• Cho bnn X có phân phối Poisson
X ~ P  
EX
?
V X
?
• Ta chứng minh được:
X 

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
~ N  0,1  khi   
Nguyễn Văn Tiến
28
Phân phối chuẩn
• Kỳ vọng:

EX
 
x. f
 x  dx


EX
  x



1
e
2
x 
2
2
dx 
2
1

2



x 
xe
2
2
2
dx

• Phương sai:

V ar  X
 
x . f  x  dx   E  X  
2
2

V ar  X

1

2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014



2
x e

x 
2
2
2
 1
dx  
  2




xe

Nguyễn Văn Tiến
x 
2
2
2

dx 


2
29
Phân phối chuẩn
• Tích phân Poisson:

K 


x
2
dx 
2
e
2

EX

• Đổi biến số:z 
EX



2
1



xe
x 
2
2
2
dx

 dx   dz

  z    e
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
2
x




z
2
2
dz 
1 

2 



ze
z

2
2
dz  

Nguyễn Văn Tiến
e


z
2
2

dz   

30
Phân phối chuẩn
• Phương sai:
V ar  X

1



2

2
x e

x 
2
2
2

2
x e
2
2
dx  

dx  

 
2
2

• Tương tự ta có:

2
x 
z  2  z  
2
2
e

z
2
2
dz



3

2
z e

z
2
2
dz   
2
2

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
31
Phân phối chuẩn
• Ta có:


2
z e


z

2
2
dz  2

0
2
z e

z
2
2
2

z


dz  2 lim  ze 2
t   

t
t

0
e

0
z
2
2

dz  


2
u  z
 du  d z


2
2
 
z
z



2
 dv  z .e dz
 v   e 2
Vậy:
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
32
PHÂN PHỐI CHUẨN
V ar  X




1

2



2  
1

2 


2

2
x e

3

2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

dx  
2
z
2
2
2
z e
dz   
2

2   
3
2
  
2
2

1

2
x 
2

2
2   

2
2   

2
Nguyễn Văn Tiến
33
PHÂN PHỐI CHUẨN
• Vậy ta có:
EX

 
V ar  X


2
• Biết hàm mật độ của bnn có phân phối chuẩn ta
đồng thời biết cả kì vọng và phương sai của bnn
này
• Ta dễ dàng tính được:
M od  X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

M ed  X

Nguyễn Văn Tiến
34
• Thục Hi và 1 sv 188 kiểm tra lại thứ 4.\
• Phạm ng đăng khoa 1101017159 về sớm
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
35