Transcript 2014 - WordPress.com

Chương 5
LUẬT SỐ LỚN
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
1
Hội tụ theo xác suất
• Dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn gọi là hội tụ
theo xác suất về bnn X nếu:
lim P  X n  X     0,    0.
n 
• Ký hiệu:
X n  n

 X

P
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
2
Hội tụ theo phân phối
• Dãy các biến ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn gọi là hội tụ
theo phân phối về bnn X nếu:
lim P  X n  x   P  X  x  ,  x .
n 
lim F X n  x   F X  x  ,  x .
n 
• Ký hiệu:
X n  n


X

F
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
3
Ý nghĩa
• Hội tụ theo xác suất: khi n đủ lớn ta có thể xem
Xn không khác biệt mấy so với X.
• Hội tụ theo phân phối:
• Hội tụ P kéo theo hội tụ F.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
4
Bất đẳng thức Chebyshev
• Cho X là biến ngẫu nhiên không âm, có kỳ
vọng hữu hạn. Khi đó với mọi a>0 ta có:
PX  a 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
EX

a
Nguyễn Văn Tiến
5
Bất đẳng thức Chebyshev
• Cho X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng và
phương sai hữu hạn. Khi đó:
P
P
X
X
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 EX
 EX



 

V X

   1

2
V X


2
Nguyễn Văn Tiến
6
Luật số lớn Chebyshev
• Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập,
có kỳ vọng hữu hạn và phương sai bị chặn trên
bởi hằng số C thì:
 1
lim P 
n 
 n
n
X
i 1
i

1
n
EX 

n
i
i 1

  1

  0
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
7
Hệ quả 1
• Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập,
có cùng kỳ vọng  và các phương sai bị chặn
trên bởi hằng số C thì:
X 1  X 2  ...  X n
n
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 n



P
Nguyễn Văn Tiến
8
Hệ quả 2
• Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập,
có cùng phân phối xác suất. Giả sử kỳ vọng 
và phương sai là 2 thì:
X 1  X 2  ...  X n
n
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 n



P
Nguyễn Văn Tiến
9
Ý nghĩa
• Trung bình của các bnn độc lập hội tụ theo xác
suất về trung bình kỳ vọng tương ứng của
chúng.
• Như vậy mặc dù từng biến ngẫu nhiên có độc
lập có thể nhận giá trị khác nhiều so với kỳ vọng
của chúng nhưng trung bình của một số lớn các
bnn độc lập lại nhận giá trị gần với trung bình
kỳ vọng của chúng với xác suất rất lớn.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
10
Luật số lớn Bernoulli
• Gọi fn là tần suất xuất hiện bc A trong n phép
thử độc lập.
• Tần suất fn hội tụ theo xác suất về xác suất p
của biến cố A.
lim P  f n  p     1,    0
n 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
11
Chứng minh
• Xét dãy các bnn như sau:
Xk
1

0
, neá
u A x aû
y ra l aà
n k.
, neá
u A k hoâ
n g x aû
y ra l aà
n k.
• Khi đó:
X i ~ B 1, p  ,  i
E  X i   p ; V  X i   pq
X 1  X 2  ...  X n
n
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

k
n
 f n  n

 p

P
Nguyễn Văn Tiến
12
Định lý Giới hạn trung tâm (CLT)
• Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập,
có cùng phân phối xác suất với kỳ vọng  và
phương sai là 2 thì:
n
X 
X
 n

 N  n  , n

F
i
2

i 1
hay
 X1 
X 2  ...  X n   n

 N  n  , n

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
F
Nguyễn Văn Tiến
2

13
Định lý Giới hạn trung tâm (CLT)
• Cho X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập,
có cùng phân phối xác suất với kỳ vọng  và
phương sai là 2 thì:
n
Sn 
X
i
 n
 n

 N  0,1 

i 1
F

n
x
lim P  S n  x  
n 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
   t  dt  0, 5    x 

Nguyễn Văn Tiến
14
Ví dụ 1
• Đo chiều cao của 125 thanh niên. Tìm xác suất
sao cho độ lệch giữa chiều cao trung bình và
chiều cao lý thuyết không vượt quá 2cm biết
V(X)=(4,7cm)2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
15
Ví dụ 2
• Điều trị cho 500 người. Tìm xác suất sao cho độ
lệch giữa tần suất khỏi và xác suất khỏi không
vượt quá 0,05. Biết xác suất khỏi khi điều trị là
0,85.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
16
BỔ SUNG CHƯƠNG 3
• Phân phối Khi bình phương
• Phân phối Student
• Phân phối Fisher - Snedecor
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
17
Hàm Gamma

V ôù
i  >0, ñaë
t    =

 1  =
e
x
.dx   e

x
0
 x 
0
 1
.e
x
.dx
1
0

   1 =


x .e
x
.dx   .  

0
 n   n!
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
1
  
2

Nguyễn Văn Tiến
18
Phân phối Khi bình phương
• Bnn X gọi là có phân phối Khi bình phương với n
bậc tự do nếu hàm mật độ có dạng:
n
x

1


1
2
2
x
e
,x  0

n
 n 2
f x   2
 2
 0
,x  0
• Ký hiệu: X ~   n 
• Là trường hợp riêng của pp Gamma.
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
19
Phân phối Khi bình phương
• Nếu X~χ2(n) thì
EX  n ;
V ar  X   2 n
• Đồ thị:
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
20
Đồ thị hàm mật độ
n4
n5
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
21
Đồ thị hàm mật độ Khi BP
• Đồ thị hàm mật độ khi n=10 và n=20
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
22
Đồ thị hàm mật độ
• Khi n=30, vẽ trên đoạn từ 7 đến 53 (trong
khoảng 3 độ lệch chuẩn)
E  X   n  30
V  X   2n  60    7,74
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
23
Tính chất X~2(n)
a ) N eá
u X1 ~ 
2
 n1  ;
X2 ~ 
X1  X 2 ~ 
b ) N eá
uX ~ 
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
n
thì
2
2
 n 2  v aøñoäc l aäp thì:
 n1  n 2 
X n
2n
 n

 N  0,1 

F
Nguyễn Văn Tiến
24
Quan hệ với pp N(0,1)
• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối
N(0,1).
X i ~ N  0,1 
• Khi đó:
n
X
2
i
~ 
2
n
i 1
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
25
Quan hệ với pp N(0,1)
• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân
phối chuẩn.
X i ~ N   ,
2

• Khi đó:
2
 Xi   
2
    ~  n

i 1 
n
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
26
Quan hệ với pp N(0,1)
• Cho n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân
phối chuẩn.
X i ~ N   ,
X 
1
n
• Khi đó:
n

i 1
 X1 
2

X 2  ...  X n 
2
 Xi  X 
2

 ~   n  1



Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
27
Phân phối Student t(n)
• Kí hiệu: X ~ t(n)
• Bnn X gọi là có phân phối Student với n bậc tự
do nếu hàm mật độ có dạng:
f x 
 n 1
  n 1 


2
2

1
x
2


,   x  
1 

n 
n 
n
 
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
28
Quan hệ với Chuẩn và Khi BP
• Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập.
X ~ N  0,1  ; Y ~ 
2
n
• Khi đó:
T 
X
Y

X
n
Y
~ t n
n
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
29
Đồ thị hàm mật độ t(2); t(6) và t(20)
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
30
So sánh với N(0,1)
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
31
Đồ thị hàm mật độ t(5) và t(20)
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
32
Tính chất
N eá
u T ~ t  n  thì:
a ) E T   0
 n  1 ;
b ) V T  
n
n2
 n  2 .
c ) T  n

 N  0,1 

F
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
33
Dò bảng xác suất Khi BP
• Ký hiệu:    n 
• Là giá trị sao cho:
P  Z     n     , v ôù
i Z ~ 
2
n

  n 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 Đưa về đúng dạng
 Lấy giao giữa hàng và
cột tương ứng
Hàng: bậc tự do n
 Cột: xác suất bên phải
Nguyễn Văn Tiến
34
Dò bảng xác suất Student
• Ký hiệu: t  n 
• Là giá trị sao cho:
P  Z  t  n     , v ôù
i Z ~ t n

t  n 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
35
Ví dụ
• Cho
Z

2
 20 
• Tìm các xác suất sau:
a)
P  Z  a   0, 95
b)
P  Z  8, 2604   ?
c)
P 10, 8508  X  31, 4104   ?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
36
Ví dụ
• Cho
Z
T 15 
• Tìm các xác suất sau:
a)
P  Z  a   0, 025
b)
P  Z  2, 4899   ?
c)
P  2, 0343  X  2, 9467   ?
d)
P  Z  b   0, 975
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
37
Ví dụ 2
• Cho
Z
T  40 
• Tìm các xác suất sau:
a)
P  Z  2, 7045   ?
b)
P  1, 7232  X  2, 2990   ?
d)
P  Z  b   0, 025
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
38
Phân phối Fisher - Snedecor
• Ta định nghĩa thông qua phân phối Khi bình
phương.
• Xét hai biến ngẫu nhiên độc lập.
X ~ 
2
n ;
Y ~ 
2
m 
• Đặt:
F 
X /n
Y /m
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

mX
nY
Nguyễn Văn Tiến
39
Phân phối Fisher - Snedecor
• Khi đó ta nói F có phân phối Fisher – Snedecor
với (n,m) bậc tự do.
nm
n 
n

 1 


 
2 
2


x
 2   n 
f x 
,x  0
 
nm
n m m 
n  2
  

x
1 
2  2 
m 

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
40
Đồ thị hàm mật độ
• Gần giống với
đồ thị phân
phối Khi bình
phương.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
41
Đồ thị hàm mật độ
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
42
Đồ thị hàm mật độ
F  n , m   m

 N 1, 0 

F
n 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
43
Tính chất
• Cho X~F(n,m) thì:
EX
V X


m
m2
2m
2
,
m
 2
n  m  2
nm  2
2
m  4
,
m
 4
F  n , m   m

 N 1, 0 

F
n 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
44