Transcript Định lý Hahn Banach

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích hàm nâng cao
Chương 1.
Không gian Banach và các định lý cơ bản
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)
1
ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC
Chương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bản.
1.1. Dạng giải tích và dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
1.2. Định lý Banach – Steinhauss.
Chương 2. Tôpô yếu và các không gian đặc biệt.
2.1. Tôpô yếu và tôpô yếu*.
2.2. Các không gian đặc biệt: phản xạ, khả ly, lồi đều.
Chương 3. Không gian Hilbert.
3.1. Định nghĩa, tính chất cơ bản. Hình chiếu xuống tập lồi đóng.
3.2. Định lý Stampacchia và Lax-Milgram.
2
Chương 4. Các không gian Lp.
4.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản.
4.2. Tính phản xạ, khả ly của Lp. Đối ngẫu của Lp.
4.3. Tiêu chuẩn compact mạnh trong Lp.
Chương 5. Toán tử compact. Phân tích phổ của toán tử tự
liên hợp compact.
5.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản.
5.2. Định lý Riesz – Fredholm.
5.3. Phân tích phổ của toán tử compact.
5.4. Phân tích phổ của toán tử tự liên hợp.
3
Đánh giá, kiểm tra.
Thi giữa học kỳ: hình thức viết (20%)
Seminar trên lớp (30%)
Thi cuối kỳ: hình thức vấn đáp (50%)
4
Tài liệu tham khảo
1. Haim Brezis. Giải tích hàm: lý thuyết và ứng dụng. Nguyễn Thành
Long và Nguyễn Hội Nghĩa dịch, NXB ĐHQG tp. HCM, 2002.
2. Hoàng Tụy. Giải tích hiện đại, tập 1,2,3. NXB Giáo dục, 1978.
3. Nguyễn Xuân Liêm. Giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997.
4. Nguyễn Xuân Liêm. Bài tập giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997.
5. Dương Minh Đức. Giải tích hàm. NXB ĐHQG tpHCM, 2000.
6. Walter Rudin. Functional analyse. MC Graw – Hill Book
company, 2000.
7. N.I. Vilenkin. Functional analysis. Netherlands, 1972.
5
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
0.2 – Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
0.3 – Định lý Banach-Steinhauss.
6
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Hàm thực  trên không gian tuyến tính X được gọi là hàm
dưới tuyến tính (sơ chuẩn), nếu
1. (x1, x2  X )  ( x1  x2 )   ( x1 )   ( x2 )
2. (x  X ,   0)  ( x)   ( x)
Định nghĩa
Ánh xạ tuyến tính f từ không gian tuyến tính X vào tập số
thực R được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
7
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Cho S là tập hợp, trong đó giữa một số cặp phần tử a, b của
nó có xác định một quan hệ < sao cho:
1. a < a (phản xạ)
2. a < b và b < c suy ra a < c (bắc cầu)
3. a < b và b < a suy ra a = b (phản xứng)
Khi đó quan hệ < được gọi là quan hệ thứ tự trên tập S và S
được gọi là sắp một phần theo thứ tự đó.
8
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Cho S là tập hợp được sắp một phần theo thứ tự <, một tập
hợp con P được gọi là sắp toàn phần (sắp tuyến tính) nếu
(a, b  P) a  b  b  a
Định nghĩa
Một phần tử a  S được gọi là cận trên của tập hợp P nếu
(b  P) b  a
Một phần tử m  S được gọi là phần tử tối đại của S nếu
(a  S , m  a) m  a
9
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bổ đề Zorn
Nếu S là tập được sắp một phần và mọi tập con được sắp
tuyến tính của S đều có cận trên, thì S phải có một phần tử
tối đại.
10
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý Hahn-Banach
Cho X là không gian tuyến tính thực, M - không gian con của X.
f
là một phiếm hàm tuyến tính trên M.
Nếu tồn tại một hàm dưới tuyến tính  : X  R , sao cho
x  M : f ( x)   ( x)
thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F : X  R , sao cho
1. (x  M ) F ( x)  f ( x)
2. (x  X ) F ( x)   ( x)
11
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các bước chứng minh
Trong tập hợp G tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định
trên không gian con của X ta đặt một quan hệ < như sau:
( g1 , g 2  G ) g1  g 2 
1. Dg1  Dg2
2. (x  Dg1 ) g1( x)  g2 ( x)
3. (x  Dg2 ) g2 ( x)   ( x)
S  {g  G | g  f }
Kiểm tra S là tập được sắp một phần.
12
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử P là một tập con được sắp toàn phần của S thì cận trên
của nó là phiếm hàm có miền xác định bằng hợp các miền xác
định của tất cả các phiếm hàm thuộc P và có giá trị bằng với
giá trị của từng phiếm hàm g trên miền xác định của g.
Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại F.
F là hàm cần tìm.
13
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kiểm tra DF  X
Giả sử x0  X \ DF
Đặt
Dh  DF  Rx0 ;


(t  R, x  DF ) h( x  tx0 )  F ( x)  t
trong đó  là hằng số cần tìm để h  S .
Kiểm chứng rằng (x  DF , t  R) F ( x)  t   ( x  tx0 )
vì  ( x)   ( x) nên cần kiểm tra
 F ( x)     ( x  x0 )

 F ( x)     ( x  x0 )
14
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
cần chọn  sao cho
sup | F ( y)   ( y  x0 ) |   inf |  ( x  x0 )  F ( x) |
yDF
xDF
vì F là hàm tuyến tính nên có thể chọn được 
F ( x  y)  F ( x)  F ( y)   ( x  y)
 F ( x)  F ( y )   ( x  x0 )   ( y  x0 )
 F ( y )   ( y  x0 )   ( x  x0 )  F ( x)
Vậy h trội hơn F, mâu thuẫn với F là phần tử tối đại ■.
15
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho E và F là hai không gian định chuẩn.
L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F.
(f  L( E, F )) || f || inf{k : f ( x)  kx, x  F}
Định lý
1. Hàm f
|| f || là một chuẩn trong L(E,F).
|| f ( x) ||
2. || f || sup
 sup || f ( x) || sup || f ( x) ||
x 0 || x ||
|| x||1
|| x||1
16
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ quả 1
Với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian
con M của không gian định chuẩn E đều tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho
1. F |M  f ;
2. || F |||| f ||
17
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Để sử dụng định lý Hahn-Banach, ta xây dựng sơ chuẩn
(x  E)  ( x) || f ||  || x ||
1. Cần kiểm tra  là một sơ chuẩn
2. (x  M ) |f ( x) ||| f ||  || x || ( x)
Tồn tại phiếm hàm tuyến tính F : E  R , sao cho F |M  f và
(x  E) | F ( x) |  ( x) || f || .|| x ||
Suy ra F(x) liên tục và
|| F ( x) ||
|| f || . || x ||
|| F || sup
 sup
 sup || f |||| f ||
|| x ||
x  0 || x ||
x 0
Mặt khác (x  M ) F ( x)  f ( x) || F |||| f ||
Vậy ||F|| = ||f||
18
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ quả 2
Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và
v  E \ M : d (v, M )  inf || v  x ||   0
xM
Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E,
sao cho
1. (x  M ) F ( x)  0
2. F (v)  
3. || F || 1
19
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Đặt G  M , v 
g :G  R
g ( x  v)  
  0  g ( x)  0
x
  0 : || x  v |||  | .|| v  ( ) |||  | .

| g ( x  v) ||  |  || x  v ||
 suy ra g lieâ
n tuïc treâ
n G.
20
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ta có || g || sup | g (x ) |  sup | g (x  v ) |  1
x G || x ||
x G || x  v ||
n
Vì d (v , M )    0, neâ
(z  M ,0  r  1) ||v  z || r 1
 r ||v  z || 
Khi đó | g (v  z ) |   r ||v  z ||
|
g
(
v

z
)
|
Vậy || g ||
r
||v  z ||
Vì r tùy ý, r < 1, nên || g || 1
|| g || 1
21
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Theo hệ quả 1, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E:
F |G  g
 (x  M ) F (x )  g (x )  0
và || F |||| g || 1 ■.
22
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ quả 3
Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và
v  E \ M : d (v, M )  inf || v  x ||   0
xM
Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E,
sao cho
1. (x  M ) F ( x)  0
2. F (v)  1
1
3. || F ||
d (v, M )
23
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Đặt G  M , v 
g :G  R
g ( x  v)  
Tương tự phần chứng minh hệ quả 3.
24
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 1
Với mọi v  0 của không gian định chuẩn E, tồn tại phiếm
hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho
1. ||F || 1
2. F (v) || v ||
Giải
Sử dụng Hệ quả 2 (slide 19), đặt M = {0}
25
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 2
Cho M là không gian con đóng của không gian định chuẩn E,
v  M . Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E
sao cho
1. F (v)  1
2. (x  M ) F ( x)  0
Giải
Vì M đóng, v  M . Khi đó tồn tại hình cầu B (v , M )
ngoài M, suy ra d (v , M )  0
nằm
Sử dụng hệ quả 3.
26
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 3
Cho x và y là hai véctơ khác nhau của không gian định chuẩn
E. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao
cho
F (x )  F ( y )
Giải
x y  x y 0
Sử dụng bài tập 1.
27
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 4
Cho họ véctơ M  { x1, x 2 ,..., x m} của không gian định chuẩn E,
véctơ x không là tổ hợp tuyến tính của M. Chứng minh rằng tồn
tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho
1. F (x )  1
2. (x1  M ) F (x i )  0
Giải
L( M )  x1, x2 ,..., xm 
Khi đó L(M) là không gian con đóng của E. Sử dụng bài tập 2.
28
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 5
Cho M là không gian véctơ con của không gian định chuẩn E
và a  E \ M . Khi nào tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F
trên E sao cho
1. F (a)  1
2. (x  M ) F (x )  0
29
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 6
Cho E là không gian định chuẩn và f là phiếm hàm tuyến tính
liên tục trên E, f khác không. Chứng minh rằng siêu phẳng
{ x  E : f (x )  }
là một tập khác rỗng.
Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1.
30
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 7
Cho v là một véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh
rằng
||v ||
sup
| f (v ) |
f X * ,||f ||1
Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1.
31
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 8
Cho x, y là hai véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng
minh rằng nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định
trên E ta đều có f(x) = f(y) thì x = y.
Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1.
32
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 9
Cho x là một véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh
rằng nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên
E ta đều có f(x) = 0 thì x = 0.
Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 8.
33
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 10
Cho họ véctơ độc lập tuyến tính M  { x1, x 2 ,..., x m} của không
gian định chuẩn E, c1,c2 ,...,cm là những số thực. Chứng minh
rằng tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho
(k  1,2,..., m) F (x k )  ck .
34
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải
Xét L1 ( M )  x2 ,..., xm 
vì M độc lập tuyến tính nên d ( x1 , L1 ( M ))  0
Theo hệ quả 3, (f1  E* ) f1( x1)  1; f1( L1)  0
Tương tự hoàn toàn, ta tìm được
f k  E * : f k (x k )  1; f k (L k )  0; k  2,3,..., m
Khi đó phiếm hàm cần tìm là
f  c1 f1  c2 f 2  ...  cm f m
35
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Một siêu phẳng là tập hợp có dạng
H  {x  E | f ( x)    R}
trong đó f là dạng tuyến tính.
ví dụ
Cho phiếm hàm tuyến tính f thỏa:
f (1,1,1)  1; f (1,0,1)  2; f (1,1,0)  1
Khi đó các siêu phẳng H  {x  R3 | f ( x)    R} là những
mặt phẳng.
36
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Một tập hợp C trong không gian tuyến tính X được gọi là lồi
nếu
(0    1; x, y  C)  x  (1   ) y  C.
Tập hợp các điểm có dạng:  a  (1   )b; 0    1
được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm a và b.
Một tập hợp được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối
hai điểm bất kỳ của nó.
37
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ví dụ
1) Trong R3, hình tứ diện, hình lập phương, hình cầu là những
tập hợp lồi.
2) Trong không gian tuyến tính định chuẩn mỗi hình cầu tâm a,
bán kính r là một tập hợp lồi.
Hướng dẫn. (x , y  B (a, r )) ||  x  (1  ) y  a ||
||  (x  a)  (1  )( y  a) ||  || x  a || (1  ) || y  a ||
  r  (1  )r  r
38
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3) Mỗi không gian con của không gian tuyến tính là tập hợp
lồi.
4) Giao của một số bất kỳ tập hợp lồi là tập hợp lồi.
5) Nếu D, E là hai tập lồi, a là một điểm,  là một số thực thì
các tập hợp sau đây là những tập hợp lồi.
D  a  { x  a, x  D}
D  a  { x  a, x  D}
D  E  { x  y , x  D , y  E}
D  E  { x  y , x  D , y  E}
39
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Cho A và B là hai tập hợp con của không gian định chuẩn E.
Ta nói siêu phẳng H  {x  E | f ( x)    R} tách A và B theo
nghĩa rộng, nếu
(x  A )f (x )    (x  B )f (x )  
Định nghĩa
Ta nói siêu phẳng H  {x  E | f ( x)    R} tách A và B theo
nghĩa chặt, nếu   0 sao cho
(x  A )f (x )      (x  B )f (x )    
40
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bổ đề 1 (dung lượng của tập hợp lồi)
Giả sử C là tập hợp lồi, mở, chứa véctơ không của không gian
định chuẩn E.
(x  E ) p(x )  inf{   0, 1x C }
Khi đó hàm p thỏa
1) p(x )   p(x ),   0
2) p(x  y )  p(x )  p( y )
3) toà
n taïi M sao cho:
a) (x  E ) 0  p(x )  M || x ||
b ) C  { x  E : p (x )  1}
41
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh bổ đề 1
1) p(x )   p(x ),   0
Neá
u   0 vaøy   x , ta coù
x
p( y )  inf{  0: C }  inf{  0:
C }


y
 inf{   0 :
'
y

C }   inf{  0 :
'
'
y

'
 C }   p(x )
vaä
y p(x )   p(x )
42
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3b) C  { x  E : p(x )  1}
x C , vì C môû(1  )x C , vôù
i  ñuûnhoû
.
1
Vaä
y p(x ) 
 1.
1 
Ngöôïc laïi , neá
u p (x )  1,  0    1, sao cho  1x C
Do ñoù
, x   ( -1)x  (1  )0 C
43
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2) p(x  y )  p(x )  p( y )
x , y  E ,   0. Töø(1) vaø(3b), ta coù
x
1
p(
)
p(x )  1
p (x )  
p(x )  
y
x
vaø
C

C
p( y )  
p (x )  
tx
(1- t ) y
Suy ra, (t  [0,1])

C
p (x )   p ( y )  
p (x )  
xy
choïn t 
ta coù
C
p (x )  p ( y )  2
p (x )  p ( y )  2
 p(x  y )  p(x )  p( y )  2  p(x  y )  p(x )  p( y )
44
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bổ đề 2
Giả sử C là tập hợp lồi, mở, không rỗng, x 0  E \ C . Khi đó
tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho
(x C ) f (x )  f (x 0 )
Ñaë
t bieä
t sieâ
u phaú
ng cuû
a phöông trình [ f  f (x 0 )] taù
ch { x 0}
vaøC theo nghóa roä
ng.
45
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh bổ đề 2
1) Giaûsöû0 C
t G  Rx 0
Xeù
t dung löôïng p cuû
a C . Xeù
g : G  R, g (tx 0 )  t
Kieå
m tra g (x )  p(x )
Theo ñònh lyùHahn-Banach, toà
n taïi f treâ
n E , khuyeá
ch cuû
ag
sao cho (x  E ) f (x )  p(x ),
f lieâ
n tuïc do boåñeà1, 3a) vaøf (x 0 )  1.
Töøboåñeà
1, 3b) suy ra (x C ) f (x )  1
46
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ nhất)
Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của
không gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu
phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng.
47
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Đặt C = A\B.
1) Kiểm tra C lồi 2) Kiểm tra C mở
3) Kiểm tra 0 C
Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho
(z C ) f (z )  0  (x  A , y  B ) f (x )  f ( y )
Cố định   R , với sup f (x )    inf f ( y )
x A
y B
Khi đó siêu phẳng của phương trình { f (x )  } tách A và B theo
nghĩa rộng.
48
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ hai)
Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của
không gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu
phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng.
49
2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh Vôù
i   0, ñaë
t A  A  B (0, )
1) Kiểm tra A vaøB lồi.
B  B  B (0, )
2) Kiểm tra A vaøB mở, không trống.
3) Kiểm tra A vaøB rời nhau.
Khi đó tồn tại siêu phẳng của phương trình { f (x )  } tách A và
B theo nghĩa rộng.
(x  A , y  B , z  B (0,1)) f (x   z )    f ( y   z )
 f (x )   || f ||   f ( y )   || f ||
Vậy { f (x )  } ;f  0 tách A và B theo nghĩa hẹp.
50
3. Định lý Banach - Steihauss.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bổ đề Baire
Cho X là không gian mêtrix đủ, không trống.
Giả sử x n n1 là dãy các tập hợp đóng sao cho
Khi đó tồn tại n0 sao cho int X n  0.

n 1
Xn X
0
51
3. Định lý Banach - Steihauss.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý Banach - Steihauss
Cho E, F là hai không gian Banach. Ti i I là họ các toán tử
tuyến tính liên tục từ E vào F sao cho sup ||Ti (x ) || .
i I
Khi đó sup ||T i ||L ( E ,F )  .
i I
52