CHƯƠNG 7 ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 1

• • • •

Nhắc lại thống kê mẫu

Thống kê mẫu: hàm của các bnn thành phần trong mẫu.

Cho mẫu ngẫu nhiên: W=(X1;X2;…Xn), thống kê mẫu có dạng: T=f(X1;X2;…;Xn) Thống kê T cũng là một bnn.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 2

Ước lượng

• • • • • • Tổng thể có tham số  chưa biết.

Ta muốn xác định tham số này.

Lấy một mẫu cỡ n.

Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của tham số  của tổng thể.

Ước lượng điểm: dùng một giá trị.

Ước lượng khoảng: dùng một khoảng.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 3

Ước lượng

• • • Ước lượng điểm: không chệch, hiệu quả, vững… Ước lượng khoảng: đối xứng, một phía, hai phía… Ta chỉ xét ước lượng khoảng đối xứng Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 4

Ước lượng điểm

• • • • Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số  chưa biết của tổng thể.

Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào đó của mẫu ngẫu nhiên.

Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho tham số  .

Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu quả, vững … Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 5

Ước lượng không chệch (ƯLKC)

• Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng không chệch của tham số  nếu: E(T)   • • Nếu E(T)  thì ước lượng T gọi là một ước lượng chệch (ƯLC) của tham số  .

Độ chệch của ước lượng: E(T)   Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 6

Ví dụ 1

• • Trong chương 6 ta có: Vậy:

X F S

*2 ,

S

2

S

2  2 

p

 2           2       

p

 

n

2 2

n

 1   2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 7

Ước lượng KC tốt hơn

• • • Cho X, Y là hai ULKC của tham số  .

Có nghĩa là:     Nếu:  • Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số  nhiều hơn).

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 8

Ví dụ 1.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn).

a) CMR: các thống kê sau:

Z

1 

X

1 ;

Z

2 

X

1 

X

2 ; 2

Z n



X

1 

X

2

n

đều là các ước lượng không chệch của  .

X n

b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 9

Ư

ớc lượng hiệu quả

• • • • Thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) gọi là ước lượng hiệu quả của tham số  nếu: T là ULKC của  V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên.

Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để đánh giá.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 10

BĐT Cramer-Rao

• • Cho tổng thể có dấu hiệu nghiên cứu X là bnn có hàm mật độ xác suất dạng f(x,θ) và thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

Cho T là một ƯLKC của θ. Ta có: 

nE

   ln  1  ,      2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 11

Ví dụ 2.

• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, …, Xn) lấy từ tổng thể có kì vọng  và phương sai  2. Xét 2 thống kê:

Z

1  2

X

1  2

X

2  

nX n

;

X



X

1 

X

2

n X n

a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng không chệch của  .

b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 12

•

Ví dụ 3

• Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ 2 ). CMR:

X

là ước lượng hiệu quả nhất của tham số μ.

Giải.

Dễ thấy

X

là ước lượng không chệch và:   2

n

Hàm ppxs của tổng thể:   1 2 

e

 

x

  2  2  2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 13

Ví dụ 3

• Ta có:  ln    • Và:     

x

 2   2  2  ln     2     

x

  2 

E

 

X

  2    2   1 4    2   1 2 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 14

Ví dụ 3

• Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có: 

nE

    ln  1      2   2

n

 • Vậy thống kê

X

là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất trong các ước lượng không chệch của tham số μ của tổng thể Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 15

Các ULHQ

• Ta chứng minh được:

X

2

,

* 2

F



p

 2

.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 16

Ước lượng vững

• • Cho thống kê T=f(X1;X2;…;Xn) Thống kê T gọi là ước lượng vững của tham số θ nếu: lim

n

 

n

 1 ,  0 • • Khi này ta nói thống kê T hội tụ theo xác suất đến tham số θ khi cỡ mẫu tiến về vô cùng.

Để đánh giá ước lượng vững ta dùng BĐT Chebyshev (Trê bư sép).

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 17

Các ước lượng vững

• Từ kết quả Chương 5, ta chứng minh được:

X



S

2

,

2

,

2  2

.

F p

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 18

Tóm lại

X S

2

,

  2   2

.

F p

• Do vậy ta có thể xấp xỉ các tham số trên bằng các thống kê mẫu trong thực hành, tính toán.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 19

Ôn tập

• • • • Một thống kê mẫu là một hàm của các biến ngẫu nhiên thành phần của mẫu và do đó nó là một biến ngẫu nhiên?

Trung bình mẫu là ước lượng vững và hiệu quả của kỳ vọng của biến ngẫu nhiên gốc?

Tổng của hai ước lượng không chệch là một ước lượng không chệch?

Phương sai mẫu là ước lượng không chệch, hiệu quả của phương sai của bnn gốc?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 20

Ước lượng khoảng

• Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa vào mẫu ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho: P(a < 

Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham số  với độ tin cậy (1  ) .

Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 21

Ước lượng khoảng

• • • • • (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng.

(1  ): độ tin cậy của ước lượng.

|b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy.

ε : độ chính xác (sai số).

Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 nhiêu thì phù hợp.

 ) là bao Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 22

Phân phối của trung bình mẫu

Tổng thể

X

~

N

 2  Trung bình mẫu

X

~

N

   ; 

n

2   Kích thước mẫu Tùy ý Không chuẩn Không chuẩn nhưng đối xứng.

X X

   ; 

n

2      ; 

n

2   n>30 Có thể được với n nhỏ.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 23

Tổng thể Chuẩn, đã biết  n>30, đã biết  n>30, chưa biết  Chuẩn, n<30 chưa biết 

Chuẩn hóa ppxs

TB mẫu

X X

~

N

   ; 

n

2    ; 

n

2    

X

   ; 

n

2   Chuẩn hóa

Z Z Z

     

X X X

          

S n n n

~ ~

N

~

N

 1 

X

~

N

   ; 

n

2  

Z

 

X

  

S n

~  1  Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 24

Tìm khoảng ước lượng cho

 • • • Ta thông qua thống kê Z (vì đã có ppxs xác định).

Với cùng độ tin cậy, tìm khoảng ước lượng cho Z.

Giải bpt tìm ngược lại khoảng ước lượng cho tham số  .

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 25

Khoảng tin cậy

• Khoảng tin cậy hai phía của     μ: • Kết quả: 

X

  ;

X

    

t

1   2 

n

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 26

Nhớ các khoảng tin cậy_th 3

• Trường hợp 3 ta thay  bằng s. Nguyên nhân: S là ước lượng không chệch, hiệu quả, vững,… của  .



X

  ;

X

    

t

1   2

S n

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 27

Nhớ các khoảng tin cậy_th 4

• Trường hợp 4: phân phối Student và chưa biết  . Do đó ta dùng S và dò giá trị tới hạn trong bảng t.



X

  ;

X

    

t

 2 

n

 1 

S n

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 28

Cách làm bài

• • • • • • • Xác định bài toán dạng gì: ước lượng hay kiểm định Ước lượng tham số nào: trung bình; phương sai hay tỷ lệ tổng thể.

Xác định khoảng tin cậy Từ độ tin cậy xác định giá trị tới hạn Tính độ chính xác  Thay vào công thức và kết luận.

Các dạng bài: tìm khoảng ước lượng; tìm cỡ mẫu; tìm độ tin cậy.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 29

Ví dụ 1

• Một trường đại học thực hiện về nghiên cứu số giờ tự học của sinh viên trong 1 tuần. Chọn ngẫu nhiên 200 sinh viên cho thấy số giờ tự học trong tuần trung bình là 18,36 giờ, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 3,92 giờ. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số giờ tự học trung bình của sinh viên trường này trong một tuần.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 30

Ví dụ 2

• Một công ty muốn ước lượng số tài liệu (trang) được chuyển bằng fax trong một ngày. Kết quả thu thập được từ 15 ngày cho thấy trung bình một ngày có 267 trang tài liệu được chuyển bằng fax, và theo kinh nghiệm từ các văn phòng tương tự thì độ lệch chuẩn là 32 trang. Giả sử rằng số tài liệu chuyển bằng fax trong một ngày có phân phối chuẩn, với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số trang tài liệu được chuyển đi trong một ngày.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 31

Ví dụ 3.

• • Công ty điện thoại thành phố muốn ước lượng thời gian trung bình của một cuộc điện thoại đường dài vào ngày cuối tuần với độ tin cậy 95%. Mẫu ngẫu nhiên 20 cuộc gọi đường dài vào cuối tuần cho thấy thời gian điện thoại trung bình là 14,8 phút; độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 5,6 phút. Giả sử thời gian gọi có pp chuẩn Đáp số: 

12,1791;17, 4208

 Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 32

Ví dụ 4

Biết lương tháng của công nhân (Đv: triệu đồng) trong một nhà máy có phân phối chuẩn. Chọn ngẫu nhiên16 công nhân khảo sát: Lương tháng 0.8 1,0 1,2 1,3 1,5 1,7 2 2,3 2,5 Số công nhân 1 1 2 2 2 3 2 2 1 a. Giả sử  = 0,63, hãy ước lượng mức lương trung bình hàng tháng của một công nhân với độ tin cậy 96%.

b. Giả sử chưa biết  . Hãy ước lượng với độ tin cậy 99% cho mức lương trung bình. Để có sai số  0,08 triệu đồng thì cần khảo sát tối thiểu bao nhiêu công nhân?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 33

Phân phối của tỷ lệ mẫu

Kích thước mẫu Tổng thể Tỷ lệ mẫu Phân phối B(1,p)

F

  ;

p

 1 

n p

   n>30

Z

 

F



p



p

(1 

p

)

n

~

N

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 34

Bài toán

• • • • • Tổng thể có tỷ lệ p chưa biết (về tính chất A nào đó).

Ta lấy mẫu cỡ n (trên 30).

Tìm cách ước lượng khoảng tỷ lệ p này với độ tin cậy (1  ).

Cách làm: giống như phần ước lượng trung bình.

Khác: ta xấp xỉ:

p

 1 

p

 

F

(1 

F

) Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 35

Nhớ các khoảng tin cậy

• Hai phía: 

F

  ;

F

    

t

1   2

F

 1 

F



n

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 36

Ví dụ

• • • Một nghiên cứu được thực hiện nhằm ước lượng thị phần của sản phẩm bánh kẹo nội địa đối với các mặt hàng bánh kẹo. Kết quả điều tra mẫu ngẫu nhiên 100 khách hàng thấy có 34 người dùng sản phẩm bánh kẹo nội địa.

Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng sử dụng bánh kẹo nội địa với độ tin cậy 95%?

Đ/S: từ 24,72% đến 43,28%.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 37

Ước lượng phương sai

• • • • • Tổng thể có phân phối chuẩn (nếu không cần lấy mẫu trên 30).

Phương sai tổng thể chưa biết.

Lấy mẫu cỡ n. Tìm cách ước lượng phương sai với độ tin cậy (1  ).

Biết  hoặc chưa biết  .

Cách làm tương tự ước lượng trung bình và tỷ lệ.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 38

Phân phối của hàm PS mẫu

Tổng thể Chuẩn, đã biết  Không chuẩn đã biết  PS mẫu   2 2 , 

n

 30  Hàm của PS mẫu

Z



nS

*2  2

Z

~ 

i n

  1  2

X i

   2 Chuẩn chưa biết  Không chuẩn chưa biết 

S

2

S

2 , 

n

 30 

Z

 

n Z

 1   2 ~ 

S

2 2 

n

 

i n

  1 1   

X i

 

X

 2  Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 39

Nhớ các khoảng tin cậy_TH1

• Hai phía:     

n nS

*2    ; 

n nS

*2 1   2     Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 40

Nhớ các khoảng tin cậy_TH2

• Hai phía:       

n

 

n

 1 1 

S

   2 ; 

n



n

 1  1     1 

S

2  2          Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 41

Ví dụ

• Một nhà sản xuất quan tâm đến biến thiên của tỉ lệ tạp chất trong một loại hương liệu được cung cấp. Chọn ngẫu nhiên 15 mẫu hương liệu thì thấy độ lệch chuẩn đã hiệu chỉnh về tỉ lệ tạp chất là 2,36%. Giả sử tỷ lệ tạp chất có phân phối chuẩn. Ước lượng phương sai về tỉ lệ tạp chất trong hương liệu với độ tin cậy 95%.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 42

Bài 1

• Chọn ngẫu nhiên 36 công nhân của một xí nghiệp thì thấy lương trung bình là 1,35 triệu đồng/tháng. Giả sử lương công nhân tuân theo qui luật chuẩn với σ=0,2 triệu đồng.

a)Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng mức lương trung bình của công nhân trong toàn xí nghiệp?

b)Với độ tin cậy 98% hãy tìm khoảng ước lượng cho mức lương trung bình của công nhân trong toàn xí nghiệp?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 43

Bài 2

• Điểm trung bình môn Toán của 100 sinh viên dự thi môn XSTK là 6 với độ lệch chuẩn mẫu đã hiệu chỉnh là 1,5.

a) Ước lượng điểm trung bình môn XSTK của toàn thể sinh viên với độ tin cậy 95%?

b) Với sai số 0,5 điểm. Hãy xác định độ tin cậy?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 44

Bài 3

• Tuổi thọ của một loại bóng đèn được biết theo qui luật chuẩn với độ lệch chuẩn 100h.

a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm thì thấy mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000h.

Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với độ tin cậy 95%?

b) Với độ chính xác là 15h. Hãy xác định độ tin cậy?

c) Với độ chính xác là 25h và định độ tin cậy là 95% thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 45

Bài 4

• Một lô hàng có 5000 sản phẩm. Chọn ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng thì thấy có 360 sản phẩm loại A.

a) Hãy ước lượng số sản phẩm loại A trong lô hàng với độ tin cậy 96%?

b) Tìm khoảng tin cậy bên phải của tỉ lệ sản phẩm loại A trong lô hàng ở độ tin cậy 97%?

c) Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của lô hàng đạt độ chính xác 150 sản phẩm và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 46

Bài 6

• Để ước lượng số cá trong hồ người ta đánh bắt 2000 con, đánh dấu rồi thả xuống hồ. Sau đó người ta đánh lên 400 con thì thấy có 40 con bị đánh dấu.

Với độ tin cậy 95%, số cá trong hồ khoảng bao nhiêu con?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 47

Bài 7

• Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy có 11 hộp xấu.

a) Ước lượng tỉ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp với độ tin cậy 94%?

b) Với sai số cho phép 3%, hãy xác định độ tin cậy?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 48

Bài 8

• Mức hao phí nhiên liệu cho một đơn vị sản phẩm là bnn có pp chuẩn. Xét trên 25 sản phẩm ta có kết quả sau: X 19,5 20 20,5

ni

5 18 2 • Hãy ước lượng phương sai với độ tin cậy 95% trong 2 trường hợp: a) Biết kỳ vọng là 20?

b) Không biết kỳ vọng?

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 49

Bài 9

• Điều tra về số lượt gửi xe máy trong 121 ngày ở FTU ta có bảng sau:

Số lượt Số ngày

700 800 9 800 900 18 900 1000 30 1000 1100 1100 1200 1200 1300 1300 1400 1400 1500 25 14 11 9 5 • Những ngày có từ 1000 lượt gửi trở lên là những ngày đông.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 50

Bài 9

a) Ước lượng số lượt gửi xe trung bình một ngày ở FTU với độ tin cậy 99%.

b) Khi ước lượng tỉ lệ những ngày đông với mẫu trên, nếu muốn độ tin cậy là 95% và độ chính xác tối đa 8% thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu ngày?

c) Ước lượng độ lệch chuẩn của số lượt gửi một ngày với độ tin cậy 95% biết • Số lượt xe gửi trung bình là 1000 lượt/ngày • Không biết số lượt gửi xe trung bình Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 51

Bài 10

• Trọng lượng các bao gạo được đóng gói tự động với trọng lượng qui định là 27,5 kg. Kiểm tra ngẫu nhiên 41 bao trong kho gồm 2000 bao gạo, ta thấy:

Trọng lượng bao (kg) Số bao

25 8 26 10 27 10 28 8 29 5 a) Với mẫu trên, ước lượng trọng lượng trung bình một bao gạo với độ tin cậy 95%.

b) Với mẫu trên, ước lượng số bao gạo từ 27 kg trở xuống trong kho với độ tin cậy 90%.

Bài giảng Xác suất Thống kê 2014 Nguyễn Văn Tiến 52