Transcript 2014 Chương 4 - WordPress.com

Chương 4
Biến ngẫu nhiên hai
chiều rời rạc
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
1
Khái niệm vectơ ngẫu nhiên
• Một vectơ ngẫu nhiên n chiều là một bộ có thứ
tự (X1, X2,…,Xn) với X1, X2,…,Xn là các biến ngẫu
nhiên.
• Vectơ ngẫu nhiên 2 chiều ký hiệu là (X,Y) với X
là biến ngẫu nhiên thứ nhất, Y là biến ngẫu
nhiên thứ 2.
• Vectơ ngẫu nhiên n chiều liên tục hay rời rạc
nếu tất cả các biến ngẫu nhiên thành phần là
liên tục hay rời rạc.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
2
Biến (Vectơ) hai chiều (X,Y)
• Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu
nhiên.
• Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc
• Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục
• Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất
phức tạp nên ta không xét trường hợp này.
• Trong phần này ta chỉ xét biến hai chiều rời rạc
(X,Y).
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
3
Hàm ppxs đồng thời
• Cho biến ngẫu nhiên (X, Y)
• Hàm ppxs của biến hai chiều (X,Y): F(x,y)
F  x, y   P  X  x,Y  y  ,
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
x, y  R
Nguyễn Văn Tiến
4
Tính chất
i)
0  F  x, y   1
ii )
F  x , y  k hoâ
n g gi aû
m theo töø
n g bi eá
n.
iii ) F    , y   F  x ,     0
F   ,    1
iv ) V ôù
i x1  x 2 ; y1  y 2 ta coù
:
P  x1  X  x 2 , y 1  Y  y 2  
F  x 2 , y 2   F  x 2 , y 1   F  x1 , y 2   F  x1 , y 1 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
5
Chú ý
F  x ;    P  X  x , Y     P  X  x   F X  x 
F   ; y   P  X   ; Y  y   P  Y  y   FY  y 
• Đây là các phân phối riêng của X và Y tương
ứng. Chúng được gọi là phân phối biên duyên
(phân phối lề) của biến hai chiều (X, Y).
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
6
Tính độc lập của các biến nn
• Hai biến ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu
mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị này hay giá trị
khác không ảnh hưởng đến phân bố xác suất
của biến ngẫu nhiên kia.
• Định lý: Giả sử F(x,y) là hàm phân bố của biến
ngẫu nhiên (X,Y). Khi đó, X và Y độc lập khi và
chỉ khi:
F  x, y   FX
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 x  . FY  y 
Nguyễn Văn Tiến
7
Bảng ppxs của (X,Y)
y1
y2
…
yj
…
ym
∑
x1
p11
p12
…
p1j
…
p1m
p1●
x2
p21
p22
…
p2j
…
p2m
p2●
…
…
pi1
…
pi2
…
…
pij
…
…
pim
…
pi●
…
pn2
…
…
…
pnj
…
xn
…
pn1
…
…
pnm
…
pn●
∑
p●1
p●2
…
p●j
…
p●n
1
xi
…
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
…
…
Nguyễn Văn Tiến
8
Ppxs đồng thời của (X,Y)
• Trong đó:
i ) p ij  P  X  x i , Y  y j 
n
ii )
m

i 1
p ij  1
j 1
m
iii ) p i  

j 1
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
n
p ij ;
p j 

p ij
i 1
Nguyễn Văn Tiến
9
Ppxs thành phần (phân phối lề)
• Bảng phân phối xác suất của X:
X
P
x1
p1●
x2
p2●
…
…
xn
pn●
• Bảng phân phối xác suất của Y:
Y
P
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
y1
p●1
y2
p●2
…
…
ym
p●m
Nguyễn Văn Tiến
10
Ví dụ 1
• Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối
xác suất:
Y
X
1
2
1
2
3
0,10
0,15
0,25
0,05
0,10
0,35
• Tìm luật ppxs của các biến X và Y.
• Tính F(2,3)
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
11
Hai bnn độc lập
• Từ định nghĩa, hai biến rời rạc X và Y gọi là độc
lập nếu:
P  X  xi , Y  y j   P  X  xi  P  Y  y j 
hay
p ij  p i   p  j
• Dấu hiệu:
• Hai hàng bất kỳ tỷ lệ.
• Hai cột bất kỳ tỷ lệ.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
12
Ví dụ 2
• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu
nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau:
Y
X
6
7
8
1
2
3
0,10
0,05
0,10
0,05
0,15
0,20
0,15
0,10
0,10
• Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2)
• Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y).
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
13
Ppxs có điều kiện
• Từ công thức điều kiện ta có:

P X  xi Y  y j
P  Y  y j X  xi
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014


P  X  xi , Y  y j
P Y  y j



p ij
,
i  1, n
p j
P  X  xi , Y  y j
P  X  xi



p ij
,
j  1, m
pi
Nguyễn Văn Tiến
14
Bảng ppxs điều kiện 1
• PPXS của X với điều kiện Y=yj
X

P X  xi Y  y j

x1
x2
.... .
p1 j
p2 j
p j
p j
. . ...
xn
p nj
p j
• Kỳ vọng của X với điều kiện Y=yj


E X Y  yj 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
1
p j
x
1
p1 j  x 2 p 2 j  ...  x n p nj 
Nguyễn Văn Tiến
15
Bảng ppxs điều kiện 2
• PPXS của Y với điều kiện X=xi
Y
P  Y  y j X  xi

y1
y2
... ..
p i1
pi 2
pi
pi
... . .
ym
p im
pi
• Kỳ vọng của Y với điều kiện X=xi
E  Y X  xi  
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
1
pi
 y1 p i 1 
y 2 p i 2  ...  y m p im 
Nguyễn Văn Tiến
16
Ví dụ 3
• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu
nhiên (X,Y) cho bởi bảng sau:
Y
X
6
7
8
1
2
3
0,10
0,05
0,10
0,05
0,15
0,20
0,15
0,10
0,10
• Lập bảng ppxs của X với đk Y=2. Tính E(X|Y=2)?
• Lập bảng ppxs của Y với đk X=8. Tính E(Y|X=8)?
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
17
Ví dụ 4
• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y
(triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồng
thời như sau:
Y
X
500
700
900
(400-600) (600-800) (800-1000)
30
50
80
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
0,10
0,15
0,05
0,05
0,20
0,05
Nguyễn Văn Tiến
0
0,05
0,35
18
Ví dụ 4
• Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì
chi phí quảng cáo trung bình là bao nhiêu?
A. 60,5
B. 48,3333
C. 51,6667
D. 76,25
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
19
Các tham số đặc trưng của bnn
•
•
•
•
Kỳ vọng
Phương sai
Hệ số tương quan
Hiệp phương sai
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
20
Kỳ vọng của X
• Bảng phân phối xác suất của X:
X
P
EX
x1
p1●

x2
p2●
xi .P  X  x i  

i
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
xn
pn●
n
x
i
p 1   X
i 1
i
EX
…
…
x i p ij
j
Nguyễn Văn Tiến
21
Kỳ vọng của Y
• Bảng phân phối xác suất của Y:
Y
P
E Y  
y1
p●1

y2
p●2
y j .P  Y  y j  

j
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
ym
p●m
m

y j p j   Y
j 1
j
E Y  
…
…
y j p ij
i
Nguyễn Văn Tiến
22
Kỳ vọng của hàm theo X,Y
• Cho X,Y có phân phối đã biết. Đặt Z=g(X,Y) là
biến mới.
• Ta có:
E  g  X ,Y
     g  xi , y j  P  X
i
E  g  X ,Y
j
     g  x i , y j  p ij
i
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
 xi , Y  y j 
j
Nguyễn Văn Tiến
23
Ví dụ
• Cho Z=X+Y và bảng ppxs đồng thời sau:
(X,Y)
pij
(0;0)
0,1
(0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2)
0,2 0,3 0,05 0,15 0,2
E Z   E  X  Y
   0  0  .0,1   0  1  .0, 2
  0  2  .0, 3   1  0  .0, 0 5  1  1  .0,1 5
  1  2  .0, 2  1, 7 5
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
24
Phương sai của X, Y
• Được tính như đối với biến ngẫu nhiên một
chiều.
• Sử dụng bảng phân phối xác suất lề của X, Y.
V
X 
EX  EX
V
X 
E Y  E Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014


2
2
 EX
 E Y
2
2
   
2
X
   
Nguyễn Văn Tiến
2
Y
25
Hiệp phương sai (Covariance)
• Hiệp phương sai của hai biến ngẫu nhiên X và Y,
ký hiệu cov(X,Y), là kỳ vọng toán của tích các sai
lệch của các bnn đó và kỳ vọng toán của chúng.
cov  X , Y

co v  X , Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
E  X  X

 Y
 Y

E  XY    X Y
Nguyễn Văn Tiến
26
Tính chất Covariance 1
1) cov  X , Y   cov  Y , X
2) cov  X , X

V X 
3) cov  X  X ', Y   cov  X , Y   cov  X ', Y
4) cov  kX , Y   k cov  X , Y

5) cov  aX  c , bY  d   ab cov  X , Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014


Nguyễn Văn Tiến
27
Tính chất Covariance 2
6 ) N eá
u X v aøY ñoä
c l aä
p thì co v  X , Y   0,
ngöôïc l aïi k hoâ
n g chaé
c ñuù
n g.
7) V
X
Y  V
 X   V  Y   2 co v  X , Y 
8) V  a X  b Y   a V
2
9 )  co v  X , Y    V
2
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
X b
V  Y   2 a b co v  X , Y
2

 X  .V  Y 
Nguyễn Văn Tiến
28
Hệ số tương quan
• Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X, Y
ký hiệu và định nghĩa bởi công thức:
 X ,Y 
cov  X , Y

 X Y
• Hệ số tương quan còn ký hiệu là:
  X ,Y  ; r  X ,Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014

Nguyễn Văn Tiến
29
Tính chất
i )  1   X ,Y  1 v ôù
i m oïi X , Y .
ii ) N eá
u X v aøY ñoä
c l aä
p thì  X ,Y  0.
iii )  aX  c , bY  d
  X ,Y

   X ,Y
neá
u ab> 0
neá
u ab< 0
iv ) Y  aX  b ,  a  0  k hi v aøchæk hi :
 X ,Y
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
1

1
neá
u a> 0
neá
u a< 0
Nguyễn Văn Tiến
30
Ý nghĩa
• Hệ số tương quan đo mức độ phụ thuộc tuyến
tính giữa X và Y.
• Khi |ρX,Y| càng gần 1 thì mức độ quan hệ tuyến
tính càng chặt.
• Khi |ρX,Y| càng gần 0 thì mức độ quan hệ tuyến
tính càng yếu.
• Khi ρX,Y = 0 ta nói X và Y không tương quan.
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
31
Hàm hồi qui của X đối với Y
• Kỳ vọng có điều kiện:
E X Y  y
là một hàm theo y, được gọi là hàm hồi quy của X
đối với Y. Đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ
Decartes gọi là đường hồi quy.
Chú ý:
y   y1 , y 2 , ..., y m 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
32
Hàm hồi qui của Y đối với X
• Kỳ vọng có điều kiện:
E Y X  x 
là một hàm theo x, được gọi là hàm hồi quy của Y
đối với X.
Đồ thị hàm số gọi là đường hồi quy.
Chú ý:
x   x1 , x 2 , ..., x n 
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
33
Trắc nghiệm chương 4,5
• Tính các kỳ vọng biên, phương sai biên, xác suất
có điều kiện, hệ số tương quan
• Lý thuyết: ý nghĩa hệ số tương quan, hàm hồi
quy, độc lập các biến ngẫu nhiên
• Định lý giới hạn trung tâm
• Luật số lớn
Bài giảng Xác suất Thống kê 2014
Nguyễn Văn Tiến
34