Transcript file đính kèm

1. Góc giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng 1 ,  2 bất kì trong
không gian. Từ điểm O nào đó, ta vẽ hai
đường thẳng  '1 ,  '2 song song (hoặc
trùng) với 1 ,  2 .
1
2
Khi điểm O thay đổi thì
góc giữa  '1 và  '2
không thay đổi.
'1
O
Hình 93
'2
Định nghĩa 1:
Góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 là góc
giữa hai đường thẳng  '1 và  '2 cùng đi
qua 1 điểm và lần lượt song song (hoặc
trùng) với 1 và  2 .
Nhận xét:
1) Để xác định góc giữa hai đường thẳng 1
và  2 , ta có thể lấy điểm O nói trên thuộc một
trong hai đường thẳng.
2) Góc giữa hai đường thẳng không vượt
o
quá 90 .
3) Nếu u1 , u2 lần lượt là vectơ chỉ phương của


các đường thẳng 1 ,  2 và u1 , u2   thì góc
giữa hai đường thẳng 1 và  2bằng

  90 và bằng 180o   nếu   90o .
o
nếu
Ví dụ 1: SGK trang 92
Cho hình chóp S.ABC có: SA = SB = SC
GT = AB = AC = a và BC  a 2
1) Các mặt của hình chóp S.ABCD
KL là những tam giác có gì đặc biệt?
2)  SC, AB   ?
Giải
SAB và SAC là các tam giác
đều; SBC, ABC là các tam
giác vuông cân tại S và A.
M
N
P
Ta có:

SC. AB  SC . AB .cos SC , AB


 cos SC , AB 

SC. AB
SC . AB
Mặt khác, ta có:


SC. AB  SA  AC AB  SA. AB  AC. AB
Trong đó:

SA. AB  SA . AB .cos SA, AB



1
a2
  SA . AB .cos AS , AB  a.a.  
2
2
AC. AB  0 (Vì ABC cân tại A)
Vậy:
2
a
 0
SC. AB
1
2
cos SC , AB 


2
a
2
SC . AB


Suy ra SC , AB  120o


Vậy góc giữa hai đường thẳng SC
và AB bằng 60 o .
Cách khác:
- Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của SA, SB, AC. Khi đó:
MN // AB, MP // SC.
suy ra  SC , AB   NMP
M
N
P
Ta có:
NP  NM  MP  2MN .MP.cosNMP
2
2
2
1 NM 2  MP 2  NP 2
 cosNMP  .
2
MN .MP
Mặt khác, ta có:
a
MN  MP 
2
Do N là trung điểm của SB nên ta có:
2
2
2
SP
3
a
5
a
BP 2  SP 2  2 NP 2 
, Mà SP 2 
, BP 2 
2
4
4
2
3a
2
Vậy NP 
4
2
Do đó:
a
1
o
4
cosNMP  
  , suy ra NMP  120
a a
2
2. .
2 2
Vậy góc giữa hai đường thẳng SC
và AB bằng 60 o .
2. Hai đường thẳng vuông góc:
Định nghĩa 2:
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc
với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o .
Nhận xét:
1) a  b  u  v  u.v  0
Với u , v lần lượt là vecto chỉ phương của a, b
2) a / / b 
c b
c  a
?1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả
các cạnh bằng nhau. Giải thích tại sao AC
vuông góc B’C’.
B
A
D
C
A’
D’`
B’
C’
Giải
Ta có: ACA`C` là hình bình hành
=> AC//A`C`
Mặt khác: A`B`C`D` là hình thoi (AB=BC=CD=DA )
=>A`C` vuông góc B`D`
=>AC vuông góc B`D`
Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' có tất cả các cạnh
đều bằng a .
a/ CMR: ACB'D‘
b/ Biết góc
AA D  AA B  D A B  60
'
'
'
'
'
'
'
0
Tính diện tích tứ giác ABC’D’A
D
C
B
D'
A'
B'
C'
Bài giải :
a/ Ta có :
B'D‘ // BD ( tứ giác BDD’B’ là hbh )
AC  BD ( hai đ/c hình thoi )
 ACB'D'
b/ hbh ABC’D’ có:
AB  AD'
Vì
AB = AD’ = a
AB.AD'  AB.(AA'  AD)  AB.AA '  AB.AD
a2 a2
 
0
2
2

'
'
ABC D
là hv có diện tích bằng a2
Ví dụ 3:
GT:
Tứ diện ABCD
AB AC; ABBD
A
PЄAB; QЄCD
P
PA  kPB,QC  kQD
KL:

CMR:AB PQ
C
B
Q
D
Giải
Ta có:
PQ= PA+AC+CQ
(1)
PQ=PB+BD+DQ
(2)
kPQ=kPB+kBD+kDQ (3)
(1)-(3)<=>(1-k)PQ = PA – kPB + AC – kBD + CQ - kDQ
= AC – kBD (PA=kPB; QC=kQD)
Ta có: (1-k)PQ.AB = AC.AB – kBD.AB =0
=>PQ vuông góc AB
Bài tập:
Cho hình tứ diện ABCD có
A
AB  CD, AC  BD
AD  BC
CMR:
D
Bài giải :
Ta có
C
B
AB  CD  AB.CD  0  AB(AD  AC)  0
AC  BD  AC.BD  0  AC(AD  AB)  0

 AB.AD  AB.AC  0

 AC.AD  AC.AB  0
 AD(AB  AC)  0
 AD(AB  AC)  0  AD.CB  0
 AD  CB
 AD  CB