Transcript góc giữa hai mặt phẳng

KIỂM TRA BÀI CŨ
CÂU 1:
* Nêu định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng?
* Nêu cách chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp(α)?
d

CÂU 2:
* Định nghĩa góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng?
A

O

H
 Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng
 Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc.
 Các định lí.
 Các ví dụ.
I. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG:
1. ĐỊNH NGHĨA:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường
thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì
ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 00.
b
a
Q
P
2. CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG CẮT NHAU:
Giả sử ()  () = c
Từ một điểm I bất kì trên c, ta dựng trong ()
đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong ()
đường thẳng b vuông góc với c.
Khi đó: góc giữa hai mặt phẳng () và () là
góc giữa hai đường thẳng a và b.
b
a

Gọi  là góc giữa 2 mp () và () thì: 00    900
c
I

3. DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐA GIÁC:
Cho đa giác (H) nằm trong mặt phẳng () có diện tích S. Gọi (H’) là hình chiếu vuông
góc của (H) trên mặt phẳng (). Khi đó diện tích S’ của (H’) được tính theo công thức:
với  là góc giữa () và ()
S’ = S.cos
Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên
a
SA  mp(ABC) và SA = 2
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
VÍ DỤ:
b) Tính diện tích tam giác SBC.
GIẢI: a) Gọi H là trung điểm của cạnh BC. Ta có: BC  AH
Mặt khác: SA  (ABC)  SA  BC (2)
(1)
S
Từ (1) & (2)  BC  SH
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) & (SBC) bằng SHA.
Đặt  = SHA, ta có: tan =
SA
AH

a
2
a 3
2

1
3

3
3
A
C

Vậy  = 300
H
B
b) Tính diện tích SBC:
Ta có: SA  mp(ABC)
S
 ABC là hình chiếu của SBC trên mp(ABC).
Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích SBC và ABC.

A
Ta có: S2 = S1.cos
2
1
a
3
Mà: S2 = AB. AC. sin A 
2
4
cos =
3
2
Suy ra: S1 =
H
B
S2
 S1 = cos 
2 a2 3 a2
.

4
2
3
C

HỆ QUẢ 1:
Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất
kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng
này và vuông góc với giao tuyến thì vuông
góc với mặt phẳng kia.
()  ()
()  () = c
 a  ()
a
b
c

a  (), a  c

HỆ QUẢ 2:
Cho 2 mặt phẳng () và () vuông góc với
nhau. Nếu từ một điểm thuộc mp() ta dựng
đường thẳng vuông góc với mp() thì đường
thẳng này nằm trong mp().
()  ()
A ()
a A, a  ()
 a  ()

a
A
a’
c
ĐỊNH LÍ 2:
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc
với mặt phẳng thì giao tuyến của chúng cũng
vuông góc với mặt phẳng đó.
()  ( P), ()  (P)
()  () = d


 d  (P)
P
d
VÍ DỤ 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA  (ABCD).
a) Chứng minh: (SAC)  ( ABCD) và (SAC)  (SBD).
b) Gọi H là hình chiếu của O trên SC. CM: (SAC)  (BHD).
Giải: a) CM (SAC)  ( ABCD):
Ta có: SA  (ABCD) (gt)
S
 (SAC)  (ABCD)
SA  (SAC)
 CM (SAC)  ( SBD):
Ta có: SA  (ABCD) (gt)
 SA  BD
(1)
BD  (ABCD)
Mặt khác: AC  BD (2 đường chéo của h.thoi) (2)
Từ (1) & (2)  BD  (SAC)
A
Mà: BD  (SBD)  (SBD)  (SAC)
b) CM (SAC)  (BHD).
Ta có: SC  OH (gt) (3)
BD  (SAC) (cmt)
 SC  BD
SC  (SAC)
Từ (3) & (4)  SC  (BHD)
Mà: SC  (SAC)  (SAC)  (BHD)
B
(4)
H
D
O
C
VÍ DỤ 2:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).
a) CM: mp(SBC)  mp(SAC).
b) Gọi I là trung điểm SC. CM: mp(ABI)  mp(SBC).
Giải: a) CM: mp(SBC)  mp(SAC).
Ta có: (SAC)  (ABC)
 BC  (SAC)
(SAC)  (ABC) = AC
BC  (ABC), BC  AC
Mà: BC  (SBC)  (SBC)  (SAC)
b) CM: mp(ABI)  mp(SBC).
BC  (SAC) (cmt)
 AI  BC
AI  (SAC)
Mặt khác: SAC đều và SI = IC, nên AI  SC
Từ (1) & (2)  AI  (SBC)
Ta có:
Mà: AI  (ABI)  (ABI)  (SBC)
S
I
A
C
(1)
B
(2)
XÁC ĐỊNH TÍNH ĐÚNG SAI CỦA CÁC MỆNH ĐỀ SAU
S1
Hai đường thẳng lần lượt nằm trên 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì
vuông góc với nhau.
2
S
Nếu đường thẳng a nằm trong mp() và a vuông góc với đường thẳng b
nằm trong mp() thì mp() vuông góc với mp().
3
Đ
Nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm
trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt
phẳng kia.
S4
Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì
song song với nhau.
5
Đ
Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
6
Đ
Nếu một trong hai mặt phẳng có chứa một đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.