Transcript TV_BGDT_1_65

1. Hình phẳng giới hạn bởi
một đường cong và trục Ox
I. TÍNH DIỆN TÍCH
HÌNH PHẲNG
2. Hình phẳng giới hạn
bởi hai đường cong
1. Thể tích vật thể
II. TÍNH THỂ TÍCH
2. Thể tích khối chóp,
khối chóp cụt
y
III. TÍNH THỂ TÍCH
KHỐI TRÒN XOAY
y = f(x)
O
a
x
b
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Bài toán 1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi : y = f(x) liên tục trên
[a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b.
y
y = f(x)
b
b
a
a
- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì S=  f(x).dx =  f(x) dx
S
o
y
b
b
a
a
- Nếu f(x) ≤ 0 trên [a;b] thì S = S' =  -f(x).dx =  f(x) dx
S = S1 + S2 + S3
c
d
a
c
b
=  f(x)dx +  -f(x) dx +  f(x)dx
d
c
d
b
b
a
c
d
a
=  f(x) dx +  f(x) dx +  f(x) dx   f(x) dx
A’
b
y = - f(x)
x
B’
S’
o
- Nếu f(x) ≥ 0 trên [a;c] và [d;b], f(x) ≤ 0 trên [c;d] thì
a
a
S
A
y = f(x)
b x
B
I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Bài toán: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi : y = f(x) liên tục
trên [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b.
b
S =  f(x) dx (1)
a
Chú ý: Khi áp dụng công thức (1), phải xét dấu f(x) để khử dấu giá trị tuyệt đối.
I. TÍNH DIỆN TÍCH
HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi
một đường cong và trục Ox
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = x3 và hai đường thẳng x = -2; x = 1 và trục Ox.
Giải : Ta có : x3  0 trên [-2;0] và x3  0 trên [0;1].
Áp dụng công thức (1), ta có :
1
0
1
S   | x | dx   ( x )dx   x 3dx
3
3
2
x4

4
b
S=
a f(x) dx
2
(1)
0
0
1
x4
17


4 0 4
2
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y= sinx , trên đoạn [0;2] và Ox.
y
Giải : Áp dụng công thức (1) ta có:
2
S

2
 | sin x | dx   | sin x | dx   | sin x | dx
0

0

  sin xdx 
0


O
2
 ( sin x)dx
2
  cos x 0  cos x   4.
2
x
I. TÍNH DIỆN TÍCH
HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi
một đường cong và trục Ox
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán 2: Cho hai hàm số y= f1(x) và y=f2 (x) liên tục trên
[a;b]. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi : y= f1(x),
y=f2 (x) và hai đường thẳng x = a, x = b.
b
S=
a f(x) dx
(1)
* Xét f1(x) ≥ f2(x) ≥ 0 bx  [a;b].
b
tính S fthông
qua S1 và S2 không?
Khi đó SCó
= Sthể
1 (x)dx -  f 2 (x)dx
1 - S2
a
b
a
Và tính như thế nào?
   f1 (x) - f 2 (x) dx
a
b
=
a f1 (x) - f 2 (x)dx
* Trong trường hợp tổng quát, người ta chứng minh được
công thức:
b
S=
a f1(x) - f 2 (x) dx
(2)
I. TÍNH DIỆN TÍCH
HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi
một đường cong và trục Ox
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Bài toán 2: Cho hai hàm số y= f1(x) và y=f2 (x) liên tục trên
[a;b]. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi : y= f1(x),
y=f2 (x) và hai đường thẳng x = a, x = b.
b
S=
a f1(x) - f 2 (x) dx
(2)
b
S=
a f(x) dx
(1)
Chú ý: Khi áp dụng công thức (2), cần khử dấu giá trị tuyệt đối.
Cách khử dấu giá trị tuyệt đối:
x  c
(c, d [a; b], c  d )
- Giải pt f1(x) = f2(x)  
(f (x) - f (x) = 0)  x  d
1
2
- Tách tích
phân thành
b
S=
a f1 (x) - f 2 (x)dx
c
=
d
a f1 (x) - f 2 (x)dx + c f1 (x) - f 2 (x) dx
c
= [f1(x) - f 2 (x)]dx +
a
d
b
+
d f1 (x) - f 2 (x) dx
b
c [f1(x) - f 2 (x)]dx + d [f1(x) - f 2 (x)]dx
I. TÍNH DIỆN TÍCH
HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi
một đường cong và trục Ox
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm
số y = cos x, y = sin x và hai đường thẳng x = 0 , x = π.
Giải: Đặt f1(x) = cos x và f2(x) = sin x.

4
Ta có: f1(x) - f2(x) = 0  cosx-sinx  0  x  [0; ]



4
Do đó S =  |cosx-sinx|dx=  |cosx-sinx|dx   |cosx-sinx|dx

0
0
4
b
a
S=
f(x) dx
(1)
2. Hình phẳng giới hạn
bởi hai đường cong

4

0

4
=   cosx-sinx  dx    cosx-sinx  dx

4
0
=  sinx+cosx    sinx+cosx    2 2.

4
b
S =  f1(x) - f 2 (x) dx (2)
a
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng bởi đồ thị hai hàm số :
y = x3-3x2 +3 và y = 3-2x2.
I. TÍNH DIỆN TÍCH
HÌNH PHẲNG
1. Hình phẳng giới hạn bởi
một đường cong và trục Ox
(Giải tương tự ) Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hai hàm số
1
y  x, y  x
2
* Chú ý : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số
thì chia diện tích ra nhiều vùng nhỏ rồi sử dụng công thức (2).
b
S=
a f(x) dx
(1)
2. Hình phẳng giới hạn
Ví dụ 6: Tính diện tích giới hạn bởi: Đồ thị h/s y  x,3
trục hoành và đường thẳng y=-x+2
bởi hai đường cong
Hướng dẫn:
1
S1 
3
x
 dx =...
0
b
S =  f1(x) - f 2 (x) dx (2)
a
S2  SMAB  ...
 S  S1  S2
S1 S2
A
B
1. Hình phẳng giới hạn bởi
một đường cong và trục Ox
I. TÍNH DIỆN TÍCH
HÌNH PHẲNG
b
a f(x) dx
S=
(1)
2. Hình phẳng giới hạn
bởi hai đường cong
b
S =  f1(x) - f 2 (x) dx (2)
a
1. Thể tích vật thể
II. TÍNH THỂ TÍCH
2. Thể tích khối chóp,
khối chóp cụt
Công thức
V=?
y
III. TÍNH THỂ TÍCH
KHỐI TRÒN XOAY
y = f(x)
O
a
x
b