Transcript file đính kèm

§
4
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
1. Góc giữa hai mặt phẳng
ĐỊNH NGHĨA 1
Góc giữa hai mặt phẳng là
góc giữa hai đường thẳng lần
lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng
?1 Giả
Khi sử
hai(P)
mặtvàph(Q)
ẳng cắt
(P) nhau
và (Q) song song hoặc trùng
nhau thì góc

theo
tuyến .
bằng giao
bao nhiêu?
Ta vẽ một mặt phẳng (R)   và
gọi p,
p
q
q lần lượt là giao tuyến của
(R) với (P)
a
b
và
(
Q
).
Khi
đó,
góc
giữa
(
P
)
R
Thật vậy, trong mp(R), xét
và (đường
Q)
các
bằng góc
giữa
và q.
thẳng
a, b
lần plượt
vuông góc
P
Q
với p và
q thì a  (P), b  (Q) và dễ
thấy góc
giữa hai đường thẳng a, b
bằng góc
giữa hai đường thẳng p, q.
CHÚ Ý
Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến , để tí
góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc vớ
, lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến p và q. Lúc đó
giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng p, q.
Ví dụ
S
Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC). Gọi
 là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Chứng minh rằng SABC = SSBC.cos , ở đây
kí hiệu SABC là diện tích tam giác ABC.
Giải
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Do
A

SA  mp(ABC) nên SH  BC. Suy ra góc
SHA   và AH  SH.cos . Từ đó ta có:
B
1
1
SA BC  BC .A H  BC .SH .cos  SSBC .cos
2
2
ĐỊNH LÍ 1
C
H
Gọi S là diện tích của đa giác ℋ mặt phẳng (P) và S’ là diện
hình chiếu ℋ’ của ℋ trên mặt phẳng (P’) thì S’  S.cos , t
 là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P’).
2. Hai mặt phẳng vuông góc
ĐỊNH NGHĨA 2
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng 90
Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, ta kí hiệu (
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc
ĐỊNH LÍ 2
Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt
phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Chứng minh.
P
Giả sử (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng
a mà a vuông góc với mp(Q). Gọi H là giao
a
điểm của a và (Q) thì H thuộc giao tuyến
c
của (P) và (Q). Trong (Q), kẻ đường thẳng
b đi qua H và vuông góc với c. Khi đó góc
c
giữa (P) và (Q) chính là góc giữa a và b. Vì b
a  (Q) nên a  b, từ đó suy ra (P) H (Q).
Q
ĐỊNH LÍ 3
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đ
thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P)
đều vuông góc với mặt phẳng (Q).
Chứng minh.
Gọi c là giao tuyến của (P) và (Q), H là giao điểm của a và c
kẻ đường thẳng b đi qua điểm H và vuông góc với c. Khi đó, gó
(Q) chính là góc giữa a và b. Vì (P)  (Q) nên a  b. Như vậ
thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b, c cắt nhau cùng thuộ
a  (Q).
Hệ quả 1
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và
A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi
qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).
Hệ quả 1 được viết gọn là:
(P ) (Q )
A  (P ) 
  a  (P )
a  (Q ) 

A a
P
A
a
Q
Hệ quả 2
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ
ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng
Hệthquả
2 được viết gọn là:
ứ ba.
Q
P
a
(P ) (Q ) a

(P ) (R )   a  (R )
(Q ) (R ) 

Từ định lí 2, ta nhận thấy nếu đường
thẳng a vuông góc với mặt phẳngR (P)
thì qua a có vô số mặt phẳng vuông
góc với (P). Vậy khi a không vuông
góc với (P) thì qua a có bao nhiêu mặt
phẳng vuông góc với (P)?
Hệ quả 3
a
P
Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P)
có duy nhất
một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P).
3. Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương
Trong phần này, ta sẽ xét một số hình lăng trụ đặc biệt.
ĐỊNH NGHĨA 3
HÌNH VẼ
?2
Hình lăng trụ
đứng
Là hình lăng trụ
có cạnh bên vuông
góc với mặ đáy.
• Các mặt bên của
hình
lăng
trụ
đứng là hình gì?
• Các mặt bên của
hình
lăng
trụ
đứng có vuông góc
với
mặt
đáy
không?
Hình lăng trụ đều
Là hình lăng trụ
đứng có đáy là đa
giác đều.
Các mặt bên của
hình lăng trụ đều
có
bằng
nhau
không?
ĐỊNH NGHĨA 3
HÌNH VẼ
?2
Hình hộp đứng
Là hình lăng trụ
đứng có đáy là
hình bình hành.
Hình hộp đứng có
bai bao nhiêu mặt
là hình chữ nhật
?
Hình hộp chữ nhật
Là hình hộp đứng
có đáy là hình
chữ nhật.
Sáu mặt đáy của
hình hộp chữ nhật
có phải là hình
chữ nhật không?
Ngược
lại,
một
hình hộp là sáu
mặt
của
nó
là
hình chữ nhật thì
có phải là hình
hộp
chữ
nhật
không?
ĐỊNH NGHĨA 3
HÌNH VẼ
?2
Hình lập phương
Là hình hộp chữ
nhật có tất cả
các
cạnh
bằng
nhau.
Hình hộp chữ nhật
mà diện tích tất
cả các mặt đều
bằng nhau có phải
là
hình
lập
phương hay không?
Bài toán
Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật khi biết độ dài ba
phát từ một đỉnh là a, b, c (a, b, c được gọi là kich thước của
nhật).
Giải
Từ
và
ta có
hay
B
A C  A B  A D  A A ' 0
A B .A D  A B .A A ' A D .A A ' 0
A
D
B’
2
A C '  a2  b2  c2
A C  a2  b2  c2
C
A’
a2  bằng
b2  c2 .
Tương tự các đường chéo còn lại cũng
C’
D’
Độ chóp
dài đườ
ng và
chéo
a hình
ập phương
4.?3Hình
đều
hìnhcủchóp
cụtlđều
cạnh a bằng bao nhiêu?
ĐỊNH NGHĨA 4
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa g
và các cạnh bên bằng nhau.
S
S
S
B
A
C
C
H
B
M
A
H
A
D
E
F
D
H
B
C
?4 Các kết quả sau đây về hình chóp đều có đúng không? Vì
• Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của
và đường cao của hình chóp đi qua tâm của đáy (tâm của
là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp đa giác đó.
• Một hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của
và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
sao?
nó là
đa giá
nó là
S
ĐỊNH NGHĨA 5
Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song
song với đáy để được hình chóp cụt thì hình
A’6
chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
A’5
A’
1
O’
Đoạn nối tâm của hai đáy được gọi là đường
A’2A’3
cao của hình chóp cụt đều.
?5 Tại sao trong hình chóp cụt đều, các mặAt6
bên là những hình thang cân bằng nhau?
A1
A’4
A5
A4
O
A2
A3