Transcript Chuong_8

Chương 7
Bài toán luồng cực đại
trong mạng
Giảng viên: Nguyen Ngoc Trung
[email protected]
Khái niệm mạng

Định nghĩa. Mạng là một đồ thị có hướng G = <V,E>,
trong đó:
Có duy nhất một đỉnh s không có cạnh đi vào, gọi là điểm
phát.
 Có duy nhất một đỉnh t không có cung đi ra, gọi là điểm thu.
 Mỗi cạnh của đồ thị được gán với một con số không âm gọi
là khả năng thông qua (băng thông) của cạnh đó.

1
3
2
4
s
3
1
2
t
4
3
3
Lý thuyết đồ thị
3
4/8/2015
4
2
Luồng trên mạng

Định nghĩa. Xét mạng G = <V,E>. Ta gọi luồng f
trong mạng là ánh xạ f: E  R+, gán cho mỗi cạnh e
= (u,v) một số thực không âm f(e), gọi là luồng trên
cung e, thỏa mãn các điều kiện sau:
Luồng trên mỗi cung không đượt vượt quá khả năng
thông qua của nó: f(e)  c(e).
 Tại mỗi đỉnh, tổng luồng đi vào phải bằng tổng luồng đi
ra (trừ tại s và t).


Giá trị của mỗi luồng f được tính bằng tổng luồng đi
ra tại s (cũng chính là tổng luồng đi vào tại t).
Lý thuyết đồ thị
4/8/2015
3
Luồng trên mạng (tt)

(2)
3
1
VD:
(1)
2
3(3)
4
s
(1)1
(1)2
(3) 3
t
(1)
4
(1)
3
3

4
Ký hiệu
 (v)  w V | (w, v)  E

Điều kiện cân bằng luồng:
 f (w,v) 
w ( v )

 (v)  w V | (v, w)  E

w ( s )
f (v,w)
w ( v )
Giá trị của luồng f:
val ( f )   f (s,w) 
Lý thuyết đồ thị
Val(f) = 4
4/8/2015

w ( t )
f (w,t)
4
Lát cắt


Một lát cắt (X,X*) là một cách phân hoạch tập đỉnh V
của mạng thành hai tập X và X* = V\X, trong đó sX
và tX*.
Khả năng thông qua của lát cắt (X,X*) là số:
c( X , X * ) 
 c(v, w)
vX
wX *

Lát cắt với khả năng thông qua nhỏ nhất được gọi là
lát cắt hẹp nhất
Lý thuyết đồ thị
4/8/2015
5
Lát cắt (tt)

1
VD:
3
2
4
s
3
1
2
t
4
3
3
3
4
Xét lát cắt (X,X*) với X = {s, 3, 4}, X* = {t, 1, 2}
 Ta có c(X, X*) = 4 + 1 + 2 + 4 = 11
 Lát cắt nhỏ nhất???
 Lát cắt nhỏ nhất là: X = {s, 1}, X* = {t, 2, 3, 4}
Lý thuyết đồ thị
4/8/2015

6
Lát cắt (tt)


Bổ đề: Giá trị của luồng f trong mạng luôn nhỏ hơn
hay bằng khả năng thông qua của lát cắt bất kỳ.
Bổ đề: Giá trị luồng cực đại trong mạng không vượt
quá khả năng thông qua của lát cắt hẹp nhất trong
mạng.
Lý thuyết đồ thị
4/8/2015
7
Đồ thị tăng luồng

Cung nghịch
Xét mạng G với luồng f như sau:
1
(1)
(2)
3
2
2
1
3(3)
4
1
3
s
(1)1
(3) 3
(1)2
t
(1)
3
3
s
(1)
4
3
1
1
t
1
3
3
1
2
3
4
4
1
Mạng G và luồng f
Lý thuyết đồ thị
Cung thuận
2
1
Đồ thị tăng luồng Gf
4/8/2015
8
Đồ thị tăng luồng (tt)



Xét P = (s = v0 v1 v2 … vk = t) là một đường đi trên
đồ thị tăng luồng.
Gọi  là giá trị trọng số nhỏ nhất của một cạnh trên
cung này.
Ta xây dựng luồng f’ trên mạng G theo quy tắc như
sau:
 f (u, v)  

f '(u , v)   f (u , v)  
 f (u , v)

, nếu (u,v)  P là cung thuận
, nếu (u,v)  P là cung nghịch
, nếu (u,v)  P
f’ được gọi là đường tăng luồng dọc theo P
Lý thuyết đồ thị
4/8/2015
9
Đồ thị tăng luồng (tt)

VD:
2
2
1
1
1
1
3
s
(1)
(2)
3
1
1
t
1
= 1
3
3
3
3(3)
s
(0)
(1)1
(1)2
t
(1)
(2)
3
3
4
2
4
(3) 3
1
2
(2)
3
(1)
(2)
4
4
1
Đồ thị tăng luồng Gf
Mạng G và luồng mới f’
Val(f’) = 5
Lý thuyết đồ thị
4/8/2015
10
Đường tăng luồng


Định nghĩa: Đường tăng luồng f là một đường đi bất
kỳ từ s đến t trong đồ thị Gf.
Định lý: Các điều sau là tương đương:
f là luồng cực đại trong mạng
 Không tồn tại đường tăng luồng f
 val(f) = c(X,X*) với một lát cắt (X,X*) nào đó

Lý thuyết đồ thị
4/8/2015
11
Thuật toán tìm luồng cực đại

Ý tưởng thuật toán
Bắt đầu từ một luồng f bất kỳ - có thể là luồng 0
 Xây dựng đồ thị tăng luồng Gf.
 Từ Gf, tìm đường tăng luồng P



Lý thuyết đồ thị
Nếu không có đường tăng luồng nào thì kết thúc.
Nếu có đường tăng luồng P thì xây dựng luồng mới f’ và lặp
lại quá trình trên cho đến khi không tìm thêm được đường
tăng luồng mới.
4/8/2015
12
Một số kết quả lý thuyết


Định lý: Luồng cực đại trong mạng bằng khả năng
thông qua của lát cắt hẹp nhất.
Định lý: Nếu tất cả các khả năng thông qua là các
con số nguyên thì luôn tìm được luồng cực đại với
luồng trên các cung là các số nguyên
Lý thuyết đồ thị
4/8/2015
13
Một số bài toán luồng tổng quát

Tự đọc thêm trong tài liệu (Chương 7)

Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành. Toán Rời Rạc. NXB
Giáo Dục, 1999
Lý thuyết đồ thị
4/8/2015
14
Một số ứng dụng trong tổ hợp

Tự đọc thêm trong tài liệu (chương 7):

Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành. Toán Rời
Rạc. NXB Giáo Dục, 1999
Lý thuyết đồ thị
4/8/2015
15