Transcript Chuong_5 - Khoa Công Nghệ Thông Tin
Chương 4 Đồ thị phẳng – Bài toán tô màu đồ thị
Giảng viên: Nguyen Ngoc Trung [email protected]
Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 2
Đồ thị phẳng
Bài toán mở đầu:
Có 3 gia đình, 3 nhà cung cấp điện, nước, gas.
Các gia đình đều cần điện, nước, gas và đều muốn đi dây riêng.
Cần nối dây từ các gia đình đến các nhà cung cấp sao cho không dây nào cắt dây nào.
A B
?
C
Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 3
Đồ thị phẳng
Định nghĩa:
Đồ thị vô hướng G là đồ thị phẳng nếu ta có thể biểu diễn nó trên một mặt phẳng sao cho không có cạnh nào cắt nhau.
VD: Đồ thị phẳng
Lý thuyết đồ thị 4/29/2020
Không là đồ thị phẳng
4
Đồ thị phẳng (tt)
Các đồ thị không phẳng nổi tiếng
Đồ thị K 5 – đồ thị đầy đủ Đồ thị K 3x3 – đồ thị hai phía đầy đủ
Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 5
Công thức Euler
Xét đồ thị sau:
2 1 3 5 4 6
Định lý:
Cho G là đồ thị phẳng, liên thông với n đỉnh và m cạnh. Gọi r là số miền trong biểu diễn phẳng của G. Khi đó, ta có: Lý thuyết đồ thị
r = m - n + 2
4/29/2020 6
Công thức Euler (tt)
Chứng minh công thức Euler:
Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 7
Công thức Euler (tt)
Hệ quả.
Nếu G là đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh, v đỉnh, trong đó v 3. Khi đó ta có:
e
3v – 6 Chứng minh:
Gọi r là số miền Mỗi miền đều tương ứng với ít nhất 3 cạnh Mỗi cạnh tướng ứng với đúng 2 miền Gọi bậc của mỗi miền là số cạnh tương ứng với nó Suy ra, tổng bậc của các miền ít nhất là bằng 2 lần số cạnh
2.
e
R
3.
r
Áp dụng công thức Euler suy ra điều phải chứng minh.
Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 8
Định lý Kuratowski
Định lý:
Đồ thị G là đồ thị phẳng nếu và chỉ nếu G không chứa đồ thị con đẳng cấu với K 5 hoặc K 3x3
VD:
các đồ thị sau đây không là đồ thị phẳng Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 9
Tô màu đồ thị
Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 10
Tô màu đồ thị (tt)
Phải dùng 3 màu để tổ
Lý thuyết đồ thị
Phải dùng 4 màu để tổ
4/29/2020
?
11
Tô màu đồ thị (tt)
Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 12
Tô màu đồ thị (tt)
1 2 3 5 4 6 7 8 9 2 1 3 4 5 7 6
Lý thuyết đồ thị 4/29/2020
1 2 7 8 4 3 5 1 2 4 5 6 6 9 3 7
13
Bài toán tô màu đồ thị
Định nghĩa.
Tô màu một đồ thị vô hướng là một sự gán màu cho các đỉnh sao cho hai đỉnh kề nhau phải khác màu nhau.
Định nghĩa.
Số màu (sắc số) của một đồ thị là số màu tối thiểu cần thiết để tô màu đồ thị này.
1 2 7 8 2 6 4 1 4 5 3 6 9 5 Đồ thị có số màu là 3
Lý thuyết đồ thị 4/29/2020
3 7 Đồ thị có số màu là 4
14
Bài toán tô màu đồ thị (tt)
Định lý. (Định lý 4 màu)
phẳng là không lớn hơn 4.
Số màu của một đồ thị Một số thông tin liên quan: Bài toán được đưa ra năm 1850 Có rất nhiều chứng minh sai về bài toán này Chứng minh sai nổi tiếng là của Alfred Kempe vào năm 1879 Percy Heawood năm 1890 phát hiện ra chứng minh sai ở trên vào Dựa vào đó, năm 1976 Appel và Haken đã chứng minh bằng cách sử dụng máy tính Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 15
Bài toán tô màu đồ thị (tt)
Tìm số màu của các đồ thị sau: Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 16
Ứng dụng
Bài toán lập lịch thi:
Hãy lập lịch thi trong một trường đại học sao cho không có sinh viên nào thi hai môn cùng một lúc.
Giải pháp:
Biểu diễn bằng đồ thị: Mỗi môn học là một đỉnh Nếu 2 môn học nào được dự thi bởi cùng 1 sinh viên thì sẽ nối bằng 1 cạnh.
Cách lập lịch sẽ tương ứng với bài toán tô màu của đồ thị này.
Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 17
Ứng dụng (tt)
VD:
Có 7 môn thi với thông tin như sau: Môn 1: có các sinh viên A, B, C và D thi Môn 2: có các sinh viên A, E, F, G và H thi Môn 3: có các sinh viên B, E, I, J và K thi Môn 4: có các sinh viên B, F, L và M thi Môn 5: có các sinh viên G, L, N và O thi Môn 6: có các sinh viên J, M, N và P thi Môn 7: có các sinh viên D, H, K, O và P thi Hãy xếp lịch thi thành các đợt sao cho các sinh viên đều có thể dự thi tuần tự các môn mình đăng ký Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 18
Ứng dụng (tt)
VD:
Có 7 môn thi với thông tin như sau: Môn 1: có các sinh viên A, B, C và D thi Môn 2: có các sinh viên A, E, F, G và H thi Môn 3: có các sinh viên B, E, I, J và K thi Môn 4: có các sinh viên B, F, L và M thi Môn 5: có các sinh viên G, L, N và O thi Môn 6: có các sinh viên J, M, N và P thi Môn 7: có các sinh viên D, H, K, O và P thi
6 7 Đợt thi
1 2 3 4
Môn thi
1, 5 2, 6 3 4, 7 Lý thuyết đồ thị 4/29/2020
5 1 4 2
19
3
Ứng dụng (tt)
Bài toán phân chia tần số.
Các kênh truyền hình từ số 2 đến số 13 được phân chia cho các đài truyền hình sao cho không có 2 đài cách nhau không quá 150 dặm lại dùng chung một kênh Hãy tìm cách phân sao cho số kênh dùng là ít nhất Giải pháp: Biểu diễn bằng đồ thị: Mỗi đỉnh là một đài phát Hai 150 đỉnh được nối một cạnh nếu hai đài phát cách nhau ít hơn dặm Số màu của đồ thị chính là số kênh cần dùng.
Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 20
Ứng dụng (tt)
Bài toán các thanh ghi chỉ số:
Trong lập trình các thanh ghi thường được dùng để lưu trữ giá trị các biến tạm thời Tìm số thanh ghi ít nhất cần sử dụng trong một chương trình
Giải pháp:
Biểu diễn bằng đồ thị: Mỗi biến tương ứng với mỗi đỉnh Hai đỉnh được nối với nhau nếu hai biến cùng được ghi xuống tại một thời điểm Số thanh ghi ít nhất cần sử dụng sẽ là số màu của đồ thị trên Lý thuyết đồ thị 4/29/2020 21