Transcript ch2_Tinh toan va xac suat

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE
137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh
Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304
Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
(Tài liệu cập nhật – 2009)
Chương 2
TÍNH TOÁN & XÁC SUẤT
www.math.hcmus.edu.vn/~ntchuyen/ispace
Mail: [email protected]
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
A. Tính toán
I. Các nguyên lý
1. Nguyên lý cộng
Giả sử để làm công việc A có 2 phương pháp
- Phương pháp 1 có n cách làm
- Phương pháp 2 có m cách làm
Khi đó số cách làm công việc A là n+m
Ví dụ. An có 3 áo tay dài, 5 áo tay ngắn. Để chọn 1 cái
áo thì An có mấy cách
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Phép đếm
I. Các nguyên lý
2. Nguyên lý nhân
Giả sử để làm công việc A cần thực hiện 2 bước
- Bước 1 có n cách làm
- Bước 2 có m cách làm
Khi đó số cách làm công việc A là n.m
Ví dụ:
A
B
C
Có 3.2 =6 con đường đi từ A đến C
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
I. Các nguyên lý
Ví dụ: Cho tập X ={1,2,3,4,5,0}
Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau mà chia
hết cho 2
Giải. Gọi số có 3 chữ số là abc
TH1 . c=0. Khi đó
c có 1 cách chọn
TH1 có 1.4.5 =20
a có 5 cách chọn ( aX\{0} )
b có 4 cách chọn ( bX\{a, 0} )
TH2 . c≠0. Khi đó
c có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn ( aX\{c, 0} )
b có 4 cách chọn ( bX\{a, c} )
TOÁN ỨNG DỤNG
TH2 có 2.4.4 =32
Vậy có 20+32 =52
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
I. Các nguyên lý
3- Nguyên lý Dirichlet
Nếu có n vật đặt trong k hộp
n
 tồn tại 1 hộp chứa ít nhất  k  vật
 
 n  là số nguyên dương nhỏ nhất thoả điều kiện
k 
 
n,  n  n
n n
 k   k hay k   k   k  1
 
,
Ví dụ 2.9:
[x] gọi là hàm sàn trên của x
4
4
5  1  5
 
TOÁN ỨNG DỤNG
5
5
4  2  4
 
4
 4
 5   0   5
 
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
I. Các nguyên lý
3. Nguyên lý chuồng bồ câu (Derichlet)
Gọi  x  là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng x.
Giả sử có n chim bồ câu ở trong k chuồng. Khi đó tồn tại ít
nhất một chuồng chứa từ
k câu trở lên.
 n /bồ
Ví dụ. Có 20 chim bồ câu ở trong 7 cái chuồng. Khi đó sẽ
có ít nhất 1 chuồng có 3 con bồ câu trở lên
- Trong 1 nhóm có 367 người thì ít nhất có 2 người sinh
cùng ngày
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
I. Các nguyên lý
Ví dụ
Trong một nhóm có 366 người thì ít nhất có 2
người trùng ngày sinh nhật?
Giải:
Một năm có 365 ngày  n=365, k=366
Theo Nguyên lý Dirichlet
 366 
 365   2 
 tối thiểu có 2 người trùng ngày sinh nhật
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
I. Các nguyên lý
Ví dụ
Trong một nhóm có 28 từ tiếng Anh thì ít nhất
có 2 từ bắt đầu bằng cùng một chữ cái?
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Giải:
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Bảng chữ cái tiếng Anh có 26 mẫu
tự  n=26, k=28
Theo Nguyên lý Dirichlet
28
 28 

2

 26 
26
 ít nhất có 2 từ bắt đầu trùng chữ cái
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
I. Các nguyên lý
Ví dụ. Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Lấy A là tập hợp con
của X gồm 6 phần tử. Khi đó trong A sẽ có hai phần tử có
tổng bằng 10.
Giải.
Ta lập các chuồng như sau: {1,9} {2,8} {3,7} {4,6} {5}
Do A có 6 phần tử nên trong 6 phần tử đó sẽ có 2 phần tử
trong 1 chuồng. Suy ra đpcm
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
I. Các nguyên lý
Ví dụ
Giải:
Tính lượng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào
danh sách lớp A, để chắc chắn có ít nhất 6
SV có cùng một điểm trong thang điểm 5?
Theo Nguyên lý Dirichlet
n n
    6  1
5 5

n
 6 1  5
5
Cách 1:
n  (5 * 5)  1  26
Cách 2:
n  5 * 5  25
Vậy tối thiểu có 26 SV ghi tên vào DS lớp
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3):
Bài 3.1:
Bài 3.2:
TOÁN ỨNG DỤNG
Tính lượng SV tối thỉểu cần có ghi tên vào danh
sách lớp CC02, để chắc chắn có ít nhất 5 SV có
cùng một điểm trong thang điểm 10?
Thời khoá biểu trường xx học từ thứ 2 đến thứ 7.
CMR nều trường có 7 lớp thì it nhất có 2 lớp học
cùng ngày?
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3):
Bài 3.3:
Mỗi SV trong lớp A đều có quê ở 1 trong 64 tỉnh
thành. Trường cần phải tuyển bao nhiêu SV để
đảm bảo trong 1 lớp A có ít nhất:
a/ 2 SV có quê cùng tỉnh
b/ 10 SV có quê cùng tỉnh
c/ 50 SV có quê cùng tỉnh
Bài 3.4:
TOÁN ỨNG DỤNG
Lớp có 32 SV, CMR có ít nhất 2 SV có tên bắt
đầu cùng 1 chữ cái?
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Bài tập về nhà DẠNG 3 (Homework-3):
Bài 3.5:
Bài 3.6:
TOÁN ỨNG DỤNG
CMR trong 5 số chọn từ tập hợp 8 số
{1,2,3,4,5,6,7,8} bao giờ cùng có 1 cặp số có
tổng bằng 9?
CMR trong 6 số bất kỳ chọn từ tập hợp 9 số
nguyên dương đầu tiên {1,2,3,4,5,6,7,8,9} bao
giờ cũng chứa it nhất 1 cặp số có tổng bằng 10?
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
I. Các nguyên lý
4. Nguyên lý bù trừ.
Cho A và B là hai tập hữu hạn. Khi đó
|A  B|= |A|+|B| - |A  B|
A
TOÁN ỨNG DỤNG
AB
B
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
I. Các nguyên lý
C
BC
AC
ABC
A
AB
B
|A  B  C|=?
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
I. Các nguyên lý
Ví dụ. Trong một lớp ngoại ngữ Anh Pháp. Có 24 HS học
Tiếng Pháp, 26 học sinh học Tiếng Anh. 15 học sinh học
Tiếng Anh và Tiếng Pháp. Hỏi lớp có bao nhiêu người
Giải.
Gọi A là những học sinh học Tiếng Pháp
B là những học sinh học Tiếng Anh
Khi đó. Số học sinh của lớp là |A  B |. Theo nguyên lý
bù trừ ta có |A  B|= |A|+|B| - |A  B|=24+26-15=35
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
I. Các nguyên lý
Ví dụ 2.2:
Cho các tập hợp như sau
A  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
3
A1  1,3,5,7,9
A2  2,4,6,8,10
A3  1,4,5,8
Hãy chứng minh
9
1
7
5
2
4
6
10
8
A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A3  A1  A2  A2  A3  A3  A1
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
I. Các nguyên lý
Ví dụ 2.3:
THỰC HÀNH:
…………………………………..
...................
X  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 X1  X2  X3  ..........
X1  …………………………………..
X1  1,3,7,9
X1  X2  …………………………………..
X2  2,4,6,10,
X2  …………………………………..
.................? ..............
X3  5,7,10,11
…………………………………..
…………………………………..
X2  X3  ..........
.....? ................
X3  …………………………………..
.................? ..............
X3  X1  ..........
......? ................
…………………………………..
X1  X2  X3  ..........
......? ................
…………………………………..
?
X1  X2  X3  X1  X1  X2  X2  X2  X3  X3  X3  X1  X1  X2  X3
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
II. Giải tích tổ hợp
1. Hoán vị
Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp đặt
có thứ tự n phần tử của A được gọi là một hoán vị của n
phần tử. Số các hoán vị của n phần tử ký hiệu là Pn
Pn = n! = n.(n-1).(n-2)…1
Quy ước 0! =1
Ví dụ. Cho A ={a,b,c}. Khi đó A có các hoán vị sau
abc,acb,
bac,bca,
cab,cba
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
II. Giải tích tổ hợp
Ví dụ.
Cho X ={1,2,3,4,5}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm
5 chữ số khác nhau được tạo từ tập X  5!
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
II. Giải tích tổ hợp
2. Chỉnh hợp.
Định nghĩa. Cho A là tập hợp gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k
phần tử (1 k n) sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một
chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Số các chỉnh hợp chập k của n ký hiệu là Ank
- Công thức
n!
A 
 n  k !
k
n
Ví dụ. Cho X ={abc}. Khi đó X có các chỉnh hợp chập 2 của
3 là: ab, ba, ac, ca, bc, cb.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
II. Giải tích tổ hợp
Ví dụ. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được tạo
thành từ 1,2,3,4,5,6.
Kết quả: A63
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
II. Giải tích tổ hợp
3.Tổ hợp.
Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k
phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Số tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là
C
n!
C 
k ! n  k !
k
hay
n
n
 
k 
k
n
Tính chất
TOÁN ỨNG DỤNG
C
nk
n
C
k
n
Cnk  Cnk 1  Cnk1
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
II. Giải tích tổ hợp
Ví dụ. Cho X = {1,2,3,4}. Tổ hợp chập 3 của 4 phần tử của
X là {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4} , {2,3,4}
Một lớp có 30 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 10 bạn
- Số cách chọn là tổ hợp chập 10 của 30.
TOÁN ỨNG DỤNG
10
30
C
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
II. Giải tích tổ hợp
Từ một tập thể gồm 15 nam và 10 nữ, hỏi có bao nhiêu
cách chọn ra một tổ gồm 8 người mỗi trường hợp sau:
a) Không có điều kiện gì thêm.
b) Tổ có 5 nam và 3 nữ.
c) Tổ có số nam nhiều hơn nữ.
d) Tổ có ít nhất một nữ.
d) Tổ trưởng là nữ.
e) Tổ có cả nam lẫn nữ.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
II. Giải tích tổ hợp
Có bao nhiêu byte thỏa điều kiện trong mỗi trường hợp
sau:
a) Không có điều kiện gì thêm.
b) Chứa đúng 3 bit 1.
c) Chứa ít nhất 3 bit 1.
d) Không có hai bít 1 nào gần nhau.
e) Không có ba bít 1 nào gần nhau.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
B. Xác suất
Sự kiện ngẫu nhiên
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
PHÉP THỬ
SỰ KIỆN
Sự kiện cơ bản
Sự kiện chắc chắn
Sự kiện không thể
Sự kiện A hoặc B
Sự kiện đồng thời A và B
Sự kiện A mà không B
Sự kiện xung khắc
Sự kiện đối lập
KHÔNG GIAN MẪU
TOÁN ỨNG DỤNG
NGẪU NHIÊN
Không gian mẫu hữu hạn
Không gian mẫu vô hạn đếm được
Không gian mẫu vô hạn không đếm được
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Rời rạc
Liên tục
HDXB-2009…
Xác suất
PHÉP THỬ
13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
= Một bộ điều kiện xác định (thí nghiệm, quan sát hiện tượng
SỰ KIỆN = Kết quả của Phép Thử  Ký hiệu: A, B,C
Card A = Số phần tử của A
SỰ KIỆN NGẪU NHIÊN = kết quả không đoán trước (tiên đoán) được
KHÔNG GIAN MẪU
=  Sự kiện ngẫu nhiên (có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Ví dụ 2.13:

13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
Tung đồng tiền 1 lần = Phép thử ngẫu nhiên
Không gian mẫu
  (Sap, Ngua)  (0,1)
Card R = cặp (0,1)
Mỗi Sự kiện là 1 điểm của Không gian mẫu
  Sap, Ngua  0,1
TOÁN ỨNG DỤNG
Card R = 2 (0 và 1)
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Ví dụ 2.14:

13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
Tung đồng tiền 2 lần
Không gian mẫu
(0,1)
(1,1)
  (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)
(0,0)
Card R = 4
(1,0)
ĐỒ THỊ
Ví dụ 2.15:

Tung đồng tiền 3 lần
Không gian mẫu ?
Card R = ?
  (0,0,0),(0,0,1)(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Ví dụ 2.16:

13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
Gieo một con xúc xắc
Không gian mẫu
Card R = 6
  1,2,3,4,5,6  w1, w2 , w3 , w4 , w5 , w6
Ví dụ 2.17:
(1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1, 6), 


Gieo 2 con xúc xắc cùng lúc (2, 2), (2,3), (2, 4), (2,5), (2, 6),


(3,3), (3, 4), (3,5), (3, 6),


Không gian mẫu ?   (4, 4), (,5), (4, 6),


Card R = ?
(5,5), (5, 6),



(6, 6)

TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
KHÔNG GIAN MẪU 
=  Sự kiện ngẫu nhiên (có thể có) của Phép thử ngẫu nhiên
 hữu hạn
Card  = hữu hạn
Rời rạc
 vô hạn đếm được
Card  = N (Số tự nhiên)
 vô hạn không đếm được
Liên tục
Card  = Không đếm được
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
SỰ KIỆN = Kết quả của Phép Thử  Ký hiệu: A, B,C
SK ngẫu nhiên = kết quả không đoán trước (tiên đoán) được
SK cơ bản  Card A = 1
SK chắc chắn  Card A = 
SK không thể  Card A = Ø
AB
SK hoặc A hoặc B  HỢP
AB
AB
SK đồng thời A và B 
ĐẠI SỐ SK
(các Quan hệPhép toán SK)
SK A mà không B 
SK xung khắc
SK đối lập
SK tất yếu
AB  
A và A
A A  
Nhóm đđủ các SK (phân hoạch)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
Ai n A j  
A
i 1
HDXB-2009…
Xác suất
Ví dụ 2.18:
13- Sự kiện ngẫu nhiên (tt)
Tung 1 đồng tiền 2 lần. Giả sử:
A: SK có ít nhất 1 mặt sấp (S)
B: SK ngửa (N) ở lần tung thứ 2
C: cả 2 lần đều mặt sấp (S)
A  B   S , N  ,  N , S  ,  N , N  ,  S , S   
A  B  SN B  C  
SK tất yếu
B và C là 2 SK xung khắc
A  B  NS, SS
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Các định nghĩa-khái niệm về xác suất
1/ Định nghĩa cổ điển
Xác suất của A là tỉ số của số kết
quả thích hợp cho A (m) trên số
kết quả đồng khả năng (n) của
phép thử
Xác suất của A
m số trường hợp xảy ra A
P( A ) 

n số trường hợp của không gian mẫu
SK không thể
HỆ QUẢ
SK tất yếu
SK bất kỳ
TOÁN ỨNG DỤNG
0
m  0  P( A )   0
n
n
m  n  P( A )   1
n
n
0  m  n  0  P( A )   1
n
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Ví dụ 2.19:
Các định nghĩa xác suất (tt)
Trong một thùng kín chứa 20 quả cầu giống
nhau.Trong đó có 10 quả màu trắng, 6 màu xanh, còn
lại là màu đỏ. Nếu lấy ngẫu nhiên một quả thì xác suất
rút được .......... là bao nhiêu?
a/ quả trắng?
b/ quả xanh?
c/ quả đỏ?
d/ quả đen?
e/ quả trắng hoặc xanh?
f/ quả trắng hoặc xanh hoặc đỏ?
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Các định nghĩa xác suất (tt)
Ví dụ 2.20: Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt, được
đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10,12 tô màu đỏ; số 2,5,8,11
tô màu xanh; các số còn lại tô màu đen. Tính xác suất để
khi ném nó lên thì xuất hiện:
a/ Mặt màu cam?
b/ Mặt màu đỏ hoặc xanh?
c/ Mặt màu đỏ hoặc xanh hoặc đen?
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4):
Bài tập 4.1:
TOÁN ỨNG DỤNG
Trong một thùng kín chứa 50 viên bi giống nhau.Trong
đó có 25 viên màu xanh, 15 màu đỏ, còn lại là màu cam.
Nếu lấy ngẫu nhiên hai viên cùng lúc thì xác suất rút
được 2 viên bi màu .......... là bao nhiêu?
a/ cùng xanh?
b/ xanh và cam?
c/ cam và đỏ?
d/ khác màu?
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4):
Một hộp đồ chơi đối xứng và đồng chất có 12 mặt,
Bài tập 4.2:
được đánh số từ 1 đến 12. Số 1,4,7,10 tô màu vàng; số
2,5,6,9,12 tô màu nâu; các số còn lại tô màu trắng.
Tính xác suất để khi ném một lần hai hộp đồng thời
lên thì xuất hiện:
a/ 2 mặt màu trắng?
d/ 2 mặt có tổng bằng 10?
b/ 2 mặt cùng màu nâu hoặc vàng?
e/ 2 mặt có hiệu bằng 8?
c/ ít nhất có 1 mặt màu vàng hoặc trắng?
f/ 2 mặt có màu khác nhau?
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Bài tập về nhà DẠNG 4 (Homework-4):
Bài tập 4.3:
Gieo 3 hột xí ngầu (số 1 và 4 sơn màu đỏ: còn lại
sơn màu đen) cùng lúc. Tính số trường hợp có thể
xảy ra khi xuất hiện:
a/ 3 mặt có số giống nhau b/ 3 mặt có số khác nhau
c/ 2 mặt có màu đỏ
e/ Tổng giá trị 3 mặt là 12
TOÁN ỨNG DỤNG
d/ 2 mặt có màu đen
f/ Tổng giá trị 3 mặt là 9
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Hệ đầy đủ các biến cố
Định nghĩa
Nhóm các biến cố A1 , A2 , A3 ,..., An của một phép thử được gọi là một
hệ đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 tính chất:
A1  A2  A3  ...  An 
Ai  Aj 
Ví dụ:
Trong phép thử tung đồng xu, ta đặt biến cố
A1= “xuất hiện mặt sấp”
A2= “xuất hiện mặt ngửa”
P(A1)=P(A2)=0,5
khi đó {A1, A2} là hệ đầy đủ các biến cố
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Ví dụ:
Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào một con thú.
Gọi biến cố Ai=“xạ thủ thứ i bắn trúng thú”, i=1, 2, 3.
Hãy biểu diễn Ai qua các biến cố sau:
a) A= “thú bị trúng đạn”
b) B= “thú không bị trúng đạn”
c) C=“thú bị trúng 3 viên đạn”
d) D= “thú bị trúng 1 viên đạn”
Giải: Ai = “xạ thủ thứ i không bắn trúng thú”
a) A= A1A2A3 (ít nhất 1 viên trúng)
b) B= A  A1  A2  A3  A1  A2  A3 (cả ba xạ thủ đều bắn trượt)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
c) C= A1A2A3 (cả 3 xạ thủ đều cùng bắn trúng thú)
d ) D  ( A1  A2  A3 )  ( A1  A2  A3 )  ( A1  A2  A3 )
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Ví dụ 1:
Một hộp đựng bi gồm có 12 viên bi trắng và 8 viên bi
xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi trong hộp.
a. Xác suất lấy được 1 bi trắng: P (T ) 
12
20
b. Xác suất lấy được 1 bi xanh:
8
20
TOÁN ỨNG DỤNG
P( X ) 
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Ví dụ 2:
Một thùng có 3 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen giống nhau về kích
thước. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu từ thùng đó. Tính xác suất lấy
được:
a) 2 quả cầu màu trắng
b) 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen.
Giải
C32 3
a) A= “lấy được 2 quả cầu trắng” P( A)  2 
C8
28
b) B= “lấy được 1 quả cầu trắng và 1 quả cầu đen”
C31.C51 15
P( B) 

2
C8
28
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Các tính chất cơ bản của xác suất
Giả sử A là một biến cố . Khi đó
1) 0  P( A)  1 và P( A)  1  P( A)
2) Nếu A  B thì
P( A)  P( B)
3) Tính cộng tính:
a. nếu A và B là 2 biến cố xung khắc:
P(A  B)= P(A) + P(B)
b. nếu A và B là 2 biến cố ngẫu nhiên bất kỳ:
P(AB)= P(A) + P(B) – P(AB)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Ví dụ 1:
Một hộp có 10 bi, trong đó có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3
bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 bi đỏ.
Giải. Đặt
A= “lấy được ít nhất 1 bi đỏ”.
Khi đó A = “lấy được 3 bi xanh”
P ( A)  1  P ( A)
C63
 1 3
C10
 0,8333
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Ví dụ 2:
Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi
Toán, 50 sinh viên giỏi Văn, 20 sinh viên giỏi cả Toán lẫn Văn.
Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. Tính xác suất để sinh
viên đó giỏi ít nhất 1 trong 2 môn.
Giải. Đặt T=“sinh viên được chọn giỏi Toán”
V=“sinh viên được chọn giỏi Văn”
Khi đó
TV=“sinh viên được chọn giỏi ít nhất 1 trong 2 môn”
TV=“sinh viên được chọn giỏi cả 2 môn”
P(T  V )  P(T )  P(V )  P(T  V )
40 50 20
7




100 100 100 10
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Ví dụ 3:
Một hộp chứa 5 cầu trắng, 3 cầu xanh và 4 cầu đen cùng
kích thước. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cầu. Tính xác
suất để:
a) Cả 3 cầu cùng màu (A)
b) Có đúng 2 cầu cùng màu (B)
c) Có ít nhất 2 cầu cùng màu (C)
d) Cả 3 cầu khác màu nhau (D)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Giải:
a) Đặt:
At= “3 cầu rút được màu trắng”
Ađ= “3 cầu rút được màu đỏ”
Ax= “3 cầu rút được màu xanh”
Do chỉ rút 1 lần 3 cầu nên
A= At Ađ  Ax
Do At, Ađ, Ax xung khắc nên
P(A)= P(At) + P(Ađ) + P(Ax)
C53  C43  C33 3


3
C12
44
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
b) Bt= trong 3 cầu rút được có 2 cầu trắng
Bđ= trong 3 cầu rút được có 2 cầu đen
Bx= trong 3 cầu rút được có 2 cầu xanh
P(B)= P(Bt)+ P(Bđ)+ P(Bx)
C52 .C71  C42 .C81  C32 .C91 29


3
C12
44
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
c) P(C)= P(B) + P(A)
3 29 32



44 44 44
d) D  C
P  D  1  P C
 1
TOÁN ỨNG DỤNG
32 12

44 44
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất
Xác suất có điều kiện
Công thức đầy đủ
Công thức Bayes
Xác suất có điều kiện
Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A, B. Xác suất của A với điều kiện B,
ký hiệu P( A / B), là xác suất của A được tính sau khi B đã xảy ra.
P( A / B) 
TOÁN ỨNG DỤNG
P( A  B)
P( B)
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
• Ví dụ (xác suất có điều kiện):
Một hộp có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng. Tính xác suất
người thứ hai bốc được vé trúng thưởng, biết rằng người đầu tiên
đã bốc được một vé trúng thưởng. (mỗi người chỉ được bốc 1 vé).
Đặt A=“người thứ nhất bốc được vé trúng thưởng”
B=“người thứ hai bốc được vé trúng thưởng”
Xác suất của B sau khi A đã xảy ra:
P( B / A) 
TOÁN ỨNG DỤNG
2
9
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
•
Ví dụ (xác suất có điều kiện):
Một hộp điều tra về sở thích mua sắm quần áo của dân cư trong
một vùng. Trong số 500 người được điều tra (gồm 240 nam và 260
nữ), có 136 nam và 224 nữ trả lời “thích”.
a) Chọn một người nữ của vùng. Tính xác suất người đó thích mua
sắm.
b) Chọn một người nam của vùng. Tính xác suất người đó thích
mua sắm.
Đặt: A=“người được chọn thích mua sắm”
B=“người được chọn là nữ”
C=“người được chọn là nam”
P( A  B) 224
a) P( A / B) 

P( B)
260
TOÁN ỨNG DỤNG
P( A  C ) 136
b) P ( A / C ) 

P(C )
240
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Công thức nhân xác suất
• Cho A, B là hai biến cố.
P( A  B)  P( A).P( B / A)
• Khi A, B là hai biến cố độc lập
P(AB)= P(A). P(B)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Ví dụ. Một xưởng có 2 máy hoạt động độc lập. Trong một ngày
làm việc, xác suất để hai máy này bị hỏng tương ứng là 0,1;
0,05. Tính xác suất trong một ngày làm việc xưởng có:
a) máy hỏng
b) một máy hỏng
Giải
Đặt Ai=“máy i hỏng trong một ngày làm việc”
a) A=“có máy hỏng”
khi đó
A = “không có máy nào hỏng”
P ( A)  1  P ( A)
 1  P( A1 ).P( A2 )
 1  0,9.0,95  0,145
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
b) B=“có một máy hỏng”
P ( B )  P ( A1  A2 )  P ( A1  A2 )
 P ( A1 ).P ( A2 )  P ( A1 ).P ( A2 )
 0,1.0,95  0,9.0, 05  0,14
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Ví dụ : Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 6% phế phẩm. Kiểm tra
ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm, nếu có ít nhất 1 phế phẩm thì không mua lô
hàng. Tính xác suất lô hàng được mua trong 2 trường hợp: hoàn lại và không
hoàn lại.
Giải. Đặt A= “lô hàng được mua”.
Ai=“lấy được sản phẩm tốt lần thứ i”
a) trường hợp lấy có hoàn lại
P(A)=P(A1A2  A3  A4)=P(A1).P(A2).P(A3).P(A4) (xác suất các lần lấy
độc lập)

94 94 94 94
.
.
.
 0, 781
100 100 100 100
b) trường hợp lấy không hoàn lại
P(A)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1  A2).P(A4/A1  A2  A3)
94 93 92 91

. . .  0, 7777
100 99 98 97
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Công thức xác suất đầy đủ
• Nếu trong một phép thử có biến cố A và một hệ đầy đủ A1, A2,…, An
xảy ra thì ta có công thức xác suất đầy đủ:
P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+… +P(An).P(A/An)
n
  P( Ai ).P( A / Ai )
i 1
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Công thức Bayes
• Công thức Bayes cho ta biết xác suất của các biến cố trong nhóm
đầy đủ thay đổi như thế nào khi một biến cố đã xảy ra.
P ( Ai / A) 
P ( Ai ).P ( A / Ai )
n
 P( A ).P( A / A )
i 1
TOÁN ỨNG DỤNG
i
i
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
• Ví dụ (công thức xác suất đầy đủ)
Một lô sản phẩm gồm hai loại và do hai máy sản xuất ra. Số sản
phẩm do máy I sản xuất là 65% và do máy II sản xuất là 35%. Tỉ lệ
phế phẩm của máy I là 0,02 và của máy II là 0,03. Lấy ngẫu nhiên
một sản phẩm, tính xác suất để lấy được phế phẩm.
Giải. Đặt Ai=“sản phẩm chọn được do máy i sản xuất”
B=“sản phẩm chọn được là phế phẩm”
P(A1)=0,65 ; P(A2)=0,35
đầy đủ
Hệ hai biến cố A1, A2 là một hệ đầy đủ. Theo công thức xác suất
P(B)=P(A1).P(B/A1)+P(A2).P(B/A2)
=0,65.0,02 + 0,35.0,03= 0,0235
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
• Ví dụ (công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes)
Một loại nón bảo hiểm sản xuất trên thị trường xuất phát từ ba
nguồn I, II, III với tỷ lệ thị phần tương ứng là 35%, 40% và 25%. Tỷ
lệ được kiểm định chất lượng tương ứng là 70%, 80% và 90%. Mua
ngẫu nhiên một nón loại này.
a) Tính xác suất để mua được nón đã được kiểm định chất lượng.
b) Giả sử đã mua được nón đã được kiểm định. Tính xác suất để
nón này xuất xứ từ nguồn II.
a) Giải. Đặt A1=“mua được nón từ nguồn I”
A2=“mua được nón từ nguồn II”
A3=“mua được nón từ nguồn III”
A=“mua được nón đã được kiểm định chất lượng”
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
P(A1)=0,35
P(A2)=0,4
P(A3)=0,25
A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ các biến cố.
P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+P(A3).P(A/A3)
=0,35.0,7 + 0,4.0,8 + 0,25.0,9 = 0,79
b) Xác suất để nón này có xuất xứ từ nguồn II:
P( A2 ).P( A / A2 )
P( A2 / A) 
P( A)

TOÁN ỨNG DỤNG
0, 4.0,8
 0, 405
0, 79
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Bài tập
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Bài tập 1:
Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có: 8 học sinh giỏi, 20 học sinh
khá và 12 học sinh trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác
suât để trong 3 học sinh đó có:
a) 1 học sinh trung bình, 1 hsinh khá và 1 hsinh giỏi.
b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Bài tập 2:
Có hai hộp đựng bút chì. Hộp I có 10 bút màu đỏ và 15 bút màu
xanh, hộp II có 8 bút màu đỏ và 9 bút màu xanh. Rút ngẫu nhiên từ
mỗi hộp ra một bút. Tính xác suất sao cho trong hai but lấy ra có:
a) Ít nhất 1 bút màu đỏ.
b) Chỉ có 1 bút màu đỏ.
c) Hai bút có màu giống nhau.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Bài tập 3:
Có hai xe chở hàng độc lập về một xí nghiệp. Xác suất để hai xe
chở hàng về đến xí nghiệp lần lượt là 0,7 và 0,6. Tính xác suất sao
cho:
a) Chỉ có một xe chở hàng về đến xí nghiệp
b) Xí nghiệp nhận được hàng.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Bài tập 4:
Một hộp gồm có 24 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại II. Lấy
ngẫu nhiên lần lượt ra từng sản phẩm kiểm tra (lấy không hoàn lại),
đến khi nào được sản phẩm loại II thì dừng lại. Tìm xác suất để quá
trình kiểm tra kết thúc sau không quá 3 lần lấy.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Bài tập 5:
Một người say mê xổ số cào, người đó mua liên tiếp từng vé xổ cho
đến khi nào được vé trúng thưởng thì dừng. Tìm xác suất sao cho
người đó mua đến vé thứ 4 thì dừng, biết rằng xác suất trúng
thưởng của mỗi lần mua là như nhau và bằng 0,01.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Bài tập 6:
Học kỳ này sinh viên được thi môn Toán ứng dụng 3 lần. Xác suất
để sinh viên thi đậu ở lần thi thứ nhất là 0,5. Nếu thi trượt ở lần thi
thứ nhất thì xác suất thi đỗ ở lần thi thứ hai là 0,7. Còn nếu thi trượt
ở cả hai lần đầu thì xác suất thi đỗ ở lần thi thứ 3 là 0,9. Tìm xác
suất để sinh viên nói trên thi đậu học kỳ này.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Bài tập 7:
Một trường đại học có 52% số sinh viên là nữ, 5% số sinh viên của
trường học Toán và 2% nữ của trường học ngành này. Chọn ngẫu
nhiên một sinh viên của trường. Tìm xác suất:
a) Tìm xác suất sinh viên là nữ, biết rằng sinh viên đó học Toán.
b) Tìm xác suất sinh viên học Toán, biết rằng sinh viên đó là nữ.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Bài tập 8:
Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỷ lệ làm ra chính
phẩm của máy thứ nhất là 0,9; của máy thứ hai là 0,8. Từ một kho
chứa 1/3 số sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy thứ hai),
lấy ra một sản phẩm để kiểm tra.
a) Tính xác suất lấy được phế phẩm.
b) nếu sản phẩm lấy ra không phải là phế phẩm. Tính xác suất để
sản phẩm đó do máy thứ hai sản xuất ra.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Bài tập 9:
Có 2 hộp sản phẩm. Hộp thứ nhất có 12 sản phẩm trong đó có 4
phế phẩm; hộp thứ hai có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm.
a) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một sản phẩm. Tính xác suất để lấy
được ít nhất 1 phế phẩm.
b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm.
Tính xác suất để lấy được phế phẩm.
c)* Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của hộp thứ nhất bỏ qua hộp thứ
hai, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của hộp thứ hai. Tính xác
suất lấy được phế phẩm từ hộp thứ hai.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
Xác suất có điều kiện
Bài tập 10:
Một nhà máy sản xuất giày xuất khẩu làm việc 3 ca: sáng, chiều,
tối, trong đó 40% sản phẩm được sản xuất ca sáng, 40% sản phẩm
được sản xuất ca chiều, 20% sản phẩm được sản xuất ca tối. Tỷ lệ
phế phẩm trong các ca tương ứng là 5%, 10% và 20%. Lấy ngẫu
nhiên 1 sản phẩm để kiểm tra.
a) Tính xác suất để lấy được phế phẩm.
b) Giả sử đã lấy được sản phẩm tốt. Tính xác suất để sản phẩm đó
do ca sáng sản xuất.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 2: TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
HDXB-2009…
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE
137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh
Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304
Kết thúc Chương 2:
TÍNH TOÁN – XÁC SUẤT
CÁM ƠN CÁC EM
ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…