ch4_Phuong phap tinh
Download
Report
Transcript ch4_Phuong phap tinh
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE
137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh
Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304
Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
(Tài liệu cập nhật – 2009)
Chương 4
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Toán ứng dụng
Chg 4:
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
1. Số xấp xỉ và sai số
1.1 Số xấp xỉ
1.2 Sai số tuyệt đối
1.3 Sai số tương đối
2. Giải gần đúng các ph/trình
3. Giải hệ thống phương trình
(HTPT) đại số tuyến tính
4. Nội suy và bình phương
cực tiểu
5. Tính gần đúng đạo hàm
và tích phân xác định
TOÁN ỨNG DỤNG
2.1 Nghiệm của phương trình
2.2 Phương pháp dây cung
2.3 Phương pháp tiếp tuyến (Newton)
2.4 Phương pháp phối hợp
3.1 Kh/niệm về bài toán HTPT
3.2 Phương pháp trực tiếp Gauss
4.1 Đa thức nội suy
4.2 Tính giá trị của đa thức: Sơ đồ Hoocne
4.3 Đa thức nội suy Lagrange
4.4 Phương pháp bình phương cực tiểu
5.1 Tính gần đúng đạo hàm
5.2 Tính gần đúng tích phân xác định
5.3 Công thức hình thang
5.4 Công thức Simpson
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
Chương 4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH
1. SỐ XẤP XỈ & SAI SỐ
1.1 Số xấp xỉ
(số đúng – số gần đúng)
1.2 Sai số tuyệt đối;
Sai số tuyệt đối giới hạn
1.3 Sai số tương đối;
Sai số tương đối giới hạn
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI
Sai số tuyệt đối của a:
Ví dụ 4.3
a A a
Số đúng A = = 3,1415 (tính 4 số lẻ)
Số xấp xỉ thiếu: a = 3,14 a = 3,1400
Sai số tuyệt đối của a:
= 3,1415 - 3,1400 = 0,0015
Ví dụ 4.4
Số đúng A = = 3,141 (3 lẻ)
Số xấp xỉ thừa: b = 3,15 b = 3,150
Sai số tuyệt đối của b:
= 3,141 - 3,150 = 0,009
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI (tt) 1. SỐ XẤP XỈ & SAI SỐ
Ví dụ 4.5
Số đúng A = 3, với
Số xấp xỉ : a = 9,42
= 3,1415
(tính 4 số lẻ)
và b = 9,43
Tính sai số tuyệt đối của a và b theo A?
Ví dụ 4.6
Số đúng B = 16/3 (tính 5 số lẻ)
Số xấp xỉ : c = 5,333 và d = 5,334
Tính sai số tuyệt đối của c và d theo B?
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI (tt) SAI
SỐ TUYỆT ĐỐI GiỚI HẠN
Trong thực tế ta không biết được số đúng A, do đó nói chung sai số tuyệt
đối không tính được. Vì vậy ta tìm cách ước lượng sai số tuyệt đối của a
bằng số a >0 sao cho
| a - A | ≤ a 0 (*)
Số dương a được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn của a.
Rõ ràng nếu a là sai số tuyệt đối giới hạn của a thì mọi E > a đều là
sai số tuyệt đối giới hạn của a.
Trong những điều kiện cụ thể người ta cố gắng chọn a là số dương bé
nhất có thể được thoã mãn (*). Nếu a là sai số tuyệt đối giới hạn của a
khi xấp xỉ A thì ta quy ước viết:
A = a ± a
tức là
a - a ≤ A ≤ a + a
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI (tt) SAI
SỐ TUYỆT ĐỐI GiỚI HẠN (tt)
Ví dụ 4.7
Sai số tuyệt đối giới hạn (6.2)
GIẢI:
= a = A - a a
a
Trong nhiều
TOÁN ỨNG DỤNG
ai Chọn a min chính xác !!
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
1.2 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI (tt)
Ví dụ 4.8 Một mảnh đất hình chữ nhất có chiều dài d=15,45m và chiều rộng
r=3,94m với sai số 1cm. Khi đó ta hiểu là:
Δd = 0,01m hay d = 15,45m ± 0,01m
Δr = 0,01m hay r = 3,94m ± 0,01m
Khi đó diện tích của mảnh đất được tính là:
S=d.r = 15,45 . 3,94 m = 60,873 m2
với cận trên là
(15,45+0,01) .(3,94+0,01) = 61,067 m2
và cận dưới là
(15,45-0,01) (3,94-0,01) = 60,679m2
hay
60,679 ≤ S ≤ 61,067
Vậy ước lượng sai số tuyệt đối của S là:
| S-S0| ≤0,388 m2
hay làm tròn 0,4 m2 .
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
1.3 SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI (tt)
Ví dụ 4.10 Số đúng A = 3, với = 3,1415 (tính 4 số lẻ)
Số xấp xỉ : a = 9,42 và b = 9,43
Tính sai số tương đối của a và b theo A?
Ví dụ 4.11
TOÁN ỨNG DỤNG
Số đúng B = 16/3 (tính 5 số lẻ)
Số xấp xỉ : c = 5,333 và d = 5,334
Tính sai số tương đối của c và d theo B?
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
1.3 SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI (tt)
Ví dụ 4.12
Đoạn đường từ A đến B dài khoảng 26km.
Từ B đến C chỉ bằng 1/3 khoảng cách trên.
SV-1 nói rằng khoảng cách BC là 8,67km.
SV-2 lại nói khoảng cách BC là 8,66km.
Tính sai số tương đối của đoạn đường BC theo
AB mà 2 SV đã tính với độ chính xác 0,0001?
Ví dụ 4.13
Khi tính diện tích hình tròn có đường kính 6m.
SV-1 cho đáp số là 9,43m2.
SV-2 lại cho đáp số là 9,42m2
Tính sai số tương đối của 2 đáp án trên với
độ chính xác 3 số?
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
1.3 SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI (tt) SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI GiỚI HẠN (tt)
Ví dụ 4.15
Ví dụ 4.16
TOÁN ỨNG DỤNG
Số đúng A = 3, với = 3,1415 (tính 4 số lẻ)
Số xấp xỉ : a = 9,42 và b = 9,43
Tính sai số tương đối giới hạn của a và b theo A?
Số đúng B = 16/3 (tính 5 số lẻ)
Số xấp xỉ : c = 5,333 và d = 5,334
Tính sai số tương đối giới hạn của c và d theo B?
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
Bài tập về nhà DẠNG 6 (Homework-6):
Số đúng A = 4, với = 3,1415 (tính 4 số lẻ)
Số xấp xỉ : a = 12,565 , b = 12,566, c = 12,567 và d = 12,568
Bài 6.1:
Tính:
a/ Biểu diễn số đúng A qua a, a, δa
b/ Biểu diễn số đúng A qua b, b, δb
c/ Biểu diễn số đúng A qua c, c, δc
d/ Biểu diễn số đúng A qua d, d, δd
e/ Chọn giá trị gần đúng nhất từ a, b, c , d so với số đúng A.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
Bài tập về nhà DẠNG 6 (Homework-6):
Bài 6.2: Đoạn đường từ X đến Z dài khoảng 26km.
Từ X đến Y (A km) chỉ bằng 1/3 khoảng cách trên.
SV-1 nói rằng khoảng cách BC là a = 8,64km.
SV-2 ..............................................b = 8,65km
SV-3 .............. ...............................c = 8,66km.
SV-4 ..............................................d = 8,67km
Tính: a/ Biểu diễn số đúng A qua a, a, δa
b/ Biểu diễn số đúng A qua b, b, δb
(tính 4 số lẻ)
c/ Biểu diễn số đúng A qua c, c, δc
d/ Biểu diễn số đúng A qua d, d, δd
e/ So sánh độ chính xác giảm dần giữa a, b, c , d so với số đúng A.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
Bài tập về nhà DẠNG 6 (Homework-6):
Bài 6.3:
Khi tính diện tích hình tròn có đường kính 6m.
SV-1 cho đáp số là a = 9,420m2.
SV-2 ........................b = 9,425m2
SV-3 ........................c = 9,430m2.
SV-4 ........................d = 9,435m2
Tính: a/ Biểu diễn số đúng A qua a, a, δa
b/ Biểu diễn số đúng A qua b, b, δb
(tính 4 số lẻ)
c/ Biểu diễn số đúng A qua c, c, δc
d/ Biểu diễn số đúng A qua d, d, δd
e/ So sánh độ chính xác tăng dần giữa a, b, c , d so với số đúng A.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
2. GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH
2.1 Nghiệm của phương trình
2.2 Phương pháp dây cung
2.3 Phương pháp tiếp tuyến (Newton)
2.4 Phương pháp phối hợp
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
2.1 Nghiệm của phương trình (tt)
Đồ thị của phương trình y = f(x)
nghiệm của pt f(x) =0 là giao điểm của đồ thị với trục Ox
Pt f(x)=0 có duy nhất một nghiệm trên (a, b) nếu thỏa 3 điểu kiện sau
1- f(a) khác dấu f(b) f(a).f(b) < 0
2- Đạo hàm cấp một f’(x) không đổi dấu trong (a,b)
3- Đạo hàm cấp hai f’’(x) không đổi dấu trong (a,b)
Không có điểm uốn
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
2.2 PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG
y
Ví dụ 4.17
B
Cho pt f(x)=0, [a0,b0] là khoảng cách ly
nghiệm (miền nghiệm-MN).
Tìm nghiệm gần đúng ai trong (a0,b0)
ai (a0 , b0 )
a0
a1
a2 a 3
b0
x
x0
A
Ph.trình dây cung đi qua đường thẳng AB dạng: y = f(x) =ax+b
NGHIỆM ĐÚNG của ph/trình y = f(x) là X0
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
26- PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (tt)
Trình tự xác định nghiệm gần đúng
bằng PPDC: (P/t dây cung đi qua đường
thẳng AB dạng: y = f(x) =ax+b)
Lần 1: 1.1- Chọn MN ban đầu
an xn x0 xn x0
x0 (a0 , b0 )
1.2- Nối 2 điểm A và B trên đồ thị,
1.3- AB cắt trục hoành tại điểm có hoành độ: ,
a1 x0
x0 (a1, b0 ) (a0 , b0 )
2.2 Nối C với B ta lại tìm được một điểm mới: a2 x0
Lần 2: 2.1-Chọn MN mới:
….. Lặp lại liên tục nhiều lần
Lần n: Dừng ở bước n ta thu được nghiệm xấp xỉ
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
an xn () x0
HDXB-2009…
26- PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (tt)
Ta có: pt qua dây cung AB
Tam giác đồng dạng
y f ( xo )
x xo
f (ai ) f ( xo ) ai xo
ai = x i
Lặp lại nhiều lần NGHIỆM càng chính xác
xn x0
d x n 1
x n x n 1
f ( x n 1 )
f (d) f (xn1 )
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
2.2 PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (tt)
Ví dụ 4.18
GiẢI
TOÁN ỨNG DỤNG
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương
PHƯƠNG
PHÁP TÍNH
4.2 GIẢI
GẦN4:
ĐÚNG
CÁC PHƯƠNG
TRÌNH
HDXB-2009…
HDXB-2009…
2.2 PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (tt)
xn F( xn 1 )
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
TÓM TẮT CÁCH TÌM NGHIỆM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH F(X)=0
Bước 1. Tìm khoảng phân ly nghiệm (a, b) thỏa các tính chất:
- f(a)f(b)<0
- f’(x) không đổi dấu trên đoạn (a,b)
- f’’(x) không đổi dấu trên đoạn (a,b)
Bước 2. Tìm điểm ban đầu x0 thỏa tính chất f(x0)f’’(x0)<0.
Điểm cố định d thỏa tính chất f(d)f’’(d)>0
Bước 3. Lập các bước tìm nghiệm. Áp dụng công thức:
d x n 1
x n x n 1
f ( x n 1 )
f (d) f (xn1 )
Ví dụ: Tìm nghiệm đúng của phương trình
f(x)=x3-6x+2=0
Tách nghiệm: bằng phương pháp khảo sát hàm số y= x3-6x+2 ta suy ra
các đoạn [-3,-2],[0,1],[2,3] chứa nghiệm của pt.
f’(x)=3x2-6
f’’(x)=6x
Ta tìm nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng [2,3]
2.3 PHƯƠNG PHÁP TiẾP TUYẾN (Newton)
Ví dụ 4.19
Cho pt f(x)=0, [a,b] là khoảng cách ly nghiệm (miền nghiệm-MN).
Tìm nghiệm gần đúng ai trong (a0,b0)
TOÁN ỨNG DỤNG
ai (a0 , b0 )
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
2.3 PHƯƠNG PHÁP TiẾP TUYẾN (Newton)---(tt)
y
Ví dụ 4.19
B
ai (a0 , b0 )
x0
a0
A
b0
a3
a2
x
a1
Ph.trình tiếp tuyến đi qua đường thẳng AB dạng: y = f(x) =ax+b
NGHIỆM ĐÚNG của ph/trình y = f(x) là X0
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
27- PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN (Newton)---(tt)
Trình tự xác định nghiệm gần đúng
bằng PPTT: (P/t TT đi qua đường thẳng
AB dạng: y = f(x) =ax+b)
an xn x0 xn x0
x0 (a0 , b0 )
Lần 1: 1.1- Chọn MN ban đầu
1.2- Từ điểm B trên đồ thị vẽ tiếp tuyến,
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
Lần 2: 2.1-Chọn MN mới:
a1 x0
x0 (a1, b0 ) (a0 , b0 )
2.2 Tiếp tục vẽ tiếp tuyến
a2 x0
….. Lặp lại liên tục nhiều lần
Lần n: Dừng ở bước n ta thu được nghiệm xấp xỉ
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
an xn () x0
HDXB-2009…
27- PHƯƠNG PHÁP TiẾP TUYẾN (Newton)—(tt)
Phương tình tiếp tuyến tại x0 là:
y f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 )
'
x1 là hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành. Suy ra x1 là
nghiệm của phương trình
'
0
0
0
0 f ( x )( x x ) f ( x )
f ( x0 )
x1 x0 '
f ( x0 )
f ( x1 )
x2 x1 '
f ( x1 )
f ( xn 1 )
xn xn 1 '
f ( xn 1 )
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
2.3 PHƯƠNG PHÁP TiẾP TUYẾN (Newton)—(tt)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
2.3 PHƯƠNG PHÁP TiẾP TUYẾN (Newton)—(tt)
Ví dụ 4.20
GiẢI
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
2.3 PHƯƠNG PHÁP TiẾP TUYẾN (Newton)—(tt)
1
1
1
1
27
x2
0,3398
17
3
3 9.17
3
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
TÓM TẮT CÁCH TÌM NGHIỆM BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG CỦA
PHƯƠNG TRÌNH F(X)=0
Bước 1. Tìm khoảng phân ly nghiệm (a, b) thỏa các tính chất:
- f(a)f(b)<0
- f’(x) không đổi dấu trên đoạn (a,b)
- f’’(x) không đổi dấu trên đoạn (a,b)
Bước 2. Tìm điểm ban đầu x0 thỏa tính chất f(x0)f’’(x0)>0.
Bước 3. Lập các bước tìm nghiệm. Áp dụng công thức:
f ( xn 1 )
xn xn 1 '
f ( xn 1 )
Ví dụ: Tìm nghiệm đúng của phương trình
f(x)=x3-6x+2=0
Tách nghiệm: bằng phương pháp khảo sát hàm số y= x3-6x+2 ta suy ra
các đoạn [-3,-2],[0,1],[2,3] chứa nghiệm của pt.
f’(x)=3x2-6
f’’(x)=6x
Ta tìm nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng (0,1)
2.4 PHƯƠNG PHÁP PHỐI HỢP
TOÁN ỨNG DỤNG
2. GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH
HDXB-2009…
2.4 PHƯƠNG PHÁP PHỐI HỢP (tt)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.1 Ma trận bậc thang
3.2 Giải hệ phương trình bằng phương pháp
Gauss
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
3.1 Ma trận bậc thang
Có 3 phép biến đổi sơ cấp trên dòng
1. Nhân một dòng tùy ý với một số khác không
hi hi ; 0
2. Cộng vào một dòng một dòng khác đã được nhân với
một số tùy ý
hi hi h j ;
3. Hoán vị hai dòng tùy ý
hi h j
36
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.1 Ma trận bậc thang
Phần tử khác không đầu tiên của một dòng kể từ
bên trái được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.
Phần tử cơ sở
1 0 3
0 1 2
0 0 0
Không là phần tử cơ sở
Dòng không có phần tử cơ sở
Ma trận được gọi là dạng bậc thang nếu
1. dòng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì
nằm dưới cùng
2. Phần tử cơ sở của dòng dưới nằm bên phải
(không cùng cột) so với phần tử cơ sở của
dòng trên.
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
37
3.1 Ma trận bậc thang
2
0
A
0
0
1 0 3 2
0 7 2
6
4 1 2 5
0 0 0
0 45
2 1 1 2
B 0 0 0 3
0 0 0 5
Không là ma
trận bậc
thang
Không là ma
trận bậc thang
38
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.1 Ma trận bậc thang
Ví dụ
1
0
A
0
0
3 0 2 2 Là ma trận dạng
bậc thang
0 7 1
4
0 0 2 5
0 0 0
0 45
1 2 0 2
B 0 0 1 3
0 0 0 7
Là ma trận
dạng bậc thang
39
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.1 Ma trận bậc thang
Định lý 1
Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc
thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với
dòng.
Chú ý
Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với dòng
ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH40ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.1 Ma trận bậc thang
Ví dụ
Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với dòng đưa
ma trận sau đây về ma trận dạng bậc thang.
1 1 1 2 1
2 3 1 4 5
3 2 3 7 4
1 1 2 3 1
41
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.1 Ma trận bậc thang
Bước 1. Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên
trái. Chọn phần tử khác không tùy ý làm phần tử
cơ sở.
1 1 1 2 1
2 3 1 4 5
3 2 3 7 4
1 1 2 3 1
Bước 2. Dùng bđsc đối với dòng, khử tất cả các phần
tử còn lại của cột.
1 1 1 2 1
1 1 1 2 1
h2 h2 2h1
2 3 1 4 5
0 1 1 0 3
h
h
3
h
3
3
1
A
h
h
h
4
4
1
3
2
3
7
4
0 1 0 1 1
1 1 2 3 1
0 2 1 1 2
42
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.1 Ma trận bậc thang
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận sau
1 2 1 1
A 2 4 2 2
3 6 3 4
Giải.
1 2 1 1
1 2 1 1
h2 h2 2 h1
0 0 0 0
A 2 4 2 2
h3 h3 3h1
3 6 3 4
0 0 0 1
1 2 1 1
h2 h3
0 0 0 1
r (A ) 2
0 0 0 0
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
43
3.1 Ma trận bậc thang
Bài tập!
1. Sử dụng biến đổi sơ cấp, tìm hạng của ma trận
sau
1 2 3 3
A 2 4 6 9
2 6 7 6
2. Tìm hạng của ma trận sau
2 3 1 4
B 3 4 2 9
2 0 1 3
44
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
x 2y
2 x 4 y
x 2y
z
2t
2
z
3t
1
z
t
4
45
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính.
Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương
trình, n ẩn có dạng:
a11x1 a12 x2
a x a x
21 1
22 2
am1x1 am 2 x2
a1n xn
a2 n xn
b1
b2
amn xm
bm
a11, a12, …, amn được gọi là hệ số của hệ phương
trình.
b1, b2, …, bm được gọi là hệ số tự do của hệ
phương trình.
46
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận hệ số
Ma trận mở rộng
a11 ... a1 j
A ai1 ... aij
a
m1 ... amj
a11 ... a1 j
ai1 ... aij
a
m1 ... amj
... a1n
... ain
... amn
... a1n b1
b2
... ain ...
...
... amn bn
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
47
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa hệ thuần nhất.
Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất
nếu tất cả các hệ số tự do b1, b2, …, bm đều bằng
0.
Định nghĩa hệ không thuần nhất.
Hệ phương trình tuyến tính được gọi là không
thuần nhất nếu ít nhất một trong các hệ số tự do
b1, b2, …, bm khác 0.
Nghiệm của hệ là một bộ n số c1, c2, …, cn sao
cho khi thay vào từng phương trình của hệ ta
được những đẳng thức đúng.
48
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Một hệ phương trình tuyến tính có thể:
Hệ không tương thích
1. vô nghiệm,
2. có duy nhất một nghiệm
Hệ tương thích
3. Có vô số nghiệm
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương
nếu chúng cùng chung một tập nghiệm.
Để giải hệ phương trình ta dùng các phép
biến đổi hệ về hệ tương đương, mà hệ này
giải đơn giản hơn.
49
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa phép biến đổi tương đương
Một phép biến đổi được gọi là tương đương nếu
biến một hệ phương trình về một hệ tương
đương.
Có 3 phép biến đổi tương đương đối với hệ
phương trình :
1. Nhân hai vế của phương trình với một số khác
không.
2. Cộng vào một phương trình một phương trình
khác đã được nhân với một số tùy ý.
3. Đổi chổ hai phương trình.
Chú ý: Chúng ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng
các phép biến đổi trên là các phép biến đổi
tương đương.
50
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Xét hệ phương trình tuyến tính
a11 x1
a x
21 1
am1 x1
a12 x2
a22 x2
am 2 x2
Khi đó,
a1n xn
a2 n xn
amn xm
b1
b2
bm
a11
a
A 21
...
am1
a12
a22
...
am 2
...
...
...
...
a1n
a2 n
... được gọi là ma trận hệ số
amn
a11
a
( A | b) 21
...
am1
a12
a22
...
am 2
...
...
...
...
a1n
a2 n
...
amn
b1
b2 được gọi là ma trận hệ
... số mở rộng
bm
51
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
0
x y
Giải hệ phương trình: 2 x y 3 z 3
x 2y z 3
Ma trận hệ số:
1 1 0
2 1 3
1 2 1
Ma trận mở rộng:
1 1 0 0
2 1 3 3
1 2 1 3
52
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
1 1 0 0
1 1 0 0
0 3 3 3
d d 2 d
2 1 3 3
d d d
0 3 1 3
1 2 1 3
2
2
3
x
y
3
3
1
z
1 1 0 0
d d d
0 3 3 3
0 0 4 0
3
1
2
x=1
y=-1
Z=0
53
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa ẩn cơ sở và ẩn tự do.
Ẩn cơ sở là ẩn tương ứng với cột chứa phần tử cơ sở.
Ẩn tự do là tương ứng với cột không có phần tử cơ sở.
1 1 1 2 1
2 2 3 5 6 BĐSC Dòng
3 3 4 1 1
1 1 1 2 1
0 0 1 1 4
0 0 0 6 8
x1, x3, x4: là các ẩn cơ sở
x2: ẩn tự do
54
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với dòng để giải hệ
1. Lập ra ma trận mở rộng A ( A | b)
2. Dùng biến đổi sơ cấp đối với dòng đưa ma
trận mở rộng về ma trận dạng bậc thang.
Kiểm tra hệ có nghiệm hay không.
3. Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc
thang
4. Giải hệ phương trình ngược từ dưới lên, tìm ẩn
xn, sau đó xn-1,… ., x1.
55
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ
Giải các hệ phương trình sau đây với các ma trận
mở rộng cho trước.
1 5 2 6
a. 0 4 7 2 ,
0 0 5 0
1 1 1 3
b. 0 1 2 4 ,
0 0 0 5
1 1 1 0
c. 0 1 2 5 ,
0 0 0 0
1 1 1 0
c. 0 3 1 0 .
0 0 0 0
56
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ
Giải hệ phương trình:
x 5 y 2z 1
x 4 y z 6
x 3 y 3z 9
57
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ
Giải hệ phương trình
y z 3
3x 5 y 9 z 2
x 2 y 3z 3
58
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình
3x2
3x1 7 x2
3x 9 x
1
2
ẩn cơ sở: x1 , x2 , x5
6 x3
6 x4
4 x5 5
8 x3
5 x4
8 x5
12 x3 9 x4
6 x5
15
ẩn tự do:
x1
x
2
Nghiệm tổng quát: x3
x
4
x5
9
x3 , x4
24 2 3
7 2 2
4
59
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma
trận mở rộng
1 1 1 1
2 3 4 1
3 4 2 1
60
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ
Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình.
x1 2 x2
2 x1 4 x2
3x 6 x
1
2
x3
2 x4
0
x3
3x4
0
x3
4 x4
0
61
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
3.2 Hệ phương trình tuyến tính
Bài tập!
Giữa những nghiệm của hệ
x 2y z 0
2 x 4 y z 0
x 2y z 0
tìm nghiệm thỏa biểu thức y – xy = 2z
62
3. GIẢI HỆ THỐNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
4. NỘI SUY & BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU
4.1 Đa thức nội suy
4.2 Tính giá trị của đa thức: Sơ đồ Hoocne
4.3 Đa thức nội suy Lagrange
4.4 Phương pháp bình phương cực tiểu
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.1 ĐA THỨC NỘI SUY
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.1 Đa thức nội suy (tt)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.1 Đa thức nội suy (tt)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.1 Đa thức nội suy (tt)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.2 Tính giá trị của đa thức: Sơ đồ Hoocne (tt)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.2 Tính giá trị của đa thức: Sơ đồ Hoocne (tt)
Ví dụ 4.15
a/ Trực tiếp:
Dùng 3 cách khác nhau để tính giá trị P3(x),
x=3
P3(3) = 3.33 + 2.32 + 5.3 +7 = 91
b/ Tính theo Sơ đồ Hoocne:
c/ Tính theo hàng kết hợp:
P3 (3) ((3.3 2)3 5)3 7
11
28
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
91
HDXB-2009…
Bài tập về nhà DẠNG 8 (Homework-8):
Dùng 3 cách khác nhau để tính giá trị Pn(x):
Bài 8.1
Px(a) = 3x3 - 2x2 + 5x - 4 ; a=2
Bài 8.2
Px(b) = 2x4 - 3x3 + 5x + 7 ; b=3
Bài 8.3
Px(c) = 2x5 - 4x3 + 3x2 - 8 ; c=2
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
Bài tập về nhà DẠNG 8 (Homework-8):
Dùng 3 cách khác nhau để tính giá trị Pn(x):
Bài 8.4
Px(d) = 3x6 - 2x5 + 3x3 + 4x - 5 ; d=2
Bài 8.5
Px(e) = 2x7 + 4x5 - 3x3 + 2x + 6 ; e=3
Bài 8.6
Px(g) = 3x8 - 2x5 - 4x3 + 3x2 - 8 ; g=2
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.3 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.3 Đa thức nội suy Lagrange (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.3 Đa thức nội suy Lagrange (tt)
Tham khảo Seminars
(x x0 )(x x1 )(x x 2 )...(x xn )
L n ( x)
yi
i 0 ( x i x 0 )(x i x1 )(x i x 2 )...(x i xn )
n
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.3 Đa thức nội suy Lagrange (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.3 Đa thức nội suy Lagrange (tt)
Tham khảo Seminars
n
L n ( x)
(x x j )(x x j1 )
y i ; ( j 0 n)
i 0 ( x i x j )(x i x j1 )
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.3 Đa thức nội suy Lagrange (tt)
Tham khảo
Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.3 Đa thức nội suy Lagrange (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.3 Đa thức nội suy Lagrange (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 PHƯƠNG PHÁP BÌNHPHƯƠNG CỰC TiỂU
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 Ph/pháp bình phương cực tiểu (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 Ph/pháp bình phương cực tiểu (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 Ph/pháp bình phương cực tiểu (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 Ph/pháp bình phương cực tiểu (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 Ph/pháp bình phương cực tiểu (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 Ph/pháp bình phương cực tiểu (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 Ph/pháp bình phương cực tiểu (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 Ph/pháp bình phương cực tiểu (tt)
Tham khảo Seminars
Tìm mô hình biểu diễn y=f(x1,x2) trên cơ sở bảng thực nghiệm sau (n=6):
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 Ph/pháp bình phương cực tiểu (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 Ph/pháp bình phương cực tiểu (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 Ph/pháp bình phương cực tiểu (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
4.4 Ph/pháp bình phương cực tiểu (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.1 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.1 Tính gần đúng đạo hàm (tt)
Công thức tính gần đúng đạo hàm cấp một
a/ Trường hợp 2 nút nội suy: x0 và x1
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.1 Tính gần đúng đạo hàm (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.1 Tính gần đúng đạo hàm (tt)
Tham khảo Seminars
b/ Trường hợp 3 nút nội suy: x0, x1và x2
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.1 Tính gần đúng đạo hàm (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.1 Tính gần đúng đạo hàm (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.2 TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Tham khảo Seminars
F ' ( x) f ( x)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.3 C/THỨC HÌNH THANG ...
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.3 Công thức hình thang & sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.3 Công thức hình thang & sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.3 Công thức hình thang & sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.3 Công thức hình thang & sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
C/thức hình thang tổng quát & sai số
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
C/thức hình thang tổng quát & sai số
TOÁN ỨNG DỤNG
Tham khảo Seminars
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.4 CÔNG THỨC SIMPSON và SAI SỐ
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.4 C/thức Simpson và sai số (tt)
Tham khảo Seminars
Công thức Simpson
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.4 C/thức Simpson và sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.4 C/thức Simpson và sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.4 C/thức Simpson và sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
5.4 C/thức Simpson và sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
C/thức Simpson tổng quát & sai số
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
C/thức Simpson t/ quát & sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
C/thức Simpson t/quát & sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
C/thức Simpson t/quát & sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
C/thức Simpson t/quát & sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
C/thức Simpson t/quát & sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
C/thức Simpson t/quát & sai số (tt)
Tham khảo Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE
137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh
Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304
Kết thúc Chương 4:
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
CÁM ƠN CÁC EM
ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 5: ĐẠI SỐ BOOLE
HDXB-2009…