Transcript Thể tích vật tròn xoay

B

P
1B
V  Πℌόɱ ƺ
Những vật thể trên người ta gọi là những
vật thể tròn xoay.
Vậy thế nào là vật thể tròn xoay ?
Vật tròn xoay là vật được tạo ra khi ta
quay một hình phẳng xung quanh một trục
cố định nào đó.
Khối tròn xoay là phần không gian giới
hạn bởi mặt tròn xoay.
ĐẶT VẤN ĐỀ
Chúng ta đã biết công thức tính thể tích
của một số vật thể tròn xoay.
Chẳng hạn để tính thể tích của khối
cầu có bán kính R,ta đã biết công thức:
4
V  R 3
3
Nhưng trong thực tế có nhiều vật thể tròn xoay có hình dạng
phức tạp. Câu hỏi đặt ra: Có phương pháp nào chung để tính
thể tích của chúng hay không?
Sau đây,chúng tôi xin trình bày:Phương pháp
sử dụng tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay.
I- Thể tích vật thể
Công thức tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai
mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt
tại x = a, x = b (a<b)
P
Q
S(x)
O
b
V =  S(x)dx
a
b
a
x
x
Trong đó S(x) là diện tích thiết
diện vuông góc với trục ox tại
điểm x (a ≤ x ≤ b)
II –Thể tích khối tròn xoay:
1. Nhắc lại khái niệm mặt tròn xoay, khối tròn xoay:
Vật tròn xoay là vật được tạo ra khi ta quay một
hình phẳng xung quanh một trục cố định nào đó.
Khối tròn xoay là phần không gian giới hạn bởi mặt
tròn xoay.
Ví dụ :
Hình nón sau là một
vật tròn xoay
được tạo ra bằng cách
quay mặt phẳng OAC
quanh trục OA.
0
III –Thể tích khối tròn xoay:
1- Bài toán
Một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x),
trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a<b) quay
xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay. Hãy
tính thể tích V của nó.
Nhận xét: Nếu cắt khối tròn xoay bằng một mặt phẳng
vuông góc với trục của nó, thì thiết diện thu được là một
hình tròn có bán kính phụ thuộc vào vị trí cắt.
2- Thiết lập công thức:
y
y=f(x)
a
x
o
b
x
Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng
vuông góc với trục
Ox
tại x a; b là hình tròn có
bán kính bằng f(x)  S(x) =  f 2 (x)
b
 V = π  f 2(x)dx (6)
a
*Chú ý: Trong trường hợp hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), trục Oy và hai đường
thẳng y = a, y = b (a<b) quay xung quanh trục Oy cũng
tạo thành một khối tròn xoay .Khi đó, thể tích V cũng
được tính bởi công thức:
y
b
b
x=f(y)
V    f ( y )dy
2
y
a
o
x
3-Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Tính thể tích hình cầu tâm O, bán kính R.
Lời giải:
Đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và có
bán kính bằng R có phương trình
x2+y2=R2. Nếu cho nửa hình tròn giới
hạn bởi đường
và
đường thẳng y = 0 quay xung quanh trục
Ox thì ta thu được khối cầu cần tính thể
tích. Theo công thức (6) ta có:
Ví dụ 2: Cho hình phẳng giới hạn
bởi đường y = sinx, trục hoành và hai
đường thẳng x = 0, x =
. Tính thể
tích khối tròn xoay thu được khi quay
hình này xung quanh trục Ox.
Lời giải: Áp dụng công thức (6), ta có:
Ví dụ 3: Cho hình phẳng
giới hạn bởi x = R,y =0, y =h
và trục Oy (R,h>0).Tính thể
tích vật thể khi quay hình
phẳng quanh trục Oy.
y
h
-R
O
R
x
Bài giải: Áp dụng công thức (6) ta có:
h
V    R dy  R y  R h
2
2
h
0
0
2
-Công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình thang cong
giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, đường thẳng x = a, x = b
quay quanh trục Ox.
b
V = π f 2(x)dx
a
-Công thức tính thể tích khối tròn xoay sinh ra do hình thang cong
giới hạn bởi đường x = g(y), trục Oy, đường thẳng y = a, y = b quay
quanh trục Oy.
b
V = π g 2(y)dy
a
N
h
ó
m
3