Transcript TOÁN ỨNG DỤNG Chương 3: MA TRẬN HDXB

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE
137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh
Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304
Bài giảng TOÁN ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC
(Tài liệu cập nhật – 2009)
Chương 3
MA TRẬN
hdxb_2009
A. MA TRẬN
§1. Ma trận
- Khái niệm ma trận
- Ma trận vuông
- Các phép toán trên ma trận
2
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
1. Khái niệm ma trận
• Định nghĩa ma trận:
Ma trận cấp mxn là bảng số thực hình chữ nhật có m dòng
và n cột .
Cột j
 a11 ... a1 j


A   ai1 ... aij


a
 m1 ... amj
... a1n 


... ain 


... amn 
Dòng i
3
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
1. Khái niệm ma trận
Ví dụ 1.

1
4

2
A
02 5

A là ma trận thực cấp 2x3 gồm 2 dòng và 3 cột
Phần tử của A:
Ví dụ 2
a11  1; a12  4; a13  2; a21  0; a22  2; a23  5
 1 2 1 


A   3 3 2 
5 1 4 


4
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
1. Khái niệm ma trận
Ma trận A có m dòng và n cột thường được ký hiệu bởi
A  aij 
mn
Tập hợp tất cả các ma trận cấp mxn được ký hiệu là Mm n(R)
x
Định nghĩa ma trận không
Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận
không, ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j).
 0 0 0
A

 0 0 0
5
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
2. Ma trận vuông
Định nghĩa ma trận vuông
Nếu số dòng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì
A được gọi là ma trận vuông cấp n.
 2 1
A

3 2 
Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu bởi Mn(R)
6
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
2. Ma trận vuông
Các phần tử a11, a22,…,ann tạo nên đường chéo
chính của ma trận vuông A.
 2 3
 3 4

 2 1
 2 1

1 1
0 5

3 7
6 8 
Ma trận đường chéo là ma trận có các phần tử nằm ngoài
đường chéo chính bằng 0. Lúc đó ma trận đường chéo
được ký hiệu: diag(a11, a22,…,ann) với aii là các phần tử
nằm trên đường chéo chính.
7
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
2. Ma trận vuông
Định nghĩa ma trận tam giác trên
Ma trận vuông A   aij nn được gọi là ma trận tam
giác trên nếu aij  0, i  j
 2 1

A  0 3
0 0

Định nghĩa ma trận tam giác
3 

6 
 2 
dưới
Ma trận vuông A   aij 
được gọi là ma trận tam
nn
giác dưới nếu aij  0, i  j
2 0 0 
A  4 1 0 


 5 7 2 


TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
8
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
2. Ma trận vuông
Định nghĩa ma trận đơn vị
Ma trận chéo với các phần
1 được gọi là ma trận đơn
và aii = 1 với mọi i).
1

I  0
0

tử đường chéo đều bằng
vị, tức là (aij = 0, i ≠ j;
0 0

1 0
0 1 
Ma trận đơn vị cấp n được ký hiệu bởi In
9
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
a. Hai ma trận trận bằng nhau
Hai ma trận bằng nhau nếu:
1) cùng cấp;
2)các phần tử ở những vị trí tương ứng bằng
nhau (aij = bij với mọi i và j).
10
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
b. Ma trận chuyển vị
Chuyển vị của
A  aij 
là ma trận
mn
A  aij 
T
nm
cấp
nXm thu được từ A bằng cách chuyển dòng thành cột.
Ví dụ
 2 1 3
A

 4 0 9  23
 2 4


T
A   1 0 
 3 9

32
11
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
Tính chất:
a) (AT)T= A;
b) AT = BT  A =B
Định nghĩa ma trận đối xứng
Ma trận vuông A thỏa aij = aji với mọi i = 1,….n và j
=1,…,n được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu
A = AT)
 2 1 3 


A   1 4 7 
 3 7 0


TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
12
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
c. Phép nhân ma trận với một số.
Nhân ma trận với một số, ta lấy số đó nhân với tất
cả các phần tử của ma trận.
Ví dụ
 1 2 4 
A

 3 0 5
 2 4 8 
2 A  

 6 0 10 
Tính chất:
a) ()A= (A);
b) (A)T =AT
13
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
d. Cộng hai ma trận
Cùng cấp
Tổng A + B:
Các phần tử tương ứng cộng lại
Ví dụ
 1 2 4 
3  2 6
A
; B  

 3 0 5
1 4 7 
 2 0 10 
A B  

 4 4 12 
14
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
Tính chất:
a) A + B = B + A;
b) A + 0 = A;
c) (A + B) + C = A + ( B + C);
d) (A + B) = A + B;
e) ( + )A = A + A;
f) (A + B)T = AT + BT ;
15
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
3. Các phép toán ma trận
e. Nhân hai ma trận với nhau
A  (aij )m p ; B  (bi j ) pn
cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  aip bpj
AB  C  (cij ) mn
với


AB  ai 1 ai 2

 b1 j 


*
 
 * b2 j *  

... aip 
 ... cij ...


 

 
*
 bpj 
16
A. MA TRẬN
3.
Các
phép
toán
ma
trận
Ví dụ
 1  2 2


 2 1 4 
A
; B   3 0 1 
 4 1 0
 2 4 3


Tính AB
 1 2 2 
c 13
 c711 cc12
 2 1 4  
12 c13

A B  
 3 0 1  




c
c
c
 c21
 4 1 0 
21 c22
22 c23
23

 2 4 3
 1
c11   2 1 4  3   2 1 (1)  3  4  2  7
 
 2
 
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
17
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
Ví dụ
 2 1
1
A
;B   

4 1 
 3
Tìm ma trận X, thỏa AX = B.
a
Xác định cấp của ma trận X là 2x1. Đặt X 
b 
 
 2a  b   1
 2 1 a   1
AX=B  
 
  



 4a  b   3
 4 1  b   3
 2/ 3
 2a  b  1
2
1
y X 

 a  ,b  Vaä

1/
3
4
a

b

3
3
3



TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
18
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
Tính chất của phép nhân hai ma trận
a.
A(BC) = (AB)C;
c. (B+C)A = BA+CA;
b.A(B + C) = AB + AC;
d. ImA = A = AIm
e. (AB) = (A)B = A(B).
Chú ý:
1. Nói chung AB  BA
BC
2. AB  AC
3.
AB  0
A  0 B  0
19
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
   
1 2 4 3  8 5
3 4 21
20 13
    
4 3 1 2  13 20
21 3 4
5 8

         
1 0 0 0  0 0
0 0 0 1
0 0
1 0 0 0  0 0
0 0 1 0
0 0
20
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
f. Lũy thừa ma trận.
Cho A là ma trận vuông cấp n. Khi đó
Qui öôù
c: A 0  I
A3  A  A  A
A2  A A
An  A A
A A
n
21
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
Ví dụ
 1 3
A
.

 0 1
Tính A2; A3, từ đó suy ra A200
 1 3 1 3  1 6 
A  A A  




0
1
0
1
0
1


 

2
 1 6  1 3  1 9

A  A A  



0
1
0
1
0
1



 
3
2
A
TOÁN ỨNG DỤNG
200
 1 200  3


0
1


Chương 3: MA TRẬN
22
HDXB-2009…
A. MA TRẬN
3. Các phép toán ma trận
Ví dụ
 2 3
A
.

 0 2
Tính A200
 2 3
 1 3/ 2 
 1 a
A 
 2 
 2



0
2
0
1
0
1






n
 1 a   1 na 
Ta coù
:



0
1
0
1

 

200
200 

2
300

2
A 200  

 0
200
2


23
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
B. BÀI TẬP
Bài 1. Phép toán nào sau đây thực hiện được và tính toán
kết quả:
 2 1 0 1   1 3 2 1 
a. 


3

1
2
7

5
1
0
0

 

 1 2   1 2 3 
b. 



2
3
4
5
6

 

 2 1 0 1 
c.  3 

3

1
2
7


 1 3 2 1
d. 0 


5
1
0
0


1 0


 1 2 4 1 6   0 1 


e.  0 3 0 3 5    2 4 
 2 4 1 2 4   3 3 

 

 3 1 


TOÁN ỨNG DỤNG
 1 2 4

 1 0 1
f . 2 0 0   

4

3
2

 1 1 1  


Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
B. BÀI TẬP
Bài 2. Cho 3 ma trận vuông A, B, C cấp n. Điều này sau đây
luôn đúng?
a)
 AB C  A BC 
b) A B  C   AB  AC
c) A kB   kA B  k  AB
TOÁN ỨNG DỤNG
d ) AB  BA
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
B. BÀI TẬP
Bài 3. Cho
 2 5 1 
 3 1 6 4 
A
; B  

3
0

4
0

2
7
5




Phép toán nào sau đây thực hiện được? Và tính kết quả
đó.
a. A  B
TOÁN ỨNG DỤNG
b. A  B
c. AT  B
Chương 3: MA TRẬN
d . A  BT
HDXB-2009…
B. BÀI TẬP
Bài 4. Tìm x, y nếu
 1 3  x 
 x

   6   .
 5 3  y 
 y
Bài 5. Tìm x, y, z, w thỏa:
 x y   1 1  1 1  x y 




.
 z w   0 1  0 1  z w 
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
B. BÀI TẬP
Bài 6. Cho các ma trận A, B như sau:
 2 1 1 
 2 1 0 
A 
; B  

 0 1 4 
 3 2 2 
a) Tính
3 A  2 B; 2 AA  BB ; A A   B B  .
T
b) Tìm ma trận X sao cho
TOÁN ỨNG DỤNG
T
T
T
2
B  2 X  BAT
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
B. BÀI TẬP
Bài 7. Tìm số thực x, y, z, w biết rằng:
x  y
x y  x 6   4
3



3 
 z w   1 2w   z  w
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
B. BÀI TẬP
Bài 9. Tính
 0 1



1
0


2003
.
1 2
Bài 10. Cho A  
 . Tính
0 1
An .
Gợi ý: Áp dụng nguyên lý qui nạp.
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
CHƯƠNG 3: MA TRẬN
3.1 Ma trận
16- Khái niệm về ma trận
17- Số học ma trận
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận
3.2 Các ma trận
19- Thuật toán
20- Độ phức tạp của thuật toán
21- Đánh giá thời gian tính của một thuật toán
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
16- KHÁI NiỆM về MA TRẬN 3.1 Ma trận
Định nghĩa:
Ma trận
m = n : MT vuông
A (mxn):
A(3x3)
Bảng hình chữ nhật
m hàng & n cột.
Phần tử
ai j
Hàng 2 & cột 3.
Xác định hàng (i) và cột (j)
của phần tử bất kỳ:
A=
TOÁN ỨNG DỤNG
2 ma trận (A=B)
B=
Chương 3: MA TRẬN
nA = nB,
mA = mB
aij = bij
HDXB-2009…
17- SỐ HỌC về MA TRẬN 3.1 Ma trận
a/ PHÉP CỘNG (TỔNG CỦA CÁC MA TRẬN)
Điều kiện: các ma trận thành phần phải có cùng kích thước m x n.
Ví dụ 3.1:
Lưu ý: Phép CỘNG ma trận có tính giao hoán  A + B = B + A
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
3.1 Ma trận
17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt)
Ví dụ 3.2:
1
3
5
2
3
0
0
2
7
+
=
TOÁN ỨNG DỤNG
3
1
0
8
0
2
1
3
5
4
..
..
..
3
..
..
..
..
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
3.1 Ma trận
17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt)
Ví dụ 3.3:
5
2 3
0
0 2
7
+
..
.. ..
..
4 5
3
9 4
2
3 5
4
2 1
8
1 6
5
.. ..
..
7
1 3
5
.. ..
..
4
2 3
0
.. ..
..
0 2
7
.. ..
..
-
7
.. 4
2 4
=
1 3
Ví dụ 3.4:
3
8 4
6
1 3
8
TOÁN ỨNG DỤNG
2 4
-
3 5
1 6
5
+
Chương 3: MA TRẬN
=
4 5
HDXB-2009…
17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt)
b/ PHÉP NHÂN
(TÍCH CỦA CÁC MA TRẬN)
Điều kiện: cột …trái = hàng…phải
A (mxk)
3.1 Ma trận
C=A.B
(mxk) (kxn) (mxn)
A
B
B (kxn)
C (mxn)
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt) 3.1 Ma trận
b/ PHÉP NHÂN - TÍCH
ai j
x
CỦA CÁC MA TRẬN (tt)
bi j
ci j
Lưu ý: Phép TÍCH ma trận không có tính giao hoán
A.B ≠ B.A
TOÁN ỨNG DỤNG
A.B.C = (A.B).C ≠ A.(B.C)
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt) 3.1 Ma trận
Phương pháp NHÂN ma trận:
HÀNG X CỘT
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
x
b11 b12
c11 c12
b21 b22
c21 c22
=
b31 b32
a41 a42 a43
A (4x3)
c31 c32
c41 c42
B (3x2)
C=AxB (4x2)
c11=a11.b11+a12.b21+a13.b31
c12=a11.b12+a12.b22+a13.b32
c21=a21.b11+a22.b21+a23.b31
c22=a21.b12+a22.b22+a23.b32
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt)
Ví dụ 3.5:
3.1 Ma trận
Phương pháp NHÂN ma trận:
HÀNG X CỘT
1
0
4
2
1
1
3
1
0
0
2
2
2
x
1
3
4
1
=
0
..
..
..
..
7
..
..
..
C31 = 3x2 + 1x1 + 0x3 = 7
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt)
1
0
4
6
2
3
3
5
0
0
2
3
x
3.1 Ma trận
2 3
..
..
4 1
..
..
..
..
..
..
=
3 0
Ví dụ 3.6:
Ví dụ 3.7
1
0
4
6
2
3
TOÁN ỨNG DỤNG
x
2 3 0
..
..
..
4 1 2
..
..
..
..
..
..
3 0 1
=
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt)
3.1 Ma trận
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
17- SỐ HỌC về MA TRẬN (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt)
Chuyển vị
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt)
a/
1
5
1
2
3 4
2
2
5
6
7 8
3
7
4
8
1
0
4
6
2
3
..
..
..
..
3
5
0
..
..
..
..
0
2
3
..
..
..
..
=
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt)
MA TRẬN 0
1`
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt)
Lũy thừa các ma trận
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
18- Chuyển vị và lũy thừa các ma trận (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
19- Thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
20- Độ phức tạp của thuật toán
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
20- Độ phức tạp của thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
20- Độ phức tạp của thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
20- Độ phức tạp của thuật toán (tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật toán
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật toán(tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật toán(tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật toán(tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật toán(tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật toán(tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật toán(tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật toán(tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật toán(tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
21- Đánh giá thời gian tính của 1 thuật toán(tt)
Tham khảo  Seminars
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 3: MA TRẬN
HDXB-2009…
TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ iSPACE
137C Nguyễn Chí Thanh, P 9, Q 5, TP. Hồ Chí Minh
Web: ispace.edu.vn - Tel: 08.6.261.0303 - Fax: 08.6.261.0304
Kết thúc Chương 3:
MA TRẬN
CÁM ƠN CÁC EM
ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE !
TOÁN ỨNG DỤNG
Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TÍNH
HDXB-2009…