Transcript Đại cương về Xác suất

MÔN HỌC XÁC SUẤT THỐNG KÊ
CHƯƠNG 2
ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT
TS. Trần Đình Thanh
Mục tiêu bài giảng
● Nắm vững định nghĩa xác suất,xác suất có
điều kiện.
● Sử dụng được công thức xác suất toàn phần,
công thức Bayes.
Noäi dung chính
♦ Hiện tượng tất yếu - hiện tượng ngẫu nhiên
♦ Xác suất
♦ Xác suất có điều kiện
♦ Sự độc lập
Trang 3
HIỆN TƯỢNG NGẪU NHIÊN – HIỆN TƯỢNG TẤT YẾU
Hiện tượng tất yếu: là những hiện tượng
nếu được thực hiện ở điều kiện giống nhau thì kết
quả giống nhau.
Thí dụ: Đun nước đến 1000C thì nước sôi.
Hiện tượng tất yếu là đối tượng nghiên cứu
của Vật lý, Hóa học
Hiện tượng ngẫu nhiên: là những hiện
tượng dù đã được quan sát ở điều kiện giống nhau,
nhưng kết quả có thể khác nhau.
Thí dụ: Tung đồng xu, và quan sát “Sấp” hay
“Ngửa”.
Trang 4
HIỆN TƯỢNG NGẪU NHIÊN – HIỆN TƯỢNG TẤT YẾU
Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng nghiên
cứu của Xác Suất Học
Trong một hiện tượng ngẫu nhiên ta không
thể biết được chắc chắn kết quả xảy ra như thế
nào, nhưng có thể hình dung ra được các kết quả
có thể xãy ra. Tập hợp các kết quả xảy ra được
gọi là không gian mẫu. Ký hiệu là 
Trang 5
HIỆN TƯỢNG NGẪU NHIÊN – HIỆN TƯỢNG TẤT YẾU
Thí dụ: Tung đồng xu,   S, N
Tung con xúc sắc,   1,2,3,4,5,6
●Biến cố: là một tập con của không gian
mẫu, ký hiệu là: A, B, C . . .
Thí dụ: Tung con xúc sắc, gọi A là biến cố
được số chẵn và B là biến cố được số lẻ,
vậy:
A  2,4,6
B  {1,3,5}
Trang 6
HIỆN TƯỢNG NGẪU NHIÊN – HIỆN TƯỢNG TẤT YẾU
Các phép trên biến cố:
Các biến cố là các tập con, ta nên dùng các
phép tính trên tập hợp cho biến cố.
- Phần hội : A  B = A hay B xảy ra
- Phần giao : A  B = AB = A và B xảy ra
- Phần bù : A   \ A  A không xãy ra
A
A B
A B
A
A
Trang 7
XÁC SUẤT
Quan sát các hiện tượng, ta thấy có những
hiện tượng thường xảy ra, có những hiện
tượng ít xảy ra. Xác suất là một con số đo
lường mức độ xảy ra của một biến cố.
1.Định nghĩa cổ điển
Xác suất của A là tỷ số giữa số phần tử của
A và số phần tử của không gan mẫu 
k
P( A)  
n
Số phần tử của
Số phần tử của
A

Trang 8
XÁC SUẤT
Thí dụ 1: Trong trường hợp có 3 bi đỏ + 7 bi
trắng có cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên ra một
bi, thì:
3
7
P( Đ)  ;
P(T ) 
10
10
 Đ
P 0,30
T
0,70 1,00
Trang 9
XÁC SUẤT
Thí dụ 2: Trong lớp có 20 sinh viên = 8 nam +
12 nữ. Gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên. Tính xác suất
được 2 nam sinh viên? 1 nam + 1 nữ? 2 nữ sinh
viên?
Giải
Trong lớp có 20 sinh viên, gọi 2 sinh viên, số
trường hợp xảy ra là:
20!
2
C 20 
 190
2!18!
Trang 10
XÁC SUẤT
Số trường hợp được 2 nam sinh viên
8!
C 
 28
2!6!
2
8
Số trường hợp được 1 nam + 1 nữ sinh viên:
C C  8  12  96
1
8
1
12
Số trường hợp được 2 nữ sinh viên:
12!
C 
 66
2!10!
2
12
Trang 11
XÁC SUẤT
28
P(2 nam) = 190  0,1473...  0,15
96
P(1 nam + 1 nữ) = 190  0,5052...  0,50
66
P(2 nữ) = 190  0,3473...  0,35

P
2 nam
0,15
1 nam + 1 nữ
0,50
2 nữ
1,00
Trang 12
XÁC SUẤT
Định nghĩa cổ điển dễ áp dụng, nhưng chỉ có thể
dùng trong trường hợp không gian mẫu hữu hạn
và các trường hợp có cơ hội đồng đều. Trong
trường hợp không gian mẫu vô hạn hay các
trường hợp xảy ra không có cơ hội đồng đều thì
định nghĩa cổ điển không áp dụng được.
Trang 13
XÁC SUẤT
2.Tiên đề Kolmogorov
Xác suất là một hàm số xác định các biến cố thỏa:
(1) P(  )=1
(2) P(A)  0,  A
(3) A1, A2, A3, . . . rời nhau
P(A1  A2  A3 …)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+…
Các kết quả của tiên đề Kolmogorov.
(4) A, B rời nhau: P(A  B)=P(A)+P(B)
(5) A, B bất kỳ: P(A  B)= P(A)+P(B)-P(AB)
(6) P( A)  1  P( A)
Trang 14
XÁC SUẤT
Thí dụ: Trong lớp có 100 sinh viên. Có 70 sinh
viên giỏi tiếng Anh, 50 sinh viên giỏi tiếng Pháp,
trong số đó có 30 sinh viên giỏi cả hai ngoại ngữ.
Gọi ngẫu nhiên một sinh viên. Tính xác suất
được sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ? Được
sinh viên không giỏi ngoại ngữ nào?
Trang 15
XÁC SUẤT
Giải
Gọi: A = biến cố “gọi được sinh viên giỏi tiếng Anh”
B = biến cố “gọi được sinh viên giỏi tiếng Pháp”
C = biến cố “gọi được sinh viên giỏi ít nhất một
ngoại ngữ”, C = A  B.
K = biến cố “gọi được sinh viên không giỏi
ngoại ngữ nào”, K  C  AB
Trang 16
XÁC SUẤT
70
50
30
P( A) 
, P( B) 
, P( AB) 
100
100
100
P(C )  P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)
70
50
30
90




 0,90
100 100 100 100
P( K )  P(C )  1  P(C )  1  0,90  0,10
Trang 17
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
1 Thí dụ mở đầu: Trong con xúc sắc công bằng, ta có:
 1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
P
1,00
6
6
6
6
6
6
Giả sử đã tung con xúc sắc, chưa nhìn kết quả:
Một người bạn quan sát kết quả, cho biết: “được số chẵn”.
Như vậy, các trường hợp số lẻ không xảy ra. Ta ấn định lại
xác suất cho phù hợp với thông tin nhận được:
 1
2
3
4
5
6
1
1
1
P
0
0
0
1,00
3
3
3
Xác suất P’ được gọi là xác suất có điều kiện, phụ thuộc
vào thông tin mà người bạn cung cấp (được số chẵn).
Trang 18
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
1 Định nghĩa: Cho biến cố B với P(B)>0.
Xác suất của A, khi biết B xảy ra, là

A
P ( AB )
P(A|B)= P ( B )
AB
B
Khi biết B xảy ra, xác suất của A|B
tỉ lệ với AB, vậy:
P(A|B)=k.P(AB)
Với k là hệ số tỉ lệ.
Trang 19
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Để tính k, ta chọn A = B.
Vậy:
1 = P(B|B)=k.P(BB)=k.P(B)
Do đó:
1
k
P( B)
Vậy:
P ( AB)
1
P( A | B) 
.P( AB) 
P( B)
P( B)
Trang 20
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
1 Các kết quả:
a. Công thức nhân xác suất:
Ta có
P ( AB )
P( A | B ) 
P( B )
Vậy:
P(AB)=P(A|B).P(B)
Trang 21
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
b. Công thức xác suất toàn phần:
  =B1  B2; (B1B2=  )
Với mọi biến cố A, ta phân tích A làm hai phần
theo B1, B2:
A

B
AB

A = (AB1) (AB2)
B
P(A)=P(AB1)+P(AB2)
AB
1
1
2
2
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)
Trang 22
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
  =B1  B2  B3 . . .(BlBj=  , i≠j)
Với mọi biến cố A, ta phân tích A làm nhiều phần
theo các biến cố B1, B2, B3, . . .
A = (AB1)  (AB2)  (AB3)  …
P(A) = P(AB1) + P(AB2) + P(AB3) + …
P(A) = ∑P(A|Bn).P(Bn)
Trang 23
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
c. Công thức Bayès:
P  Bk / A 
P ( A | Bk ). P( Bk )
P ( A)
Chứng minh
P( Bk A) P( ABk ) P( A | Bk ).P( Bk )
P  Bk / A 


P( A)
P( A)
P( A)
Trang 24
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Thí dụ 1:
Hộp B1 có 20 lọ thuốc = 3 Hỏng + 17 Tốt
Hộp B2 có 20 lọ thuốc = 5 Hỏng + 15 Tốt
Hộp B3 có 20 lọ thuốc = 2 Hỏng + 18 Tốt
a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp , rồi từ đó lấy ra một
lọ. Tính xác suất được lọ Hỏng? Được lọ Tốt?
b) Nếu lấy ra được lọ Hỏng, hãy phán đoán lọ
nào?
Trang 25
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
a) Chọn ngẫu nhiên 1 hộp, vậy:
1
P(B1)=P(B2)=P(B3)= 3
Xác suất lấy được lọ Hỏng:
P(H)=P(H|B1)P(B1)+ P(H|B2)P(B2)+ P(H|B3)P(B3)
 3  1  5  1  1  1 10
      
 0,17
 20  3  20  3  20  3 60
Trang 26
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Xác suất lấy được lọ Tốt
P(T)=P(T|B1)P(B1)+ P(T|B2)P(B2)+ P(T|B3)P(B3)
 17  1  15  1  18  1 50
      
 0,83
 20  3  20  3  20  3 60

P
H
0,17
T
0,83
1,00
Trang 27
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
b) Để phán đoán đã chọn được hộp nào, ta tính
xác suất chọn được B1, được B2, được B3. Xác
suất nào lớn nhất thì cơ hội xảy ra ờ đó cao nhất
(thường xảy ra), vậy ta phán đoán trường hợp đó
xảy ra thì dễ trúng nhất. Phán đoán chỉ có tính
cách tương đối, không nhất thiết rằng trường hợp
đó phải xảy ra.
 3 1
 
P( H | B1 ) P( B1 )  20  3 3
P( B1 | H ) 


P( H )
 10  10
 
 60 
Trang 28
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
 5 1
 
P( H | B2 ) P( B2 )  20  3 5
P( B2 | H ) 


P( H )
 10  10
 
 60 
 2 1
 
P( H | B3 ) P( B3 )  20  3 2
P ( B3 | H ) 


P( H )
 10  10
 
 60 
 |H
B1
B2
B3
3
5
2
1,00
P(  |H)
10
10
10
Vậy, ta phán đoán là:chọn chọn được hộp B2.
Trang 29
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Thí dụ 2:
Một người đến khám vì ho ra máu.
Theo kinh nghiệm của bác sĩ thì những trường hợp
như vậy có thể là:
B1 = lao phổi
0,60
B2 = dãn phế quản 0,30
B3 = bệnh khác
0,10
Cho bệnh nhân làm xét nghiệm IDR. Kết quả IDR+
Theo kinh nghiệm của phòng xét nghiệm thì IDR+
trong các bệnh nhân lao phổi là 0,70 và dương (giả)
trong các bệnh khác là 0,05.
Tính khả năng người này bị lao phổi.
Trang 30
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
Giải
Ta có:
P(IDR  )
 P(IDR  |B1 ) P(B1 )  P(IDR  |B1 ).P(B1 )
 (0,7)(0,6)
 0,04
 (0,05)(1-0,6)
Vậy:

P(IDR
| B1 )P(B1 )

P(B1 | IDR ) 
P(IDR  )
(0,70).(0,60)

0,44
 0,95
Khả năng người này bị lao phổi là 0,95
Trang 31
SỰ ĐỘC LẬP
1 Hai biến cố độc lập
Ta nói A độc lập với B. Nếu xác suất của A, khi biết B
xảy ra, không phụ thuộc B.
P(A|B) = P(A)
P(AB)
 P(A)
P(B)
P(AB) = P(A).P(B)
Vai trò của A, B trong hệ thức này có tính đối xứng, vậy
nếu A độc lập với B thì B cũng độc lập với A.
Trang 32
SỰ ĐỘC LẬP
Thí dụ: Ta muốn nghiên cứu xem giới tính của các đứa
con trong một gia đình có phụ thuộc nhau hay không. Để
đơn giản hóa trong việc tính toán, ta xét những gia đình có
2 con.
TT
TG GT GG

1
1
1
1
P
4
4
4
4
Gọi: A = biến cố “đứa lớn là con trai” = {TT, TG}
2 1
P ( A)  
4 2
B = biến cố “đứa nhỏ là con gái” = {TG, GG}
2 1
P( B)  
4 2
Trang 33
SỰ ĐỘC LẬP
Ta có: AB = {TG}
1
P(AB)= 4 =P(A).P(B)
Vậy A, B độc lập.
Tương tự, ta kiểm tra TT cũng độc lập, GT độc lập, GG độc lập.
Vậy giới tính các đứa con trong một gia đình thì độc lập nhau.
Trang 34
SỰ ĐỘC LẬP
2 Ba biến cố độc lập
Ba biến cố A, B, C độc lập nhau nếu ta có:
P(AB) = P(A).P(B)
(1)
P(AC) = P(A).P(C)
(2)
P(BC) = P(B).P(C)
(3)
P(ABC) = P(A).P(B).P(C) (4)
Ba hệ thức đầu diễn tả sự độc lập từng đôi.
 Chú ý: Sự độc lập từng đôi không dẫn đến sự độc lập
toàn phần.
Trang 35
SỰ ĐỘC LẬP
Thí dụ: (Berstein)
Xét một hiện tượng ngẫu nhiên có 4 hậu quả cơ hội đồngđều:
 1 2 3  4
P
1
4
1
4
1
4
1
4
1,00
Đặt:
2 1
A = { 1 , 4 }; P(A) = 4  2
2 1
B = {  2 , 4 }; P(B) = 4  2
2 1
C = {  3 ,  4 }; P(C) = 4  2
Trang 36
SỰ ĐỘC LẬP
Ta có:
 AB = { 4 }
1
P(AB)= 4 =P(A)P(B)  A,
B độc lập.
 AC = { 4 }
1
P(AC)= 4 =P(A)P(C)  A,
C độc lập.
 BC = { 4 }
1
P(BC)= 4 =P(B)P(C)  B,
C độc lập.
 ABC = { 4 }
1
P(ABC)= 4 ≠
P(A)P(B)P(C) =
1
8.
Vậy A, B, C độc lập từng đôi, nhưng không độc lập toàn phần.
Trang 37
HỎI VÀ ĐÁP
Đại Học Y Dược Thành Phố Hồ Chí Minh
Email:[email protected]
------------------------------------------------
Chúc các em thành công