Transcript Biến số ngẫu nhiên

MÔN HỌC XÁC SUẤT THỐNG KÊ
CHƯƠNG 3
BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN
TS. Trần Đình Thanh
Mục tiêu bài giảng
● Nắm vững định nghĩa hàm mật độ,hàm phân
phối tích lũy.
● Tính được trung bình,phương sai của một
BNN,hiểu được ý nghĩa của nó và các tính
chất.
Noäi dung chính
♦THÍ DỤ MỞ ĐẦU
♦ TRƯỜNG HỢP LOẠI RỜI
♦ TRƯỜNG HỢP LIÊN TỤC
♦ VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Trang 3
THÍ DỤ MỞ ĐẦU
Giả sử tỉ lệ bệnh B trong dân số là p = 0,20.
Quan sát ngẫu nhiên 3 người. Gọi X = số
người bệnh, X = 0, 1, 2, 3.
Ta có:
P(X=0) = P(KKK) = P(K). P(K). P(K)
3
= (0,8) = 0,512
P(X=1) = P(BKK) + P(KBK) + P(KKB)
2
= 3(0,2)(0,8) = 0,384
P(X=2) = P(BBK) + P(BKB) + P(KBB)
= 3(0,2)2.(0,8) = 0,096
P(X=3) = P(BBB) = (0,2)3 = 0,008
Trang 4
THÍ DỤ MỞ ĐẦU
Vậy:
X 0
1
2
3
P 0,512 0,384 0,096 0,008 1,00
Trong thí dụ trên, X được gọi là biến số ngẫu
nhiên.
Khi quan sát 3 người thì không gian mẫu là:
Ω=(KKK, BKK, KBK, KKB, BBK, BKB, KBB, BBB)
Trang 5
THÍ DỤ MỞ ĐẦU
Với mỗi hậu quả quan sát: KKK, BKK, …
ta làm tương ứng với một giá trị: 0, 1, 2, 3 bởi
ánh xạ X.
Một cách tổng quát, biến số ngẫu nhiên là
một ánh xạ từ không gian mẫu vào tập hợp các
số (trên đường thẳng thực R).
Trang 6
THÍ DỤ MỞ ĐẦU
Có hai loại biến số ngẫu nhiên:
1. Biến cố loại rời: Nếu X chỉ lấy các giá trị
rời rạc.
2. Biến cố loại liên tục: Nếu X có thể lấy các
giá trị liên tục trên một khoảng.
Thí dụ: gọi X là chiều cao của một người
được quan sát ngẫu nhiên từ dân số.
Trang 7
TRƯỜNG HỢP LOẠI RỜI
X thuộc loại rời nên X chí có thể lấy các giá trị
rời rạc: x1, x2, x3, …
Đặt pi = P(X = xi); (i = 1, 2, 3, …)
Ta có:
X X1 X2 X3 …
p2
p3
P p1
Các giá trị pi thỏa mãn hai tính chất:
 p i  0

 p i  1
Trang 8
TRƯỜNG HỢP LOẠI RỜI
1. Hàm mật độ xác suất
Đặt:
( x  xi )
 pi ;
f ( x)  
0; Nơi khác
Hàm số f(x) thỏa mãn hai tính chất sau đây:
 f ( x)  0, x

f
(
x
)

1


Trang 9
TRƯỜNG HỢP LOẠI RỜI
Thí dụ: Tung đồng xu công bằng 3 lần. Gọi X = số
lần lật sấp. Hàm mật độ xác suất của X là:
1
8 ;

3 ;
8

3
f ( x)   ;
8
1
8 ;

0;


khi
x0
khi
x 1
khi
x2
khi
x3
f(x)
0
1
2
3
X
Nơi khác
Trang 10
TRƯỜNG HỢP LOẠI RỜI
2. Hàm phân phối tích lũy
Đặt: F(x) = P(X ≤ x) = ∑{f(xi); xi ≤ x}
Hàm F(x) được gọi là hàm phân phối tích lũy.
Hàm này tính xác suất cộng dồn lại từ -∞ đến x.
Thí dụ: Với biến số ngẫu nhiên X
X
P
0
1
2
3
1
8
3
8
3
8
1
8
Trang 11
TRƯỜNG HỢP LOẠI RỜI
Ta có hàm phân phối tích lũy như sau:
-∞ < x < 0
0≤x<1
: F(x) = 0
: F(x) =
1
8
2≤x<3
1 3
4
: F(x) = 8 + 8 = 8
7
1 3 3
: F(x) = 8 + 8 + 8 = 8
3≤x<+∞
: F(x) = 1
1≤x<2
Trang 12
TRƯỜNG HỢP LIÊN TỤC
1. Hàm mật độ xác suất
Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của
X nếu thỏa mãn hai tính chất:
 f ( x)  0, x
 
  f ( x)dx  1
p = P(a ≤ X ≤ b)
f(x)
O
a
b
X
Trang 13
TRƯỜNG HỢP LIÊN TỤC
Trong trường hợp nầy xác suất a ≤ X ≤ b được
biểu diễn bởi phần diện tích phẳng giới hạn bởi
đường cong y = f(x), trục Ox, x = a, x = b
P(a ≤ X ≤ b) = 
b
a
f ( x)dx
Do đó, vùng nào mật độ lên càng cao thì xác
suất xãy ra càng lớn.
Trang 14
TRƯỜNG HỢP LIÊN TỤC
2. Hàm phân phối tích lũy
Đặt: F(x) = P(X ≤ x) = 
x

f (u)du
F(x) được gọi là hàm phân phối tích lũy của X.
Thí dụ: Chọn ngẫu nhiên một số X trên đoạn
[a, b]. Thừa nhận các số có cơ hội đồng đều.
Tìm hàm mật độ f(x) và hàm phân phối tích lũy
F(x) của X.
Trang 15
TRƯỜNG HỢP LIÊN TỤC
Các số có cơ hội đồng đều nên hàm mật độ
giống nhau ở mọi nơi trên đoạn [a, b], (không
nơi nào nhiều hơn, cũng không nơi nào ít hơn).
Vậy hàm mật độ có dạng:
c (hằng số) ; a  x  b
g ( x)  
; Nơi khác
0
Xác định c bởi tính chất hàm mật độ:
1 


b
f ( x)dx   c.dx  [cx]  c(b  a)
a
b
a
Trang 16
TRƯỜNG HỢP LIÊN TỤC
1
ˆ : c
Vay
,
b  c do đó:
 1
;a  x  b

f ( x)   b  a

; Nơi khác
0
f(x)
a
Trang 17
b
TRƯỜNG HỢP LIÊN TỤC
Ta tìm hàm phân phối tích lũy.
x<a
: F(x) = 0
a ≤ x ≤b
b<a
: F(x) =
: F(x) =

x
a

b
a
1
xa
du 
ba
ba
1
ba
du 
1
(b  a)
ba
f(x)
1
O
a
b
x
Trang 18
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
1. Trung bình
Trung bình của X được định nghĩa là:
 xf ( x)
; Loại rời

  E( X )  

 xf ( x)dx
; Loại liên tục
Thí dụ 1: Trong hộp có 3 bi đỏ + 7 bi trắng = 10
bi có cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên ra 1 bi, nếu
được màu đỏ thì được thưởng 50.000 đ, màu trắng
thì bị phạt 23.000 đ.
Hỏi: Có nên tham dự trò chơi này nhiều lần không?
Trang 19
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Giải
Gọi X = số tiền có được sau mỗi lần tham dự, vậy
X = -23.000; 50.000. Ta có:
X
P
-23.000
50.000
7
10
3
10
1,00
Trung bình của X là:
7
3
µ = ∑xf(x) = (-23.000) 10 + (50.000) 10 = - 1.100 đ
Trang 20
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Như vậy, trung bình mỗi lần tham dự ta bị lỗ
mất 1.100 đ. Để thấy được điều nầy, ta tưởng
tượng tham dự 1.000 lần, như vậy có vào khoảng
300 lần được thưởng và 700 lần bị phạt, do đó số
tiền có được sau 1000 lần là:
T = (- 23.000) × 700 + (50.000) × 300
Vậy, trung bình mỗi lần tham dự ta được số tiền
là:
(23.000)700  (50.000)300
 1.100đ
1.000
Trang 21
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Chú ý rằng: Số trung bình là một đại lượng
quan trọng giúp ta quyết định, nhưng số trung
bình là một số không có trên thực tế. Trong trò
chơi may rủi ở thí dụ, mỗi lần tham dự thì hoặc
được thưởng 50.000đ hoặc bị phạt 23.000đ, chứ
không phải mỗi lần tham dự cho người tổ chức
1.100đ!
Trang 22
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Thí dụ 2: Xét biến số ngẫu nhiên X lấy các giá
trị 1, 2, 3, 4, 5 có cơ hội đồng đều.
X 1
2
3
4
5
1
1
1
1
P 1
5
5
5
5
5
Trung bình của X là:
1 2  3  3  5
1 1
   xf ( x)  1   2   ... 
3
5
5 5
Vậy, nếu X phân phối đều thì trung bình của X
chính là số trung bình cộng.
Trang 23
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
2. Phương sai: (hay biến trị)
Phương sai của X là đại lượng
 ( x   )2 f ( x )

 2  E ( X   )2   
2
(
x


)
f ( x ))dx

 
;
Loại rời
;
Liên tục
Ý nghĩa của phương sai:
Giả sử X loại rời, X = x1, x2, …, xn
Trang 24
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
µ
x1
x2
xn
 2  ( x1   ) 2 f ( x1 )  ( x 2   ) 2 f ( x 2 )  ...  ( x n   ) 2 f ( x n )
Ta có: x1 - µ; x2 - µ; …; xn - µ là các khoảng cách
từ x1, x2, …, xn đến số trung bình µ. Các hiệu số này
có thể âm, có thể dương, vậy bình phương lên cho
mất dấu, rồi nhân cho cơ hội xảy ra tại đó.
Trang 25
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Nếu các số liệu x1, x2, , …, xn phân tán rộng thì
 lớn
2
Nếu các số liệu x1, x2, , …, xn tập trung lại thì
 bé.
2
Vậy: phương sai đo lường ở mức độ phân tán của
biến số ngẫu nhiên.
2
2

( X ), D( X ), Vax( X ) .

,
Ký hiệu:
Trang 26
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Cách tính phương sai:
Thông thường thì trung bình µ là một số lẻ, do đó
nếu tính xi - µ bằng công thức định nghĩa thì rất vất
vả. Ta tính phương sai  như sau:
 2 = E(X - µ)2 = E(X2 - 2µ.X + µ2)
= E(X2) - 2µ.E(X) + µ2
2
 2 = E(X2) - µ2
Trang 27
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Thí dụ 1:
X 0
1
1
P 1
4
4
2
3
1
4
1
4
1 1 1 1 3
   xf ( x)  0   1   2   3  
4 4 4 4 2
2
  x 2 f ( x)   2
2
5
1 21
3
21
21
 0   1    2    3      
4
4
4
4
4 2
2
Trang 28
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Thí dụ 2:
 1
;a  x  b

f ( x)   b  a
0
; Nơi khác

b

a
   xf ( x)dz  
1 x
 1 

x
dx 
ba 2
b  a
2
b

b2  a2
 
 a 2(b  a)
ba

2
2 


x 2 f ( x) dx   2 
b

b
a
 1 
b  a
x
dx




b

a
2




2
(b  a ) 2
(b  a ) 2
(b  a ) 2
1 x 
b3  a3




 
b  a  3 a
4
3(b  a )
4
12
Trang 29
2
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
3. Hàm gây moment
(e = 2,71…là cơ số của log neper)
Hàm gây moment của X là:
  etX f ( x )

tX
M (t )  E ( e )   
tX
e
f ( x )dx

 
;
Loại rời
;
Liên tục
Trang 30
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Hàm gây moment là một hàm thuần túy toán học
trừu tượng, không có ý nghĩa cụ thể như trung bình,
phương sai. Hàm gây moment là một công cụ giúp
chúng ta giải quyết các bài toán về xác suất một cách
nhanh gọn. Ta có thể dùng hàm gây moment để tính
trung bình và phương sai.
Giả sử X loại rời, (nếu X liên tục ta đổi ký hiệu ∑
thành ký hiệu  ), ta có:
M(t) = ∑etxf(x) = etx1f(x1)+etx2f(x2) + …
Trang 31
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Lấy đạo hàm của M(t), ta được:
M’(t) = x1etx1f(x1) + x2etx2f(x2) + … = ∑ xetxf(x)
Cho t = 0, ta có:
M’(0) = x1f(x1) + x2f(x2) + … = ∑xf(x) = µ
Do đó, ta có công thức tính trung bình:
µ = M’(0)
Lấy đạo hàm lần thứ hai:
M ' ' (t )  x12 e tx1 f ( x1 )  x22 e tx2 f ( x2 )  ...   x 2 e tx f ( x)
Trang 32
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Cho t = 0, ta có:
M ' ' (0)  x12 f ( x1 )  x22 f ( x2 )  ...   x 2 f ( x)
2
2
2
2


x
f
(
x
)



M
'
'
(
0
)

M
'
(
0
)

Do đó:
Vậy, ta có công thức tính phương sai:
 2  M ' ' (0)  M ' (0) 2
Thí dụ: Xét biến số ngẫu nhiên X của hàm mật độ:
e  x ; x  0
f ( x)  
; Nơi khác
0
2

Trung bình µ và phương sai
Tìm hàm gây moment M(t), dùng M(t) để tìm lại µ và
2.
Trang 33
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Giải
Ta có:


   xe dx  [ xe ]   e  x dx  1
2
x
x 
0


0

   x e dx    [2 xe ]  2 xe x dx  (1) 2
2
2
x
x 
0
2
0
0
 2 11
Ta có:
M (t ) 


0
tx
e .e
x

dx  2  e  (1 t ) x dx
1
 (1 t ) x

e
1 t
1

; (t  1)
1 t
0

0
Trang 34
VỌNG TRỊ TOÁN HỌC
Vậy:
1
M ' (t ) 
   M ' (0)  1
2
(1  t )
2
M ' ' (t ) 
   M ' ' (0)  2
3
(1  t )
2
 M ' ' (0)
 M ' (0) 2  2  1  1
Trang 35
Tính chất:
E(X+Y) = EX+EY
E(KX) = KEX
2
Var(KX) = k VarX
Var(X+Y) = VarX+VarY
nếu X,Y độc lập
HỎI VÀ ĐÁP
Đại Học Y Dược Thành Phố Hồ Chí Minh
Email:[email protected]
-----------------------------------------------Chúc các em thành công