Transcript Kvartická a kubická rovnica

Kvartická a kubická
rovnica
Peter Oeser
2. ročník
Kvartická rovnica
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
kde a ≠ 0
• pri kvartických rovniciach používame nasledujúcu terminológiu:
ax4 – kvartický člen
bx3 – kubický člen
cx2 – kvadratický člen
dx – lineárny člen
e – absolútny člen
• Riešenie kvartické rovnice možno nájsť analyticky len veľmi ťažko, jedná sa
o najvyšší (štvrtý) stupeň algebrickej rovnice, ktorá je riešiteľná analyticky (to
je pomocou 4 základných aritmetických operácií a odmocňování)
• Ako prvý našiel riešenie Talian Ludovico Ferrari niekedy v 15. storočia, keď
bol žiakom Girolama Cardano, však existuje veľa elegantnejších metód, ako
takéto rovnice riešiť
• Jednu z nich predložil Francúz René Descartes
René Descartes
René Descartes
René Descartes
Kubická rovnica
ax3 + bx2 + cx + d = 0
•
•
•
kde a ≠ 0
kubická je nazývaná preto, že obsahuje člen s x3 pripomínajúci objem kocky
(V= a3)
kubická rovnica môže mať až 3 korene
pri riešení kubickej rovnice môžeme použiť niekoľko postupov
1. Prevodom na kvadratické a lineárne rovnice
2. Pomocou kalkulačky
3. S podporou počítača
4. Cez Cardanov vzorec
5. Pomocou niektorej numerickej metódy
Prevodom na kvadratické a
lineárne rovnice
• najčastejšie využívaná možnosť
• najprv urobíme rozklad na súčin, a potom riešime vzniknuté rovnice z
jednotlivých súčiniteľov
• previesť na súčin môžeme pomocou vzorcov, vytyčovaním a
typovaním (s následným delením polynómov)
Vzorce
1. Druhá mocnina dvojčlena a + b
2. Druhá mocnina dvojčlena a - b
3. Druhá mocnina trojčlena a + b + c
4. Tretia mocnina dvojčlena a + b
5. Tretia mocnina dvojčlena a - b
6. N-tá mocnina dvojčlena a + b
7. Rozklad dvojčlena a2 - b2 na súčin
8. Rozklad dvojčlena a2 + b2 na súčin
v množine reálnych čísel
• Rozklad dvojčlena a2 + b2 na súčin
v množine imaginárnych čísel
• Rozklad dvojčlena a3 + b3 na súčin
• Rozklad dvojčlena a3 - b3 na súčin
• Rozklad dvojčlena an + bn na súčin pre liché n
• Rozklad dvojčlena an - bn na súčin pre liché i sudé n
Vytyčovaním
• vytyčovanie pred zátvorku je pomerne častý využívaný úkon
• je založený na princípe, že kým každý člen daného výrazu obsahuje
rovnaký činiteľ, tak tento spoločný činiteľ môžeme dať pred zátvorku
• pri počítaní limit vo vysokoškolskej matematike je postup trošku odlišný
• v prvom rade nás totiž zaujíma, čo budeme vytyčovať, ale to, či je
súčiniteľ v každom člene, už nie je dôležité
Delenie polymérov
• Delenie mnohočlenov jednočlenom
• Delenie mnohočlenov mnohočlenom
so zvyškom
bez zvyšku
Pomocou počítača
• môžeme použiť programy typu Maple, Matlab nebo Excel z balíku MS
Office
• pokiaľ nemáte čas sa hrať s pokročilými funkciami Excelu, môžete si
vytvoriť iba graf kubickej funkcie, kde priesečníky s osou x sú hľadané
korene
Pomocou kalkulačky
• pokiaľ máte pokročilejší hardware typu Casio Algebra FX 2.0, tak vám
stačí ísť touto cestou:
• rovnice (equations) > polynomické (polynomial) > stupeň polynómu:
3 > zadanie konštánt