Transcript Prezentácia programu PowerPoint

Ako staríci počítali π
Zbyněk Kubáček
Katedra matematickej analýzy a numerickej matematiky
Fakulta matematiky, fyziky a informatiky
Univerzity Komenského v Bratislave
Christiaan Huygens
(1629-1695)
Liu Hui (okolo 220 - 280)
Archimedes
(asi 287 -212 pred n.l.)
Willebrord Snell
(1580 - 1626)
Bhaskara
(1114-1185)
Džamšíd Ghijáth ad-Dín
al-Káší (cca 1380-1429)
Základná myšlienka
odhadnúť π obvodmi pravidelných
n-uholníkov vpísaných do kruhu
s priemerom 1 a opísaných tomuto kruhu
𝒗𝒏 < 𝜋 < 𝒐𝒏
𝑑
2
Súvisí to s trigonometriou
pravidelný n-uholník opísaný kružnici
s priemerom d má stranu dĺžky 𝑨𝒏 =
𝟏𝟖𝟎°
𝒅 tan
𝒏
pravidelný n-uholník vpísaný do tejto
𝟏𝟖𝟎°
kružnice má stranu dĺžky 𝒂𝒏 = 𝒅 sin
𝒏
𝑎𝑛
2
180°/𝑛
180°/𝑛
𝐴𝑛
2
s rastúcou hodnotou n sa čísla 𝒏 ∙ 𝐬𝐢𝐧
𝒏 ∙ 𝐭𝐚𝐧
𝟏𝟖𝟎°
𝒏
𝟏𝟖𝟎°
𝒏
a
stále menej líšia od 𝝅
s rastúcou hodnotou n sa čísla 𝒏 ∙ 𝐬𝐢𝐧
a 𝒏∙
𝝅
𝐭𝐚𝐧
𝒏
stále menej líšia od 𝝅
𝝅
𝒏
Ako presne sa dá určiť číslo
π z hodnôt sin 1° a tan 1°
𝒗𝟏𝟖𝟎 = 180 ∙ sin 1° = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏 433 158 …
𝒐𝟏𝟖𝟎 = 180 ∙ tan 1° = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏 911 687 …
Archimedes: O meraní kruhu
3. st. pred n. l.
𝟏𝟎
𝟏
𝟑
<𝝅<𝟑
𝟕𝟏
𝟕
Archimedes pracoval s prevrátenými hodnotami
𝟏
𝟏
𝒙𝒏 =
a 𝒚𝒏 =
𝑨𝒏
𝒂𝒏
Poznal 𝒙𝟔 =
𝟏
𝑨𝟔
= 𝟑 a 𝒚𝟔 =
𝟏
𝒂𝟔
=𝟐
Použil vzťahy
𝒙𝟐𝒏 = 𝒙𝒏 + 𝟏 + 𝒙𝒏
𝟐
t.j.
1
𝐴2𝑛
=
1
𝐴𝑛
+ 1+
1 2
𝐴𝑛
a vypočítal postupne 𝒙𝟏𝟐 , 𝒙𝟐𝟒 , 𝒙𝟒𝟖 , 𝒙𝟗𝟔
Potom použil vzťahy
𝒚𝟐𝒏
𝟐
− 𝟏 = 𝒚𝒏 +
𝒚𝒏
𝟐
−𝟏,
t.j.
1 2
𝑎2𝑛
a vypočítal postupne 𝒚𝟏𝟐 , 𝒚𝟐𝟒 , 𝒚𝟒𝟖 , 𝒚𝟗𝟔
−1=
1
𝑎𝑛
+
1 2
𝑎𝑛
−1
𝒙𝒏
1,732 050 808
3,732 050 808
𝒚𝒏
2,000 000 000
3,863 703 305
7,595 754 113 7,661 297 576
15,257 051 688 15,289 788 299
30,546 839 987 30,563 203 909
3,142 714 600 3,141 031 951
𝟏𝟖𝟎°
𝟗𝟔 ∙ 𝐭𝐚𝐧
𝟗𝟔
kontrola
𝟗𝟔 ∙ 𝐬𝐢𝐧
𝟏𝟖𝟎°
𝟗𝟔
Keď už poznáme tvar Archimedových vzťahov, nie je ťažké overiť ich použitím
goniometrie (t.j. po boji je každý generálom)
1
1
1
=
+ 1+
𝐴2𝑛 𝐴𝑛
𝐴𝑛
dosadíme 𝐴𝑛 = tan
2
označíme
180°
2𝑛
180°
,
𝑛
𝐴2𝑛 = tan
180°
2𝑛
=𝛼
dostaneme
cot 𝛼 = cot 2𝛼 + 1 + cot 2𝛼
2
upravíme
cot 2𝛼 + 1 + cot 2𝛼
2
cos 2𝛼
=
+
sin 2𝛼
cos 2𝛼
1+
sin 2𝛼
=
cos 2𝛼 + 1
2 cos 𝛼 2
cos 𝛼
=
=
=
sin 2𝛼
2 sin 𝛼 cos 𝛼 sin 𝛼
2
=
cos 2𝛼
+
sin 2𝛼
1
sin 2𝛼
sin 2𝛼 2 + cos 2𝛼 2
sin 2𝛼 2
tešíme sa
2
Liu Hui – Liou Chuej (okolo 220 - 280)
劉徽
Liou Chuej vychádzal z obsahu kruhu
kruh s polomerom 1 má obsah π
obsah pravidelného 2n−uholníka vpísaného do kruhu s polomerom 𝟏
𝟏
= ∙ obvod pravidelného n−uholníka vpísaného do tohto kruhu
𝟐
jeho postup pri postupnom výpočte strán nuholníkov vpísaných do kruhu s polomerom 1
zodpovedá vzťahu
U
C
B
𝟐
T
V
P
D
𝒂𝟐𝒏
X
Z
F
Y
𝒂𝒏
= 𝟏− 𝟏−
𝟐
𝟐
𝒂𝒏
+
𝟐
A
S
E
𝟐
𝑆𝐵 = 1 , 𝐴𝐵 = 𝑎6 , 𝐵𝑇 = 𝑎12 , najprv
vypočítame 𝑆𝑃 pomocou 𝑆𝐵 a 𝐵𝑃 ,
odtiaľ nájdeme 𝑃𝑇 a napokon z 𝑃𝑇 a
𝐵𝑃 vypočítame 𝐵𝑇
𝟐
Poznámočka: Liou Chuejov vzťah
2
𝑎2𝑛
2
𝑎𝑛
= 1− 1−
2
2
𝑎𝑛
+
2
2
možno upraviť na tvar
𝒂𝟐𝒏 =
𝟐 − 𝟒 − 𝒂𝒏
𝟐
Ten používal pri výpočte strán vpísaných
n-uholníkov indický matematik
Bhaskara (1114-1185)
Späť k Liou Chuejovi: Odhad zhora
rozdiel medzi
obsahom vpísaného
2n-uholníka a
vpísaného nC
uholníka
U
X
𝑃2𝑛 < 𝜋 < 𝑃2𝑛 + 𝑃2𝑛 − 𝑃𝑛
obsah vpísaného
pravidelného 2nuholníka
S
obsah vpísaného
pravidelného nuholníka
B
ak tento
rozdiel pridám
k obsahu
vpísaného 2nuholníka,
dostanem
obsah väčší
ako je obsah
kruhu
Zu Chongzhi - Ču Čungdži (429-501)
祖沖之
𝟑𝟓𝟓
𝝅≈
𝟏𝟏𝟑
Archimedes počítal obvod pravidelného 96-uholníka (96 = 3 ∙ 25 ), Ču Čungdži
obvod pravidelného 12 288-uholníka (12 288 = 3 ∙ 212 )
3,141 592 6 < 𝝅 < 3,141 592 7
Rekonštrukcia objavu hodnoty
𝟑𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟑
ak
a+r
𝒂, 𝒃, 𝒓, 𝒔 > 𝟎
a
r
a
0
𝒂 𝒓
<
𝒃 𝒔
tak
s
b
b+s
𝒂 𝒂+𝒓 𝒓
<
<
𝒃 𝒃+𝒔 𝒔
vieme, že
3<𝜋<
22
7
teda pre každé prirodzené 𝑥, 𝑦
3𝑥
22𝑦
<𝜋<
𝑥
7𝑦
potom aj
𝟑𝒙 + 𝟐𝟐𝒚
22
je medzi 3 a
𝒙 + 𝟕𝒚
7
chceme, aby približne platilo
𝟑𝒙 + 𝟐𝟐𝒚
= 𝟑, 𝟏𝟒𝟏 𝟓𝟗𝟐 𝟔
𝒙 + 𝟕𝒚
3𝑥 + 22𝑦 = 3,1415926𝑥 + 21,9911482𝑦
0,0088518𝑦 = 0,1415926𝑥
𝒚=
0,1415926
𝑥 = 15,99591 … 𝑥 ≈ 𝟏𝟔𝒙
0,0088518
𝟑𝒙 + 𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟔𝒙 𝟑 + 𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟔 𝟑𝟓𝟓
=
=
𝒙 + 𝟕 ∙ 𝟏𝟔𝒙
𝟏 + 𝟕 ∙ 𝟏𝟔
𝟏𝟏𝟑
Džamšíd Ghijáth ad-Dín al-Káší
‫غیاث‌الدین‌جمشید‌کاشانی‬
(cca 1380-1429)
Al-Risála al-muhítíja (Traktát o obvode kruhu), 1424
Al-Káší počítal hodnotu 2π, preto jeho postup opíšeme pre kruh
s polomerom 1 (ktorého obvod je 2π).
X
𝑎𝑛 =
strana pravidelného
n-uholníka
vpísaného do kružnice =
360°
crd
𝑛
𝑏𝑛 =
360°
crd 180° −
𝑛
A
360°
180° −
𝑛
S
𝒂𝒏 =
360°
𝑛
1
𝟒 − 𝒃𝒏
𝟐
B
Al-Káší odvodil vzťah medzi „doplnkovými“
tetivami 𝑏𝑛 a 𝑏2𝑛
𝒃𝟐𝒏 =
𝟐 + 𝒃𝒏
crd 180° −
360°
2𝑛
2 + crd 180° −
360°
𝑛
t.j.
𝑏6 = 3
𝑏48 =
𝑏12 =
=
𝑏24 =
2+ 3
2+ 2+ 2+ 3
𝑏96 =
2+ 2+ 3
2+ 2+ 2+ 2+ 3
Aj teraz môžeme robiť múdrych pomocou goniometrie:
do
crd 180° −
dosadíme
2 sin
dostaneme
upravíme
označíme 𝑥 =
2 cos 𝑥 =
crd 𝛽 = 2 sin
180° −
2
2 sin 90° −
2 cos
180°
2𝑛
2 1 + cos 2𝑥 ,
360°
=
2𝑛
180°
=
2𝑛
360°
2𝑛 =
180°
2𝑛
=
2 + crd 180° −
360°
𝑛
𝛽
2
2 + 2 sin
180° −
2
360°
𝑛
2 1 + sin 90° −
2 1 + cos
180°
𝑛
180°
𝑛
a máme
t.j.
cos 𝑥 =
1+cos 2𝑥
2
šťastní zomierame
Al-Káší
• začal s „doplnkovou“ tetivou k strane
pravidelného 6-uholníka 𝑏6 = 3
• opakovaným použitím svojho vzťahu našiel
dĺžku „doplnkovej“ tetivy k strane
pravidelného 3 ∙ 228 = 805 306 368uholníka
• vypočítal pomocou Pytagorovej vety dĺžku
strany vpísaného pravidelného 3 ∙ 228 uholníka
• tú vynásobil číslom 3 ∙ 228
Tak (spolu s odhadom zhora pomocou obvodu opísaného
pravidelného 3 ∙ 228 -uholníka) našiel prvých 15 cifier za desatinnou
čiarkou v zápise čísla 2π.
𝑛
počet strán
vpísaného
𝑛-uholníka
6
24
96
384
1 536
6 144
24 576
98 304
393 216
1 572 864
6 291 456
25 165 824
100 663 296
402 653 184
805 306 368
𝑏𝑛
dĺžka „doplnkovej“ tetivy
1,732 050 807 568 877 293 5
1,982 889 722 747 620 822 3
1,998 929 174 952 731 288 9
1,999 933 067 834 802 206 9
1,999 995 816 717 800 362 1
1,999 999 738 544 777 074 1
1,999 999 983 659 048 233 3
1,999 999 998 978 690 513 3
1,999 999 999 936 168 157 1
1,999 999 999 996 010 509 8
1,999 999 999 999 750 656 9
1,999 999 999 999 984 416 1
1,999 999 999 999 999 026 0
1,999 999 999 999 999 939 1
1,999 999 999 999 999 984 8
𝑛 ∙ 𝑎𝑛 𝑛 ∙ 4 − 𝑏𝑛 2
=
2
2
polovica obvodu vpísaného 𝑛uholníka (dolný odhad čísla π)
3,000 000 000 000 000 000 0
3,132 628 613 281 238 197 2
3,141 031 950 890 509 638 1
3,141 557 607 911 857 645 5
3,141 590 463 228 050 095 7
3,141 592 516 692 157 447 6
3,141 592 645 033 690 896 7
3,141 592 653 055 036 841 7
3,141 592 653 556 370 963 7
3,141 592 653 587 704 346 3
3,141 592 653 589 662 682 7
3,141 592 653 589 785 078 7
3,141 592 653 589 792 728 5
3,141 592 653 589 793 206 6
3,141 592 653 589 793 230 5
Ludolph van Ceulen
(1540-1610)
z obvodu vpísaného a opísaného
pravidelného 262 -uholníka (teda
4 611 686 018 427 387 904uholníka) našiel π s presnosťou na
35 desatinných miest (podľa neho
sa π niekedy nazýva Ludolfovo
číslo).
Willebrord Snell
(1580 - 1626)
Christiaan Huygens
(1629-1695)
nebolo treba až tak sa namáhať
1621 ukázal van Ceulenov žiak
Willebrord Snell, že rovnakú
presnosť možno dosiahnuť
s podstatne menším množstvom
výpočtov.
Jeho úvahy doplnil a precízne dokázal
v r. 1654 Christiaan Huygens.
Nerovnosti
𝑣𝑛 < 𝜋 < 𝑜𝑛
možno nahradiť presnejšími odhadmi
𝟏
𝟐
𝟏
𝒗𝒏 + 𝒗𝒏 − 𝒗𝒏/𝟐 < 𝝅 < 𝒗𝒏 + 𝒐𝒏
𝟑
𝟑
𝟑
Dokážete priradiť k textu vzorec?
𝟏
𝒗𝒏 + 𝒗𝒏 − 𝒗𝒏/𝟐 < 𝝅
𝟑
𝟐
𝟏
𝝅 < 𝒗𝒏 + 𝒐𝒏
𝟑
𝟑
Christiaan Huygens: De circuli magnitudine inventa (1654)
𝑛
𝑣𝑛
𝑜𝑛
4
1
𝑣𝑛 − 𝑣𝑛/2
3
3
2
1
𝑣𝑛 + 𝑜𝑛
3
3
6
3,000 000 000 00
3,464 101 615 14
12
3,105 828 541 23
3,215 390 309 17
3,141 104 721 640 332
3,142 349 130 544 657
24
3,132 628 613 28
3,159 659 942 10
3,141 561 970 631 568
3,141 639 056 219 993
48
3,139 350 203 05
3,146 086 215 13
3,141 590 732 968 744
3,141 595 540 408 390
96
3,141 031 950 89
3,142 714 599 65
3,141 592 533 505 057
3,141 592 833 808 796
192
3,141 452 472 29
3,141 873 049 98
3,141 592 646 083 780
3,141 592 664 850 249
384
3,141 557 607 91
3,141 662 747 06
3,141 592 653 120 656
3,141 592 654 293 521
768
3,141 583 892 15
3,141 610 176 60
3,141 592 653 560 472
3,141 592 653 633 775
1 536
3,141 590 463 23
3,141 597 034 32
3,141 592 653 587 961
3,141 592 653 592 542
3 072
3,141 592 106 00
3,141 593 748 77
3,141 592 653 589 679
3,141 592 653 589 965
6 144
3,141 592 516 69
3,141 592 927 39
3,141 592 653 589 786
3,141 592 653 589 804