Transcript Euklidove Základy

Euklidove Základy
Monika Vrabcová
Ma-Ge
2. ročník Mgr.
Euklides z Alexandrie
(365 – 280 pred n.l.)
Euklides študoval v platónskej akadémii v Aténach a
neskôr pôsobil v Alexandrii (starogrécky matematik)
Je autor diela Základy (Stoicheia, lat. Elementa), v ktorom
spresnil deduktívne chápanie matematiky založené na
definíciach, všeobecných pojmov, t.j. na súhrne princípov,
ktoré dnes označujeme ako axiómy, a na vzájomne od seba
nezávislých postulátoch.
Celé dielo Základy pojednáva o rovinnej geometrii, teórii
čísiel a priestorovej geometrii (vrátane Platónových piatich
pravidelných telies)
Prehľad Základov
Dielo Základy (Stoicheia) má 13 kníh, ak
nepočítame 2, prepísané neskôr iným
autorom. V knihách je 14 axióm, 113
vymedzení, 465 tvrdení, z nich 92
konštrukcií; 27 dôsledkov a 19 liem.
Nasledujúci prehľad uvádza číslo a nadpis
knihy(vymyslený autormi použitej literatúry)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Základné vety planimetrie
Obsahy trojuholníkov a štvoruholníkov. Zostrojiť
zlatý rez; veta kosínusová; zostrojiť štvorec, ktorého
obsah je rovnaký ako obsah daného obdĺžnika.
Kruh a kružnica. Veta o stredovom a obvodom uhle;
Tálesova veta; veta o mocnosti bodu ku kružnici.
Konštrukcie pravidelných n-uholníkov. Do danej
kružnice vpísať pravidelný 5-,6-,15-uholník
Veličiny a:xb:xa b; a:b=e:f, b:c=d:ea:c=d:f
Podobnosť a obsahy. Trojuholníky s úmernými
stranami sú podobné; podobnosť trojuholníkov je
relácia tranzitívna; zostrojiť útvar s daným útvarom
a majúci daný obsah
7. Prirodzené čísla, deliteľnosť. K daným a, b, c N
nájdite D(a, b, c); ak a/b = c/d a D(c,d) =1, tak a/c N
8. Spojité úmery. Ak sú a1, a2, …, an spojité úmerne a
a1|an, tak a1|a2 ; a2 |b2  a |b ;ak sú a, b, c spojité úmerne
a aN, tak aj c N
9. Teória parity a prvočísla. Prvočísel je ako ľubovoľné
dané číslo; veta o súčte geometrického radu; ak
p=1+2+4+…+2n je prvočíslo, tak p.2n je číslo dokonalé.
(prirodzené číslo sa volá dokonalé,ak je súčtom všetkých svojich deliteľov menších od
neho;napr. 6=3+2+1)
10. Teória kvadratických iracionalít. a/b Q. c/b Q  a/
Q: a, b N, a; b Q  (b + b )2 Q
11. Základné vety stereometrie. Dve rôznobežné roviny sa
pretínajú v priamke; z bodu viesť kolmicu k rovine;
protiľahlé steny rovnobežnostena sú zhodné
12. Objemy. Pomer obsahov podobných mnohouholníkov
vpísaných do 2 rôznych kružníc sa rovná pomeru
obsahov štvorcov nad priemermi týchto kružníc; objem
kužeľa je tretina objemu valca s tou istou základňou a
výškou.
13. Platónske telesá. Do danej guľovej plochy s
priemerom d vpísať tetraéder a dokázať, že dĺžka jeho
hrany je d. (2/3) ; analogické tvrdenie o oktaédri,
kocke, ikosaédri a dodekaédri.
Základné pojmy
Napr.
Bod je, čo nemá časti.
Čiara je dĺžka bez šírky.
Koncami čiary sú body.
Priama čiara je tá, ktorá je rovnaká ku svojím
bodom.
Čiara sa nevymedzuje ako „dráha pohybujúceho sa bodu“, lebo pohyb do
sveta nemenných ideií nepatrí. Preto sa ani v celých Základoch
nevymedzuje iná čiara ako priamka, kružnica a ich časti.
Axiómy (zásady)
Čo sa navzájom kryje, navzájom rovné je.
Všetky pravé uhly sú sebe rovné.
Celok je väčší než jeho časť.
Veličiny tomu rovné i navzájom rovné sú.
Keď sa pridávajú veličiny rovné k rovným, i celky sú
rovné.
Odoberieme od rovných rovné, zostávajúce časti sú
rovné.
Keď sa pridajú k nerovným rovné, celky sú nerovné.
Dvojnásobok toho istého rovný je.
Polovičky toho istého rovné sú.
(Dve samotné úsečky žiadne miesto neohraničujú)
Postuláty (úlohy prvotné)
Vytvoriť úsečku, ktorá spája dva dané body.
Danú úsečku na jednej i druhej strane
predĺžiť tak ďaleko, ako potrebujeme
(a pochopiteľne v súlade s prvým princípom zachytávajúcim
Euklidove poňatie geometrie len tak ďaleko, kam dovidíme)
Vytvoriť kruh o danom strede, na jeho obvode leží
daný bod (rozumie sa rôzny od daného stredu).
III. Dané sú dve úsečky nerovné, odober od väčšej
úsečky rovnú úsečke menšej. (Kniha prvá)
VI. Keď sú si v trojuholníku dva uhly rovné, tiež
strany proti tým istým ležiacim uhlom budú si rovné.
(Kniha prvá)
Zostrojenie rovnostranného
mnohouholníka
5-uholník rovnostranný a rovnouhlý
15-uholník rovnostranný a rovnouhlý
Euklidova veta
Dôkaz Euklidovej vety
Príloha - Pappova úloha
„Sú dané tri rôzne prvky (kružnice, priamky, body), z nich
aspoň jedna je kruhová krivka a aspoň jeden je bod,
pričom ten bod leží na danej kruhovej krivke. Zostrojte
kružnicu, ktorá sa dotýka zadanej kruhovej krivky v danom
bode a ďalej sa dotýka ďalšej kruhovej krivky alebo
prechádza ďalším zadaným bodom.“
uvedomením si, že jedným zo zadaných prvkov je vždy
bod a druhým priamka alebo kružnica, môžeme ľahko
určiť počet možných variant úloh – 6 podúloh.
Úloha typu BpT
Zostrojte kružnicu l, ktorá sa dotýka danej
priamky p v danom bode T a prechádza
ďalším daným bodom B.
Ak bod B leží na priamke p, úloha nemá riešenie. V ostatných prípadoch má úloha práve jedno riešenie.
Úloha typu kkT
Zostrojte kružnicu l, ktorá sa dotýka dvoch
daných kružníc k1(S1,r1), k2(S2,r2) a
prechádza bodom T, ktorý leží na jednej z
kružníc.
Ku kružnici k2 možno viesť 2 dotyčnice, vzniknú 2 body dotyku,zostrojíme dve priamky TP,
každá priamka TP pretne kružnicu k2 v jednom bode, vznikú 2 stredy rovnnoľahlosti. Úloha má 2
riešenia.
Použitá literatúra:
Eukleides, Základy (Knihy I – IV), komentované Petrom Vopěnkou,
NYMBURK, 2008
Štefan Znám, Lev Bukovský, Milan Hejný, Jozef Hvorecký, Beloslav
Riečan: Pohľad do dejín Matematiky, Alfa, Bratislava, 1986
http://sk.wikipedia.org/wiki/Euklides
http://sk.wikipedia.org/wiki/Euklidova_veta
http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/papp/papp.html
http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/papp/papp_bpt.html
http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/papp/papp_kkt.html
www.gamca.sk/~madm/download/m/Dokazy.doc
Ďakujem za pozornosť.