Dvaja pátrači (Prvočísla, počítače a šifrovanie údajov) GAS Krupina Sekunda December 2005 Jana Hriňová Paulína Chobodová Peter Láslo Vladimír Paulíny Prirodzené čísla: • číslo 1 • prvočísla (2,3,5,7,...) • zložené čísla (4,6,8,9,10,...) Eratostenes.
Download ReportTranscript Dvaja pátrači (Prvočísla, počítače a šifrovanie údajov) GAS Krupina Sekunda December 2005 Jana Hriňová Paulína Chobodová Peter Láslo Vladimír Paulíny Prirodzené čísla: • číslo 1 • prvočísla (2,3,5,7,...) • zložené čísla (4,6,8,9,10,...) Eratostenes.
Dvaja pátrači (Prvočísla, počítače a šifrovanie údajov) GAS Krupina Sekunda December 2005 Jana Hriňová Paulína Chobodová Peter Láslo Vladimír Paulíny Prirodzené čísla: • číslo 1 • prvočísla (2,3,5,7,...) • zložené čísla (4,6,8,9,10,...) Eratostenes z Kyrény Prvočíslo – má práve dva rôzne delitele: číslo 1 a samé seba Zložené číslo – má aspoň tri rôzne delitele Eratostenes (asi 276 – 194 p. n. l.) Eratostenovo sito 11 21 31 41 51 61 71 81 91 násobky 2 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 násobky 3 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 násobky 5 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 násobky 7 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Trojuholníkové a štvorcové čísla • 3=2+1 • 4=2.2 • 6=1+2+3 • 9=3.3 • 10=1+2+3+4 • 25=5.5 Dokonalé čísla a nerozluční priatelia Dokonalé čísla – rovnajú sa súčtu svojich menších deliteľov: 6=1+2+3 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 Nerozluční priatelia – každé číslo sa rovná súčtu deliteľov druhého: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 Ako sa dajú vypočítať niektoré prvočísla •Fermatove prvočísla 2n Fn 2 1, n 0,1,2,.... F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65 5373 F5 = 4 294 967 297 = 641 . 6 700 417 •Mersennove prvočísla M p 2 p 1, p prvočíslo •Faktoriálové prvočísla n!1 •Euklidove prvočísla 2.3.5.....p 1 •Cullenove prvočísla n.2n 1 n.2n 1 •Woodallove prvočísla Marin Mersenne 23 560 cifier 145 072 cifier 45 468 cifier Prvé Mersennove prvočísla P. č. p Mp Cifier v Mp 1. 2 3 1 2. 3 7 1 3. 5 31 2 4. 7 127 3 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13 17 19 31 61 89 107 127 8191 131071 524287 2147483647 2,30584E+18 618970019…449562111 162259276…010288127 170141183…884105727 4 6 6 10 19 27 33 39 Dátum objavu veľmi dávno veľmi dávno veľmi dávno veľmi dávno Objaviteľ 1456 neznámy St. Grécko neznámy St. Grécko neznámy St. Grécko neznámy St. Grécko neznámý 1588 Cataldi 1588 Cataldi 1772 Euler 1883 Pervušin 1911 Powers 1914 Powers 1876 Lucas Vzorec pre výpočet Mersennových prvočísel: M p 2 p 1, p prvočíslo Prvé Mersennove prvočísla nájdené pomocou počítačov P. č. p Mp 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 521 607 1 279 2 203 2 281 3 217 4 253 4 423 9 689 9 941 11 213 19 937 686479766…115057151 531137992…031728127 104079321…168729087 147597991…697771007 446087557…132836351 259117086…909315071 190797007…350484991 285542542…608580607 478220278…225754111 346088282…789463551 281411201…696392191 431542479…968041471 Cifier v Mp 157 183 386 664 687 969 1 281 1 332 2 917 2 993 3 376 6 002 Dátum objavu Objaviteľ 30. januára 1952 30. januára 1952 25. júna 1952 7. októbra 1952 9. októbra 1952 8. septembra 1957 3. novembra 1961 3. novembra 1961 11. mája 1963 16. mája 1963 2. júna 1963 4. marca 1971 Robinson Robinson Robinson Robinson Robinson Riesel Hurwitz Hurwitz Gillies Gillies Gillies Tuckerman Vzorec pre výpočet Mersennových prvočísel: M p 2 p 1, p prvočíslo Ďalšie Mersennove prvočísla P. č. p Mp Cifie r v Mp 25. 21 701 448679166…511882751 6 533 30. októbra 1978 Noll a Nickel 26. 23 209 402874115…779264511 6 987 9. februára 1979 Noll 27. 44 497 854509824…011228671 13 395 8. apríla 1979 Nelson a Slowinski 28. 86 243 536927995…433438207 25 962 25. septembra 1982 Slowinski 29. 110 503 521928313…465515007 33 265 28. januára 1988 Colquitt a Welsh 30. 132 049 512740276…730061311 39 751 31. 216 091 746093103…815528447 65 050 32. 756 839 174135906…544677887 227 832 33. 859 433 129498125…500142591 258 716 10. januára 1994 34. 1 257 787 412245773…089366527 378 632 Dátum objavu 20. septembra 1983 6. septembra 1985 19. februára 1992 3. septembra 1996 Objavite ľ Slowinski Slowinski Slowinski a Gage Slowinski a Gage Slowinski a Gage Vzorec pre výpočet Mersennových prvočísel: M p 2 p 1, p prvočíslo GIMPS – Veľké internetové pátranie po Mersennových prvočíslach P. č. p Mp Cifier v Mp Dátum objavu Objaviteľ 35. 1 398 269 814717564…451315711 420 921 13. novembra 1996 GIMPS / Joel Armengaud 36. 2 976 221 623340076…729201151 895 932 24. augusta 1997 37. 3 021 377 127411683…024694271 909 526 27. januára 1998 38. 6 972 593 437075744…924193791 2 098 960 1. júna 1999 39.* 13 466 917 924947738…256259071 4 053 946 14. novembra 2001 17. novembra 2003 40.* 20 996 011 125976895…855682047 6 320 430 41.* 24 036 583 299410429…733969407 7 235 733 15. mája 2004 42.* 25 964 951 122164630…577077247 7 816 230 18. februára 2005 GIMPS / Gordon Spence GIMPS / Roland Clarkson GIMPS / Nayan Hajratwala GIMPS / Michael Cameron GIMPS / Michael Shafer GIMPS / Josh Findley GIMPS / Martin Nowak Vzorec pre výpočet Mersennových prvočísel: M p 2 p 1, p prvočíslo Využívanie veľkých prvočísel • kryptografia – šifrovanie údajov • testovanie hardvéru a softvéru • konštrukcia niektorých zariadení (napr. tomograf) Prvočísla - sú základným stavebným blokom moderných kryptografických algoritmov a protokolov (ako napr. digitálne podpisy, šifrovanie verejným kľúčom a pod.) Kryptografia je vedecká disciplína, ktorá sa zaoberá šifrovaním dát pomocou matematických metód. Princíp novodobej kryptografie: Je jednoduché vynásobiť veľké prvočísla, ale dosť ťažké tento súčin rozložiť späť na prvočinitele. Vznikol nový algoritmus, ktorý dostal názov RSA. Pretože doteraz nebol vymyslený žiadny rýchly postup na faktorizáciu (rozklad) veľkého čísla, je algoritmus RSA bezpečný.