Transcript Document
LIMITE IN ZVEZNOST
REKURZIVNA ZAPOREDJA
REKURZIVNA ZAPOREDJA
x0 a
x0 1
xn 1 f ( xn ),
n 0,1, 2, 3,...
xn xn 1 0.5
(aritmetično zaporedje)
x0 1
x n 1.25 x n 1
(geometrično zaporedje)
x0 0.6
xn
17 xn 1
xn 1
1
6
6
xn 1 4
2
x0 0.2
MATEMATIKA 1
xn
2 xn 1
1
LIMITE IN ZVEZNOST
x0 a
REKURZIVNA ZAPOREDJA
xn 1 f ( xn ),
n 0,1, 2, 3,...
Privzemimo, da je f zvezna.
Če zaporedje konvergira, potem za x lim xn velja
n
x lim f ( xn 1 ) f (lim xn 1 ) f ( x)
n
n
Edine možne limite rekurzivnega zaporedja so rešitve enačbe f(x)=x.
Točka x je negibna točka preslikave f, če velja f(x)=x.
Negibne točke f so edini kandidati za limite rekurzivnega zaporedja, določenega z f.
Ali zaporedje konvergira in katera negibna točka je limita, je odvisno od začetnega člena.
MATEMATIKA 1
2
LIMITE IN ZVEZNOST
REKURZIVNA ZAPOREDJA
Obstoj limite: grafično
xn 1 4
2
x0 0.5
xn
x 4
2
x
2 xn 1
2x x 4
2
2
x 2
2x
yx
n
xn
0
1
2
3
4
5
…
0.50
4.25
2.59
2.07
2.00
2.00
…
2
y
2x
2.07
0.50
MATEMATIKA 1
x 4
2.59
4.25
2
3
LIMITE IN ZVEZNOST
REKURZIVNA ZAPOREDJA
Obstoj limite: analitično
Če za primeren k 1 velja
| f ( x ) f ( x ) | k | x - x |
za vse x, x I ,
potem pravimo, da je funkcija f skrčitev na intervalu I ,
Privzemimo, da je f skrčitev na intervalu I okoli negibne točke x.
xn I
| x x n 1 || f ( x ) f ( x n ) | k | x x n |
| x xn m | k
m
| x xn |
lim x n x
n
Za takšno negibno točko pravimo, da je privlačna negibna točka (atraktor).
Rekurzivno zaporedje, ki se približa privlačni
negibni točki, proti tej točki tudi konvergira.
| f ( x ) | 1
MATEMATIKA 1
x
je privlačna negibna točka.
4
LIMITE IN ZVEZNOST
REKURZIVNA ZAPOREDJA
x n ax n 1 (1 x n 1 )
a4
( f ( x ) ax (1 x ))
a 2.9
x
a 1
a
f ( x ) 2 a
Negibna točka je privlačna, če graf
funkcije poteka skozi senčeno območje.
a 2, 2.9 privlačni negibni točki
a4
MATEMATIKA 1
a2
odbojna negibna točka
5
LIMITE IN ZVEZNOST
REKURZIVNA ZAPOREDJA
Obnašanje zaporedja
x 0 0.2,
x n 1 a x n 1 x n
za različne izbire parametra a :
a 2.9
a2
a4
MATEMATIKA 1
6
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
VRSTE
Ali je mogoče sešteti neskončno števil, npr. vse člene nekega zaporedja?
x1 x2 x3 ... ?
1
1
32
16
1
8
1
2
1
2
1
4
1
8
1
16
1
... 1
32
1
4
MATEMATIKA 1
7
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
x1 x2 x3 ...
s1 x1
s2 x1 x2
s3 x1 x2 x3
.....
sn x1 x2 ... xn
.....
zaporedje delnih vsot
Vsoto vrste opredelimo kot limito zaporedja delnih vsot.
x1 x2 x3 ... lim sn
n
MATEMATIKA 1
8
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
a aq aq ... aq
2
n 1
... ?
sn a aq aq ... aq
2
a
1 q
1 q
lim a
n
1 q
ne obstaja
n
1
2
1
6
1
12
1
...
20
sn (1
1
2
)(
1
k ( k 1)
... ?
n 1
a
1 q
n
1 q
za 1 q 1
za q ( 1,1)
1
k ( k 1)
1
k
1
k 1
1
1
1 1
1
1
1
) ( ) ...
1
2 3
3 4
n n 1
n 1
lim 1
n
MATEMATIKA 1
(geometrijska vrsta)
1
n 1
1
9
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
Harmonična vrsta
1
sn 1
1
1
2
1
3
1
4
1
2
1
5
1
6
1
7
1
2
1
1
1
...
1
2
3
4
k
1
1
1
1
2
3
1
8
...
4
1
n
...
9
1
16
1
2
... ?
n
k 1
1
1
k
...
17
1
...
32
1
2
Čeprav se sumandi manjšajo, je vsota neskončna!
MATEMATIKA 1
10
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
VRSTE S POZITIVNIMI ČLENI (xn ≥ 0)
Zaporedje delnih vsot je naraščajoče.
Limito ima, ko je navzgor omejeno.
Primerjalna kriterija za konvergenco vrst
I.
0 xn yn
y
obstaja
n
1
II.
n
xn
obstaja
C 0, (tj. členi obeh vrst so primerljivo veliki)
yn
y
MATEMATIKA 1
n
1
0 xn , yn , in je lim
1
x
n
obstaja
x
n
obstaja
1
11
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
q
Geometrijska vrsta:
konvergira za q 1
n
1
1
n
Harmonična vrsta:
konvergira za r 1
r
1
Vrsto lahko seštejemo, če gre splošni člen dovolj hitro proti 0.
Hitrost konvergence ocenimo tako, da poiščemo primerljivo
geometrijsko ali harmonično vrsto.
n 1- n 1 ?
3
3
n 1
( n 1) ( n 1)
3
n 1- n 1
3
3
n 1
3
Ker je r
3
2
MATEMATIKA 1
3
n 1
3
=
2
n 1
3
1, vsota obstaja.
n 1
3
je primerljivo z
1
n
3
2
n 1- n 1 3.024
3
3
n 1
12
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
SPLOŠNE VRSTE
| x
n
| obstaja
1
x
n
obstaja
1
Ogledamo si, kako se spreminjajo delne vsote: razlika med m-to in n-to delno vsoto je |xm+…+ xn|, kar je
manj od |xm|+…+| xn|, kolikor je razlika delnih vsot vrste iz absolutnih vrednosti. Zato, če konvergira vrsta
iz absolutnih vrednosti, konvergira tudi osnovna vrsta.
ALTERNIRAJOČE VRSTE
Kaj pa 1
1
2
1
3
1
..., pri kateri prirejena vrsta iz absolutnih vrednosti divergira ?
4
x1 x2 x3 ... 0,
lim xn 0
n
za delne vsote velja : s2 s4 s6 ... s5 s3 s1
Razlika dveh zaporednih delnih vsot gre proti 0, zato po principu
sendviča zaporedje delnih vsot konvergira. Razlika med delno in
celotno vsoto je manjša od prvega člena, ki ga izpustimo.
S x1 x2 x3 x4 ...
MATEMATIKA 1
obstaja in
| S sn | xn 1
13