Transcript Document

LIMITE IN ZVEZNOST
REKURZIVNA ZAPOREDJA
REKURZIVNA ZAPOREDJA
x0  a
x0  1
xn 1  f ( xn ),
n  0,1, 2, 3,...
xn  xn 1  0.5
(aritmetično zaporedje)
x0  1
x n  1.25  x n 1
(geometrično zaporedje)
x0  0.6
xn 
17 xn 1 
xn 1 
1



6 
6 
xn 1  4
2
x0  0.2
MATEMATIKA 1
xn 
2 xn 1
1
LIMITE IN ZVEZNOST
x0  a
REKURZIVNA ZAPOREDJA
xn 1  f ( xn ),
n  0,1, 2, 3,...
Privzemimo, da je f zvezna.
Če zaporedje konvergira, potem za x  lim xn velja
n
x  lim f ( xn 1 )  f (lim xn 1 )  f ( x)
n
n
Edine možne limite rekurzivnega zaporedja so rešitve enačbe f(x)=x.
Točka x je negibna točka preslikave f, če velja f(x)=x.
Negibne točke f so edini kandidati za limite rekurzivnega zaporedja, določenega z f.
Ali zaporedje konvergira in katera negibna točka je limita, je odvisno od začetnega člena.
MATEMATIKA 1
2
LIMITE IN ZVEZNOST
REKURZIVNA ZAPOREDJA
Obstoj limite: grafično
xn 1  4
2
x0  0.5
xn 
x 4
2
x
2 xn 1

2x  x  4
2
2

x  2
2x
yx
n
xn
0
1
2
3
4
5
…
0.50
4.25
2.59
2.07
2.00
2.00
…
2
y
2x
2.07
0.50
MATEMATIKA 1
x 4
2.59
4.25
2
3
LIMITE IN ZVEZNOST
REKURZIVNA ZAPOREDJA
Obstoj limite: analitično
Če za primeren k  1 velja
| f ( x )  f ( x ) |  k | x - x  |
za vse x, x   I ,
potem pravimo, da je funkcija f skrčitev na intervalu I ,
Privzemimo, da je f skrčitev na intervalu I okoli negibne točke x.
xn  I

| x  x n 1 || f ( x )  f ( x n ) |  k | x  x n |
| x  xn m |  k
m
| x  xn |


lim x n  x
n
Za takšno negibno točko pravimo, da je privlačna negibna točka (atraktor).
Rekurzivno zaporedje, ki se približa privlačni
negibni točki, proti tej točki tudi konvergira.
| f ( x ) |  1
MATEMATIKA 1

x
je privlačna negibna točka.
4
LIMITE IN ZVEZNOST
REKURZIVNA ZAPOREDJA
x n  ax n 1 (1  x n 1 )
a4
( f ( x )  ax (1  x ))
a  2.9
x
a 1
a
f ( x )  2  a
Negibna točka je privlačna, če graf
funkcije poteka skozi senčeno območje.
a  2, 2.9 privlačni negibni točki
a4
MATEMATIKA 1
a2
odbojna negibna točka
5
LIMITE IN ZVEZNOST
REKURZIVNA ZAPOREDJA
Obnašanje zaporedja
x 0  0.2,
x n 1  a  x n  1  x n 
za različne izbire parametra a :
a  2.9
a2
a4
MATEMATIKA 1
6
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
VRSTE
Ali je mogoče sešteti neskončno števil, npr. vse člene nekega zaporedja?
x1  x2  x3  ...  ?
1
1
32
16
1
8
1
2
1
2

1
4

1
8

1
16

1
 ...  1
32
1
4
MATEMATIKA 1
7
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
x1  x2  x3  ...
s1  x1
s2  x1  x2
s3  x1  x2  x3
.....
sn  x1  x2  ...  xn
.....
zaporedje delnih vsot
Vsoto vrste opredelimo kot limito zaporedja delnih vsot.
x1  x2  x3  ...  lim sn
n
MATEMATIKA 1
8
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
a  aq  aq  ...  aq
2
n 1
 ...  ?
sn  a  aq  aq  ...  aq
2
a

1 q

1 q
lim a

n
1 q
ne obstaja

n
1
2

1

6
1
12

1
 ... 
20
sn  (1 
1
2
)(
1
k ( k  1)
 ...  ?
n 1
a
1 q
n
1 q
za  1  q  1
za q  ( 1,1)
1
k ( k  1)

1
k

1
k 1
1
1
1 1
1
1
1
 )  (  )  ...  
 1
2 3
3 4
n n 1
n 1
lim 1 
n
MATEMATIKA 1
(geometrijska vrsta)
1
n 1
1
9
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
Harmonična vrsta
1
sn  1 
1
1

2
1

3

1
4
1
2

1
5

1

6

1
7
1
2
1

1

1
 ... 
1
2
3
4
k
1
1
1
1

2


3
1
8

 ... 
4
1
n
 ... 
9
1
16

1
2
 ...  ?
n

k 1

1
1
k
 ... 
17
1
 ...
32

1
2
Čeprav se sumandi manjšajo, je vsota neskončna!
MATEMATIKA 1
10
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
VRSTE S POZITIVNIMI ČLENI (xn ≥ 0)
Zaporedje delnih vsot je naraščajoče.
Limito ima, ko je navzgor omejeno.
Primerjalna kriterija za konvergenco vrst
I.
0  xn  yn

y

obstaja 
n
1
II.
n
xn
obstaja
 C  0,  (tj. členi obeh vrst so primerljivo veliki)
yn

y
MATEMATIKA 1
n
1
0  xn , yn , in je lim
1
x

n
obstaja

x
n
obstaja
1
11
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE

q
Geometrijska vrsta:
konvergira za q  1
n
1

1
n
Harmonična vrsta:
konvergira za r  1
r
1
Vrsto lahko seštejemo, če gre splošni člen dovolj hitro proti 0.
Hitrost konvergence ocenimo tako, da poiščemo primerljivo
geometrijsko ali harmonično vrsto.


n  1- n  1   ?
3
3
n 1
( n  1)  ( n  1)
3
n  1- n  1 
3
3
n 1 
3
Ker je r 
3
2
MATEMATIKA 1
3
n 1
3
=
2
n 1 
3

 1, vsota obstaja.

n 1
3
je primerljivo z
1
n
3
2
n  1- n  1   3.024
3
3
n 1
12
LIMITE IN ZVEZNOST
VRSTE
SPLOŠNE VRSTE

| x
n

| obstaja 
1
x
n
obstaja
1
Ogledamo si, kako se spreminjajo delne vsote: razlika med m-to in n-to delno vsoto je |xm+…+ xn|, kar je
manj od |xm|+…+| xn|, kolikor je razlika delnih vsot vrste iz absolutnih vrednosti. Zato, če konvergira vrsta
iz absolutnih vrednosti, konvergira tudi osnovna vrsta.
ALTERNIRAJOČE VRSTE
Kaj pa 1 
1
2

1
3

1
 ..., pri kateri prirejena vrsta iz absolutnih vrednosti divergira ?
4
x1  x2  x3  ...  0,
lim xn  0 
n
za delne vsote velja : s2  s4  s6  ...  s5  s3  s1
Razlika dveh zaporednih delnih vsot gre proti 0, zato po principu
sendviča zaporedje delnih vsot konvergira. Razlika med delno in
celotno vsoto je manjša od prvega člena, ki ga izpustimo.
S  x1  x2  x3  x4  ...
MATEMATIKA 1
obstaja in
| S  sn | xn 1
13