Показательная функция у = а Функция у = а х , где а D(у) = R; Е(у) = R+, (0;



0, а



х 1, называется показательной.



). у = 0 – горизонтальная асимптота.

Все графики пересекают ось У в точке (0; 1), т.к. а 0 = 1

а



1

У

0



а



1

У 1 1 Х Х При а > 1 функция возрастающая Большему значению степени соответствует большее значение показателя При 0 < а < 1 функция – убывающая Большему значению степени соответствует меньшее значение показателя

а



1

a

f(x) <

a

g(x)

f(x)

> <

g(x)

Знак неравенства не меняется

Золотое правило

0



а



1

a

f(x) <

a

g(x)

f(x)

< >

g(x)

Знак неравенства меняется Для решения преобразовать так, чтобы показательная функция (а показательной функции (а f(х) g(х) ) с одной стороны была больше (меньше) ) с другой

Решите неравенство: 1. 2 4х – 3 > ¼ 2 4х – 3 > 2 -2 4x – 3 > - 2, x > ¼ 2. 27 4х – 3 > 9 3 3(4х – 3) > 3 2 3(4x – 3) > 2, x > 11/12 3. 1/8·( ½ ) х(2 – х) < 8·( ½ ) 3x Ответ: ( ¼ ;∞) Ответ: ( 11/12 ;∞) ( ½ ) х(2 – х) + 3 < ( ½ ) 3x - 3 x 2 + x – 6 < 0 x 1 = - 3 x 2 = 2

+ +

-3 - 3 < x < 2 2 х Ответ: ( -3 ;2)

4 .

(   

x

 2 0 , 1 5    2 )

x



x x

2  1  1   5 2 25

x x

  2 1  2  0    1 5   

x

 2

x

 1

x

3

x

 1

+ -

 0     1 5     2

x

 2  2

x

 2

x

 1

x x

  2 1  0

х ≠ 1; х = 0

+

  2

х 0 1 0 ≤ x < 1 Ответ: [0 ;1) 5. 2 x+2 – 2 x+3 – 2 x+4 > 5 x+1 – 5 x+2 4· 2 x – 8·2 x – 16·2 x > 5·5 x – 25·5 x - 20· 2 x > - 20·5 x

   2 5   

x

 1    2 5   

x

    2 5    0

x < 0

Степени разнятся в два раза (а

f(x)

и а

2f(x)

)

1. Привести к одному основанию;

Алгоритм

2. Очистить показатель; 3. Сделать замену, записать ограничения; а f(x) = t , где t > 0 , т.к. множество значений показательной функции – это множество положительных чисел.

4. Решить неравенство с t до конца; 5. Отобрать решения с учетом ограничений;

Решите неравенство: 1. 9 х – 1 - 36·3 х – 3 + 3 > 0 3 2х – 2 - 36·3 х – 3 + 3 > 0 1/9·3 2х - 36/27 · 3 х + 3 > 0 3 2х - 12 · 3 х + 9·3 > 0 3 x = t t > 0 t 2 - 12 · t + 9·3 < 0

+ +

x < 3 3 9 x > 9 Ответ: ( -∞ ;3)U(9;∞) t 1/9·3 2х - 4/3 · 3 t 1 =3; t 2 = 9 х + 3 > 0

1. 3 х

3

x t



< 1 + 12·3

 1 1   12 3

x

12

t

- х

t

2 

t

 12 (

t



t

3 )(

t t

f(-10) < 0

  4 ) 0  0

3 x = t Помните! Неравенство к целому виду приводить нельзя. Приведите к общему знаменателю t ≠ 0; t = - 3; t = 4

-

3

+ -

0 9 t > 0

+

t t < - 3 0 < t < 9



t t

 3  0

Решений нет

 

t

0   0

t

 9  0 

t

 9 0 

x

3

x

  2 9

2. 5· 9 х - 18· 15 х + 9· 25 х ≤ 0 5· 3 2х - 18· 3 х ·5 х + 9· 5 2х ≤ 0 |: 5 2x

x

5  5

t

2 3 5  2

x

 18

t

 18   9  0 3 5  9  0

t

1 , 2  9  9 2  5  9 5  3 5

t

1 , 2  9  6 5

+ +

x



t

,

t

 0

t

1  3 5 ;

t

2  3

3/5 3 х

 

t

3 /  5 0 

t

 3  3 / 5 

t

3/5 ≤ t ≤ 3

 3

x

3 / 5  3 5  3 1 

x

 log 3 / 5 3

1 )

x

 4 1  3 

x

 5 3

ОДЗ: 3 – х ≥ 0, х ≤ 3

x

 4  4 3 

x у

 4  4

При х = 3 функция принимает наименьшее значение

у

 4  4 3  3 ,

y

 4

Е(у) = ( - ∞;4] Так как х ≤ 3, то



x

 24  4 4 1  3 

x

3 

x

 8 

x x

 4 1  3 

x

5 3

x

 4  4 3  4 3 

x

3 

x



x

 0 8  4

x

 3 

x

4 1   5 3 3 

x x

 

x



x

 4 1  3  4

Функция g(x) = x принимает значения (-∞;3] Следовательно, х = 3 f(x) 3 Ответ: 3 3

3 

x

g(x)

Решите систему:

  

x x

2   5 5

y y

  130 , 150

x

 

x x

   5

y



x

2 4   20  130 ,  5

y x

  134  4 

y x

  log 5 134 ,  4 1 )   

x x

2   5

y

5

y

  130 , 150

х 2 – х + 20 = 0

 

x x

 5

y

 5  130 ,  5

y x

  125  5

х

y

 3 ,

x

 5

1 = - 4, х 2 = 5 Ответ: (-4;log 5 134); (5;3)

 3

x

  9

x

 

y

2  , 3

x

 3  0 1 )  3

x

  9

x

 

y

, 2

y

 3   3  

y x

2  

y

, 2

y

 3  0   3

x

   

y y

  

y

,  3 1 , 

Заметим, что у > 0

x

 1 ,

y

 3

Решите систему:

1 )   2

y x

  5 2 

y



x

1 )   2

x x

 

y

2 

y

 5 12 , 12 ,   

y

2

x

  5  2 5 

x x

,  12   

y

2

x

  5 2  32

x x

,  12

t

 32

t

 12

t

2  12

t

 32  0

x y

  2 , 3

x

 3 ,

y

 2

t

1  4

t

2  8

2 х = t, t > 0

2

x

Ответ: (2;3); (3;2)

 4 2

x

 8 2 )  3   3 2

x x

  2 2

y y

/ 2   77 , 7

3 х = t, t > 0 2 y/2 = d, d > 0

 

t t

2  

d d

 2  7 77 , 

t

(

t

 

d d

)(

t

 7 

d

)  77 ,   3   2

x y

/ 2  9  , 2   

x y

  2 , 2

t t

 

d d

  11 7 ,   

t d

  9 , 2

Решите систему: t 2 – 17 t + 72 = 0

 3

x

  2

y

   9 8 ,

x

 2 ,

y

 3 1 )  3   3

x x

 2

y

 2

y

 72 ,  17

t 1 = 8, t 2 = 9

или

 3

x

  2

y

  8 ,  9  

x y

  log log 2 3 8 9 ,

Пусть 3 х и 2 у корни квадратного уравнения

1 )  2   2

x x

  5

y

7

y

 40 ,  56

Так как ни одно уравнение не может быть равным нулю, разделим 1-ое на 2-ое

2

x

2

x

  5 7

y y

40 ,

=

56 5 7

y y

5 ,

=

7    2

y x

  1 7 ,  56     2

y x

  1 , 8 

y

 1 ,

x

 3    5 7   

y

 5 7

y

 1

2 )    ( (

x x

  1 1 ) ) 3 5

x x

  5 3

y y

,

Так как при х = 1 и у = 0 получаем верные равенства, то они являются корнями системы Найдем другие корни системы путем деления.

 1     

x

 3 5  2   

x

  5  1  1 , 5 3  3

y

   3

x

5 

y



x

 1 ,   2 15 3 5

x

  1

Ответ: (1;0); (- 1;-2/15)

1 )  (   3

x x

 2  9

y x

 

y

81  4

y



x

 4

y



y

 2

x

,  (   3

x x



y

 3 2

y

)   2

x

81  (

x



y

)  4

y

 0 ,   (   3

x x

 2 

y y

)( 2

x

 4

y

)  0 ,  3 4

x x

  

y

2

y

  0 , 4

или

 2  

x x

  2 4

y y

  0 , 4 

x y

 

-

4

,

4

x x

  2

y

,  2

x y

  2 1 ,

Ответ: (-4;0); (2;1)

1 )    81 cos

x



y

1 3    4 2  9 cos sin cos 2

y y y

  3 1   0 , 0

Было бы ошибкой решать сразу первое уравнение системы.

x



Проанализируй оба уравнения! Выберите простое, используя «очевидное».

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, если каждое из них равно нулю.

3  cos 2

y

 1  0

Т.к |cos2y| ≤ 1

    x cos  2

y

3  1 0 ,  0 

x y

  3 ,  / 2  

n

,

n

Проверим первое уравнение:

 

y

9 2   cos(  1 / / 2  2  

n

2 )   

n

4 sin(   9 cos(  / 2  / 2  

n

 )

n

)  3  0 cos( 9 2 cos(   / 2 / 2  

n

)    4

n

)   0

при любом n

9 cos(  / 2  

n

)

Равенство верно

 3  0  sin(  / 2  

n

)  1

при n



четном

sin(  / 2  

n

)   1

при n



Z

нечетном

1  2 sin(  / 2  2 

n

)

Решений нет

  1 1  2

y

sin( 3   3  / / 2 2   2 2 

n

) 

n



Ответ: (3; 3π/2+2πn), n € Z

3

2 )  3    3

tgy x

 2   2  3  6 cos

tgy y

,  0

Из второго уравнения:

3  3

tgy

3

tgy

 1  3

t

/ 2 2   1 / 2

t

3

tgy

 1   3 ,

tgy

0 0   

t

1

t

2   1 3   3  2

tgy

1 ,  1 / 3

y

  2  3

tgy

 1  0 3

tgy



Посторонний корень

  / 4  

n

,

n



Z

   6

x

 cos 2

y

  0 0 ,  cos

y

 0

t

,

t

 0

Т.к. cosy ≤ 0, отметим на окружности соответствующую дугу и нанесем корни у = - π/4 + πn

3



/4

Следовательно,

y

 3  / 4  2 

n

,

n



Z

Найдем х из второго уравнения: -



/4

x

 2  6 cos( 3  / 4  2 

n

)  0

x

 2  6  2  0

x

 2  3 2 , 2

Ответ: (20; 3π/4+2πn), n € Z

x

 2  18 ,

x

 20

1 )    8 9 3 

x

2 4

x



x

  0 , 125 12  3 

x

2     32 5 2  3    2 2  4

x

 2

x

,  0

Приведем систему в стандартный вид 1 2

 2 3 (   3 2 ( 3  4

x

2 

x x

) )  2  3  12  2 9 / 2 ( 2  4

x

) ,  3

x

2  5  3 2

x

 2  0

Решим 1 неравенство:

2 3 ( 3  4

x

)  2  3  2 9 / 2 ( 2  4

x

) 

Решим 2 неравенство:

2 6  12

x

 3 2 9  18

x

2 (

x

2 

x

)   12  6 3

x

2  12  5

x

  3 2 9

x

 2  18  0

x



x



Так как основания одинаковые, а показатели не приводятся к одному, попробуем разложить на множители:

2 3 2

Т.к. 3 2х

(

x

2 

x

)  12  3

x

2  5  3 2

x

 2  0

> 0 умножим обе части на 3 2х

3 3 2 2

x x

 3 2

x

12 2   3

x

12 2   3

x

45 2   3 2 3

x

2

x

  0 45  3 4

x

 0 1 / 2 3 2

x

2  15  3

x

2  3 2

x

 45  3 4

x

 3  3

x

2  3 2

x

 0

x

2 ( 3

-

2

x

2  15

x -

1   3 2

x

)( 3

x

2 0

x

1   3 1  3 2 

x

Ответ:

[ 1  2 ; 1 / )  2 0 ,

x

3 

x

2 1    1

x

  2 1 / 2 2   3  

x

3 2 2 

x

2 )  1  0 3

x

2 ( 3

x

2  15  3 2

x

)  3  3 2

x

( 15  3 2

x

 3

x

2 )  0  3

x

2  2

x

1  2  1   2 3 

x

2

-

2

x -

1 

x

 1 2 

x

 1 / 2  2  0

2 )   3 2

x x x

2   3  3  5 3 

x x

 

x

4 ,

1



2

  3 2

x x

2  3  / 3 5

x x x

   3 4 ,

x

2  3

x

 0 3

x



t

,

t

 0

1 2

t

2 3

x

  4

t

1  3 /  3  3 x 3

x

  0

t

1 3 4  3 2

x

 4  3

x

 3  0  1 ,

t

2 0 

x

  3 1 1  t 2

x

2  5

x x

  3

x

2  3

x

 0 

x

2  2

x x

 3  0  3

х ≠ 3, х = 0, х = 2

+ + -

0 2 3

   0

x

 

x

3  2

,

  0    0

x

  

x x

3   1 2

,

 0 

x

 1

Ответ:

[ 0 ; 1 ]