Transcript Применение Mathcad для моделирования
Slide 1
Применение пакета Mathcad
для моделирования
кинематических процессов в
теоретической механике
Сибирский технологический университет
Лесоинженерный факультет
Кафедра Высшей математики и информатики
доцент, к.ф.-м.н., Казаков Ю.В.
Красноярск 2005
1
Slide 2
2
Slide 3
Примеры задач
• Двойной маятник
• Система грузов с пружинами
• Движение «шарика» по внутренней
поверхности параболоида
• Ссылки и литература
3
Slide 4
1. Двойной маятник
Пример демонстрирует возможности пакета
Mathcad
1. «автоматизация» получения Лагранжиана
для механической системы
2. аналитическое дифференцирование и
«автоматизация» получения системы ОДУ
первого порядка и вектора правой части для
метода Рунге-Кутта
3. создание анимации для отображения
динамики процесса
4
Slide 5
Получение Лагранжиана системы
5
Slide 6
Использование аналитического дифференцирования Mathcad для
получения уравнений движения
6
Slide 7
Вид правой части системы ОДУ.
Математическая постановка задача Коши
7
Slide 8
Часть Mathcad – документа для интегрирования
системы ОДУ и получение координат грузов
i0
x Rkadapt ( i0 0 end N D )
1
x1 L1 sin x
1
2
x2 L1 sin x
L2 sin x
1
y1 L1 cos x
y2 L1 cos
2
2
0
0
kt 1 N
x1 L2 cos x2
k FRAME 5
8
Slide 9
Тестовый расчет (m1/m2=1000)
9
Slide 10
Координаты грузов в зависимости от
времени (стохастический режим)
10
Slide 11
Зависимость угла отклонения от угловой
скорости для первого и второго груза
11
Slide 12
2. Грузы на пружинах с внешним
воздействием
Пример демонстрирует возможности пакета Mathcad
1.
2.
3.
«автоматизация» получения системы ОДУ первого
порядка и получения вектора правой части для
метода Рунге-Кутта на основе исходной системы ОДУ
второго порядка, аналитическое получение матрицы
Якоби для расчета жестких систем ОДУ
получение амплитудно-частотной характеристики
создание анимации для отображения динамики
процесса
12
Slide 13
Постановка задачи
13
Slide 14
Уравнения движения
Аналитические выражения для
вторых производных
eq 1 m1 x1''
k1 ( x1 L1 ) k2 ( x2 x1 L2 ) d1 x1'
eq 2 m1 x1'' m2 x2''
k1 ( x1 L1 ) k3 x rc a1 sin ( t) x2 L3 d1 x1' d2 x2'
( x1''
x1''
x2'' ) eq solve
x2''
x1 L1
x2 x1 L2
x1'
k1
k2 d1
m1
m1
m1
x1''
collect k1 k2 k3
L2 x1 x2
x rc a1 sin ( t ) x2 L3
x2''
x2'
k2
k3 d2
m2
m2
m2
14
Slide 15
Аналитическое получение ОДУ
V ( x1
x1'
x2
x2'
)
T
V' ( x1'
x1''
x2'
x2''
0)
T
x1'
k2 x1 k1 x1 k1 L1 k2 x2 k2 L2 k2 d1 x1'
m1
x2'
V'
k2 x1 k2 x2 k2 L2 k2 k3 x k3 a1 sin ( t) k3 x2 k3 k3 L3 d2 x2'
rc
m2
0
x
1
k2 x 0 k1 x 0 k1 L1 k2 x 2 k2 L2 k2 d1 x 1
m1
x3
D ( t x ) Rep ( V' V x )
k2 x 0 k2 x 2 k2 L2 k2 k3 x rc k3 a1 sin x 4 t k3 x 2 k3 k3 L3 d2 x 3
m2
0
x1
10 x 0 5 5 x 2 .5 x 1
D (t x )
x3
x 0 2 x 2 17 .5 sin x 4 t .1 x 3
0
L1
0
x rc L3 0 20 2000 D
S 1 ( ) rkfixed
0
15
Slide 16
Тестовый расчет
(равновесие при a1=0, dL(k)=-1, k=1,2,3)
16
Slide 17
Расчет динамической задачи
17
Slide 18
Получение матрицы Якоби
18
Slide 19
Определение частоты максимальной
амплитуды
19
Slide 20
Амплитудно-частотная характеристика
20
Slide 21
Анимация динамики процесса
21
Slide 22
4. Движение «шарика» по
внутренней поверхности
параболоида
• Постановка задачи
• Пример решения «дифференциальноалгебраической» системы в Mathcad
• Варианты решений
Äèôôåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèå
óðàâíåíèÿ: Òðàåêòîðèÿ øàðèêà
Differential Algebraic Equations: Marble
Trajectory
Steven Finch, MathSoft Engineering & Education, Inc.
Êàçàêîâ Þ.Â.
ï
åðåâîä
è ìîäèôèêàöèÿ äîêóìåíòà
22
Slide 23
Èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ïàðàáîëè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü,
îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèåì
z
2
2
x y . Íà åå âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè
íàõîäèòñÿ ìàëåíüêèé øàðèê (òî÷å÷íàÿ ìàññà), åãî íà÷àëüíàÿ
( x y z)
êîîðäèíàòà
0
H H . Îïðåäåëèòü õàðàêòåð äâèæåíèÿ è
òðàåêòîðèþ øàðèêà, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò åìó ïðèäàåòñÿ
ñêîðîñòü
v â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè âäîëü îñè Îõ.
Ëàãðàíæèàí ñèñòåìû è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
L x y z x' y' z'
m
d
d
m
2
x ( t)
2 x ( t) ( t)
y ( t)
2 y ( t) ( t)
z ( t)
m g ( t)
2
dt
d
1
2
2
2
2
2
m x' y' z' ( m g z) x y z
2
2
dt
m
:
2
2
x y
2
z
2
dt
2
Äèôôåðåíöèðîâàíèå óðàâíåíèé ñâÿçè:
2 x x' 2 y y'
2
x x'' x' y y'' y'
z'
2
z''
Èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñ ó÷åòîì ïîëó÷åííûõ ðàâåíòñâ íàõîäèì :
(0)
2
m v g
M S
2 H 1
23
Slide 24
Ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, íà÷àëüíûå
äàííûå, ïàðàìåòð òî÷íîñòè, Áëîê Given-Odesolve
m 1
TOL 10
g 9.8
H .25
8
R
2
x ( t) y ( t)
Given
m x'' ( t )
x (0)
2 x ( t) ( t)
0
y (0)
z( 0)
x
y
z
v R
H
H
H
m y'' ( t )
x' ( 0 )
v
y' ( 0 )
0
z' ( 0 )
0
2
z ( t)
2 y ( t) ( t)
2 g k
(0)
2
m v g
m z'' ( t )
2 H 1
m g ( t)
x
y
Odesolve
t end
z
24
Slide 25
k 0.39
Ãðàôèêè ïðîñòðàíñòâåíûõ êîîðäèíàò â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ïðè
0.5
x ( t)
0.5
y ( t)
0
0.5
0
2
4
0
0.5
6
t
0
2
4
6
t
0.40 0.41 0.46
0.2
z ( t)
0.1
0
0
2
4
t
6
z
0.4
0.0447
0.41
0.042
0.42
0.04
0.43
0.0387
0.44
0.0381
0.45
0.0382
0.46
0.039
25
Slide 26
2
F ( u v ) u v
x ( t)
G ( t ) y ( t )
z ( t)
2
M CreateMesh
S CreateSpace
F
H
H
H
H
( G 0 end 500 )
M S
M S
k 0.39
v 0.863
end 6
26
Slide 27
Траектория движения по окружности при
v=2.214 м/сек
M S
M S
k 1
v 2.214
end 6
27
Slide 28
Расчет скорости стационарного движения
по окружности
sin
1
2
cos
R
2
.25
R
R
R
2
2
tan
m R
N sin
mg
2g
V
R
R
2
R
2
.25
N cos
H
2
V
R
2g
28
Slide 29
Ссылки и литература
1.
2.
3.
4.
http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html
http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html
http://www.exponenta.ru/forum/viewforum.asp?f=1
http://collab.mathsoft.com
1. Айзерман М .А . Классическая механика . – М .: Наука ,1974,
1980.
2. Маркеев А .П . Теоретическая механика . – М .: Наука ,1990.
3. Бухгольц Н .Н . Основной курс теоретической механики . – М .:
Наука , 1966.
4. Журавлев В .Ф . Основы теоретической механики . – М .: Наука ,
1997.
29
Применение пакета Mathcad
для моделирования
кинематических процессов в
теоретической механике
Сибирский технологический университет
Лесоинженерный факультет
Кафедра Высшей математики и информатики
доцент, к.ф.-м.н., Казаков Ю.В.
Красноярск 2005
1
Slide 2
2
Slide 3
Примеры задач
• Двойной маятник
• Система грузов с пружинами
• Движение «шарика» по внутренней
поверхности параболоида
• Ссылки и литература
3
Slide 4
1. Двойной маятник
Пример демонстрирует возможности пакета
Mathcad
1. «автоматизация» получения Лагранжиана
для механической системы
2. аналитическое дифференцирование и
«автоматизация» получения системы ОДУ
первого порядка и вектора правой части для
метода Рунге-Кутта
3. создание анимации для отображения
динамики процесса
4
Slide 5
Получение Лагранжиана системы
5
Slide 6
Использование аналитического дифференцирования Mathcad для
получения уравнений движения
6
Slide 7
Вид правой части системы ОДУ.
Математическая постановка задача Коши
7
Slide 8
Часть Mathcad – документа для интегрирования
системы ОДУ и получение координат грузов
i0
x Rkadapt ( i0 0 end N D )
1
x1 L1 sin x
1
2
x2 L1 sin x
L2 sin x
1
y1 L1 cos x
y2 L1 cos
2
2
0
0
kt 1 N
x1 L2 cos x2
k FRAME 5
8
Slide 9
Тестовый расчет (m1/m2=1000)
9
Slide 10
Координаты грузов в зависимости от
времени (стохастический режим)
10
Slide 11
Зависимость угла отклонения от угловой
скорости для первого и второго груза
11
Slide 12
2. Грузы на пружинах с внешним
воздействием
Пример демонстрирует возможности пакета Mathcad
1.
2.
3.
«автоматизация» получения системы ОДУ первого
порядка и получения вектора правой части для
метода Рунге-Кутта на основе исходной системы ОДУ
второго порядка, аналитическое получение матрицы
Якоби для расчета жестких систем ОДУ
получение амплитудно-частотной характеристики
создание анимации для отображения динамики
процесса
12
Slide 13
Постановка задачи
13
Slide 14
Уравнения движения
Аналитические выражения для
вторых производных
eq 1 m1 x1''
k1 ( x1 L1 ) k2 ( x2 x1 L2 ) d1 x1'
eq 2 m1 x1'' m2 x2''
k1 ( x1 L1 ) k3 x rc a1 sin ( t) x2 L3 d1 x1' d2 x2'
( x1''
x1''
x2'' ) eq solve
x2''
x1 L1
x2 x1 L2
x1'
k1
k2 d1
m1
m1
m1
x1''
collect k1 k2 k3
L2 x1 x2
x rc a1 sin ( t ) x2 L3
x2''
x2'
k2
k3 d2
m2
m2
m2
14
Slide 15
Аналитическое получение ОДУ
V ( x1
x1'
x2
x2'
)
T
V' ( x1'
x1''
x2'
x2''
0)
T
x1'
k2 x1 k1 x1 k1 L1 k2 x2 k2 L2 k2 d1 x1'
m1
x2'
V'
k2 x1 k2 x2 k2 L2 k2 k3 x k3 a1 sin ( t) k3 x2 k3 k3 L3 d2 x2'
rc
m2
0
x
1
k2 x 0 k1 x 0 k1 L1 k2 x 2 k2 L2 k2 d1 x 1
m1
x3
D ( t x ) Rep ( V' V x )
k2 x 0 k2 x 2 k2 L2 k2 k3 x rc k3 a1 sin x 4 t k3 x 2 k3 k3 L3 d2 x 3
m2
0
x1
10 x 0 5 5 x 2 .5 x 1
D (t x )
x3
x 0 2 x 2 17 .5 sin x 4 t .1 x 3
0
L1
0
x rc L3 0 20 2000 D
S 1 ( ) rkfixed
0
15
Slide 16
Тестовый расчет
(равновесие при a1=0, dL(k)=-1, k=1,2,3)
16
Slide 17
Расчет динамической задачи
17
Slide 18
Получение матрицы Якоби
18
Slide 19
Определение частоты максимальной
амплитуды
19
Slide 20
Амплитудно-частотная характеристика
20
Slide 21
Анимация динамики процесса
21
Slide 22
4. Движение «шарика» по
внутренней поверхности
параболоида
• Постановка задачи
• Пример решения «дифференциальноалгебраической» системы в Mathcad
• Варианты решений
Äèôôåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèå
óðàâíåíèÿ: Òðàåêòîðèÿ øàðèêà
Differential Algebraic Equations: Marble
Trajectory
Steven Finch, MathSoft Engineering & Education, Inc.
Êàçàêîâ Þ.Â.
ï
åðåâîä
è ìîäèôèêàöèÿ äîêóìåíòà
22
Slide 23
Èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ïàðàáîëè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü,
îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèåì
z
2
2
x y . Íà åå âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè
íàõîäèòñÿ ìàëåíüêèé øàðèê (òî÷å÷íàÿ ìàññà), åãî íà÷àëüíàÿ
( x y z)
êîîðäèíàòà
0
H H . Îïðåäåëèòü õàðàêòåð äâèæåíèÿ è
òðàåêòîðèþ øàðèêà, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò åìó ïðèäàåòñÿ
ñêîðîñòü
v â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè âäîëü îñè Îõ.
Ëàãðàíæèàí ñèñòåìû è äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
L x y z x' y' z'
m
d
d
m
2
x ( t)
2 x ( t) ( t)
y ( t)
2 y ( t) ( t)
z ( t)
m g ( t)
2
dt
d
1
2
2
2
2
2
m x' y' z' ( m g z) x y z
2
2
dt
m
:
2
2
x y
2
z
2
dt
2
Äèôôåðåíöèðîâàíèå óðàâíåíèé ñâÿçè:
2 x x' 2 y y'
2
x x'' x' y y'' y'
z'
2
z''
Èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñ ó÷åòîì ïîëó÷åííûõ ðàâåíòñâ íàõîäèì :
(0)
2
m v g
M S
2 H 1
23
Slide 24
Ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, íà÷àëüíûå
äàííûå, ïàðàìåòð òî÷íîñòè, Áëîê Given-Odesolve
m 1
TOL 10
g 9.8
H .25
8
R
2
x ( t) y ( t)
Given
m x'' ( t )
x (0)
2 x ( t) ( t)
0
y (0)
z( 0)
x
y
z
v R
H
H
H
m y'' ( t )
x' ( 0 )
v
y' ( 0 )
0
z' ( 0 )
0
2
z ( t)
2 y ( t) ( t)
2 g k
(0)
2
m v g
m z'' ( t )
2 H 1
m g ( t)
x
y
Odesolve
t end
z
24
Slide 25
k 0.39
Ãðàôèêè ïðîñòðàíñòâåíûõ êîîðäèíàò â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ïðè
0.5
x ( t)
0.5
y ( t)
0
0.5
0
2
4
0
0.5
6
t
0
2
4
6
t
0.40 0.41 0.46
0.2
z ( t)
0.1
0
0
2
4
t
6
z
0.4
0.0447
0.41
0.042
0.42
0.04
0.43
0.0387
0.44
0.0381
0.45
0.0382
0.46
0.039
25
Slide 26
2
F ( u v ) u v
x ( t)
G ( t ) y ( t )
z ( t)
2
M CreateMesh
S CreateSpace
F
H
H
H
H
( G 0 end 500 )
M S
M S
k 0.39
v 0.863
end 6
26
Slide 27
Траектория движения по окружности при
v=2.214 м/сек
M S
M S
k 1
v 2.214
end 6
27
Slide 28
Расчет скорости стационарного движения
по окружности
sin
1
2
cos
R
2
.25
R
R
R
2
2
tan
m R
N sin
mg
2g
V
R
R
2
R
2
.25
N cos
H
2
V
R
2g
28
Slide 29
Ссылки и литература
1.
2.
3.
4.
http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html
http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html
http://www.exponenta.ru/forum/viewforum.asp?f=1
http://collab.mathsoft.com
1. Айзерман М .А . Классическая механика . – М .: Наука ,1974,
1980.
2. Маркеев А .П . Теоретическая механика . – М .: Наука ,1990.
3. Бухгольц Н .Н . Основной курс теоретической механики . – М .:
Наука , 1966.
4. Журавлев В .Ф . Основы теоретической механики . – М .: Наука ,
1997.
29