сложные интегралы - Томский государственный

download report

Transcript сложные интегралы - Томский государственный

Сложные интегралы.
Шульц Денис Сергеевич
План занятия.
 Методы нахождения неопределенных интегралов
(обобщение)
 Примеры решений нестандартных интегралов
Методы интегрирования.
 Непосредственное интегрирование
 Подведение под знак дифференциала
 Метод подстановки (замена переменной)
 Интегрирование по частям
 Метод неопределенных коэффициентов
Методы интегрирования.
Подведение функции под знак дифференциала
Под знаком дифференциала можно сформировать нужное выражение и
свести интеграл к табличному.
𝑥𝑑𝑥
3 + 𝑥2
cos 𝑥
1 + 5 sin 𝑥
𝑑𝑥
Методы интегрирования.
Метод подстановки (замена переменной)
Проводят замену переменной, руководствуясь следующим критерием:
хороша только та подстановка, которая приводит к более простому интегралу, чем
исходный. Применяется при взятии интегралов от иррациональных,
тригонометрических функций.
3
𝑥+ 𝑥+
𝑥 1+3 𝑥
𝑥2
𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛3 𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2 𝑑𝑥
𝑥+2
𝑥+5
𝑥2 + 1
𝑑𝑥
2 + 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥
𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛4 𝑥
3
Интегралы от тригонометрических функций
Интегралы
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥𝑑𝑥;
Указания
𝑠𝑖𝑛4 𝑥𝑑𝑥
Применяют формулы понижения степени:
1 + cos 2𝛼
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
2
2
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 𝑑𝑥
1 − cos 2𝛼
𝑠𝑖𝑛 𝛼 =
2
2
sin x, cos x входят в подынтегральное
выражение только в чётных степенях
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑑𝑥;
𝑠𝑖𝑛5 𝑥𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛3 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥;
𝑠𝑖𝑛3 𝑥
𝑑𝑥
4
𝑐𝑜𝑠 𝑥
Подведение под знак дифференциала:
sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑑 cos 𝑥
cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑 sin 𝑥
В числителе sin x или cos x в нечётной
степени
cos 2𝑥 ∙ sin 5𝑥 𝑑𝑥 ;
Используются формулы, переводящие
sin 3𝑥 ∙ cos 5𝑥 𝑑𝑥 произведения тригонометрических функций
разных аргументов в суммы (или разности)
Методы интегрирования.
Интегрирование по частям
Метод используется при интегрировании выражений, представляющих
собой произведение разнородных функций (произведение многочлена на
показательную или тригонометрическую функцию, обратные
тригонометрические функции, логарифмические и т.д.)
UdV

UV

VdU


Методы интегрирования.
Метод неопределенных коэффициентов
(интегрирование рациональных дробей)
𝑥 2 − 9𝑥 + 14
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑥 𝑥2 + 1
4𝑥 2 + 16𝑥 − 8
𝑑𝑥
3
𝑥 − 4𝑥
𝑥 2 − 9𝑥 + 14
𝑑𝑥
2
𝑥 − 1 𝑥 − 6𝑥 + 8
Примеры
1. Замена переменной + интегрирование по частям
2. Сведение интеграла к самому себе
3. Дроби
4. Тригонометрические функции без универсальных подстановок
Примеры
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
3
𝑒
6𝑥 − 1 𝑑𝑥
𝑥 𝑑𝑥
sin 𝑥 𝑑𝑥
𝑡𝑔 𝑥
𝑑𝑥
𝑥
𝑥 2 + 1 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 + 𝑥 + 1
2−𝑥
𝑑𝑥
3𝑥 + 1
𝑡𝑔4 2𝑥𝑑𝑥
Примеры для самостоятельного
решения
Пример
𝑒
𝑥 𝑑𝑥
sin 𝑥 𝑑𝑥
𝑡𝑔 𝑥
𝑑𝑥
𝑥
𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 + 𝑥 + 1
Ответ
2𝑒
𝑥
𝑥−1 +𝐶
2 sin 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥 + 𝐶
−2𝑙𝑛 cos 𝑥 + 𝐶
1 1
𝑥2 + 𝑥 + 1
− ln + +
𝑥 2
𝑥
Вебинары «Интегральное исчисление». Апрель 2014 г.
Вебинар №8: определенный интеграл (примеры решений)
Спасибо за внимание!!!
Шульц Денис Сергеевич
Кафедра прикладной математики и
информатики
Факультет дистанционного обучения
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
[email protected]
[email protected]