Transcript Динамика твердого тела

ДИНАМИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЛЕКЦИЯ 8:
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ
ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ.
СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА
1. Уравнения Пуассона
OXYZ
O xyz
неподвижная система координат
подвижная система координат (ПСС),
жестко связанная с телом
G   a , b, c 
центр тяжести
n    1 ,  2 ,  3  единичный вектор верт. оси OZ
в ПСС
Выражение компонент орта n через углы Эйлера
 1  sin  sin  ,
dn
dt
d1
dt
0

 2  sin  cos  ,
dn
 3  cos 
 ω  n  0 Уравнения Пуассона
dt
 r  2  q 3 ,
d 2
dt
 p 3  r 1 ,
d 3
dt
 q 1  p  2
2. Динамические уравнения
Эйлера при наличии силы тяжести
Ap  C  B  qr  M
e
x
B q   A  C  rp  M
e
y
Cr   B  A  pq  M
e
z
M O  O G  Pn
Динамические уравнения
Эйлера в общем случае
 P   2 c   3b 
M
x
M
y
 P   3 a   1c 
M
z
 P   1b   2 a 
A p   C  B  qr  P   2 c   3 b 
B q   A  C  rp  P   3 a   1c 
C r   B  A  pq  P   1b   2 a 
Динамические уравнения Эйлера для
движения тяжелого твердого тела
3. Уравнения движения тяжелого
твердого тела вокруг неподвижной точки
 1  r 2  q 3
Замкнутая система уравнений для
нахождения
 2  p  3  r 1
 3  q 1  p 2
A p   C  B  qr  P   2 c   3 b 
 1 ( t ),  2 ( t ),  3 ( t ), p ( t ), q ( t ), r ( t )
B q   A  C  rp  P   3 a   1c 
C r   B  A  pq  P   1b   2 a 
После нахождения  1 ( t ),  2 ( t ),  3 ( t ), p ( t ), q ( t ), r ( t ) зависимости  ( t ),  ( t )
находятся из условий
 1  sin  sin  ,
 2  sin  cos  ,
 3  cos 
а оставшийся угол Эйлера  ( t ) из одного из кинематических уравнений Эйлера
p   sin  sin    cos 
q   sin  cos    sin 
r   cos   
4. Первые интегралы системы
1)
n 1
1   2  3  1
2
2
2
2) Теорема об изменении кинетического момента
Реакция опоры и сила тяжести не создают момента относительно оси OZ
K O  n  const

Ap 1  Bq 2  Cr 3  const
3) Сохранение энергии
T    const
1
2
2
2
T   Ap  Bq  Cr 
2
  Ph  P O G  n  P  a  1  b 2  c 3 
 Ap

2
 Bq  Cr
2

2
  2 P  a
1
 b 2  c 3   const
Из общей теории множителя Якоби известно, что для того,
чтобы интегрирование исходной системы можно было
свести к квадратурам при любых начальных условиях,
нужно найти еще один независимый от них интеграл.
5. Известные случаи
интегрируемости
А) Случай Эйлера: тело произвольно, но его центр тяжести находится в
неподвижной точке О
a  b  c  0
дополнительный интеграл K O2  A 2 p 2  B 2 q 2  C 2 r 2  const
В) Случай Лагранжа: эллипсоид инерции тела для неподвижной точки является
эллипсоидом вращения, а центр тяжести находится на оси вращения
A  B,
a b0
r  const
дополнительный интеграл
С) Случай Ковалевской: эллипсоид инерции для точки О является эллипсоидом
вращения вокруг оси Oz, момент инерции относительно этой оси вдвое меньше двух
других, а центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции
A  B  2C ,
дополнительный интеграл
c0
 p  q   1    2 pq   2   const
2
2
2
2
=
Pa
C
6. Вывод уравнения для угла
нутации в случае Лагранжа
(1)  12   22   32  1
(2) A  p  1  q 2   C r  3  b
(3) A  p  q
2
q
2
  2 P c
3
(4)  3  q 1  p 2
 2e
 1  r 2  q 3
 2  p  3  r 1
p
A p   C  A  rq  P  2 c
 2
A q   C  A  rp   P  1 c
1
q 1  p  2  r  q 2  p  1    3  p  q

  P c 
2
A
A  q 1  p  2    C  A  r  q  2  p  1
A
d
dt
(4)
2
2
1
2
2

 q 1  p 2   C r  q 2  p 1   A 3  p 2  q 2   P c   12   22 
A 3
2 3 A 2 3   2   3 
(2) C r
A
2
b  C r 3
2  3 ( e  P c 3 )
A
(3)
d
dt

2
3

d
dt
 3  3 
P c 1   3
2

(1)
A  3   3  3 
2
2
7. Качественный анализ движения ТТ в
случае Лагранжа
A  3   3  3 
2
2
t   A
s1   3  s 2
d 3
 3  3 
1     2
1
1
s1
Z
апекс A
3 s
 3  cos 
s2
s
s3
Движение апекса А по сфере изображает
движение оси O z , т. е. прецессию и нутацию
n
ось динамической
симметрии
Сферическое представление
движения тела
8. Быстро вращающееся тело:
псевдорегулярная прецессия
Начальные условия
размерности
t  0:
   ,     0,
  f  , C , c, P , A / C ,  0 
ML
1
2
M
L
L
1
1
1
2
T
T
  0,
   0

Аргументами должны являться безразмерные комплексы,
а не размерные параметры, иначе ответ будет зависеть от
единиц измерения
 cP

  f  2 , A / C , 0 
 C

cP
Быстро вращающееся тело – большие  – малые значения параметра   2
 C
  0  c  0  случай Эйлера вращения симметричного тела
 0

  0 (регулярная прецессия)
f  ,
A / C , 0   0
Раскладывая в ряд Тейлора f   , A / C ,  0    b ( A / C ,  0 )  O  
2

Когда  велика, изменение угла нутации  настолько мало, что
прецессия кажется регулярной. Такая нерегулярная прецессия, мало
отличающаяся от регулярной, называется псевдорегулярной прецессией.

 0
A
b
sin  0
C
точный
результат
9. О пользе анализа размерностей
Доказательство теоремы Пифагора
c
Треугольник, а, значит, и его площадь,
полностью определяется величинами c и 
S
 f (c, )
2
c
размерности
L 1
1
S  c f ( )
2
S  S1  S 2
2
2
c b a
2
2

S2
a
c

S1

b
c f ( )  b f ( )  a f ( )
2
S
2