Transcript Динамика твердого тела

ДИНАМИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЛЕКЦИЯ 5:
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО
ТЕЛА
1. Уравнения движения
При плоскопараллельном движении точки тела движутся в плоскостях,
параллельных некоторой неподвижной (основной) плоскости.
y
Движение = движение центра масс+ вращение относительно
y 
центра масс
Центр масс движется параллельно неподвижной
плоскости, а движение относительно центра масс есть
вращение тела вокруг оси, проходящей через центр масс и
перпендикулярной к неподвижной плоскости.
x 

x
C
rC
O
Положение тела определено если известны rC , 
y
x
Теорема о движении центра масс
M xC  Fx
e
M rC  F
e
M yC  F
e
y
Теорема об изменении момента количеств движения
I C  M C
e
Уравнения для
нахождения
x C ( t ), y C ( t ),  ( t ),
2. Использование теоремы об
изменении кинетической энергии
При интегрировании системы уравнений движения можно эти уравнения заменять
другими, получающимися в результате их взаимных комбинаций.
В частности, иногда удобно использовать теорему об изменении кинетической энергии
По теореме Кенига кинетическая энергия равна
T 
M
2
x
2
C
 y
2
C

IC

2
2
По теореме об изменении кинетической энергии
T  T0  A
e
Изменение кинетической энергии = Работа внешних сил
3. Использование теоремы
моментов для оси z неподвижной
системы
Кинетический момент относительно неподвижного центра О равен сумме
кинетического момента центра масс, в котором сосредоточена масса тела,
относительно центра О и кинетического момента тела относительно центра С в его
движении по отношению к системе осей, проходящих через центр масс и
перемещающихся поступательно
d rC 

K O   rC  M
  K C
dt 

dy C
dx C 
d

K Oz  M  xC
 yC

I
C

dt
dt
dt


d  
dy C
dx C 
d 
M  xC
 yC

  IC


dt  
dt
dt 
dt 
 x F
i
e
iy
M
 y i Fix
e
Oz
e

4. Пример 1: скольжение цилиндра
по наклонной плоскости
Тяжелый круглый цилиндр движется, касаясь
абсолютно гладкой наклонной плоскости, так, что
ось цилиндра остается все время горизонтальной.
Движение происходит параллельно вертикальной
плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра.
Найти уравнения движения цилиндра.
Уравнения
движения
Уравнения связи
M x C  M g sin 


 M y C   M g cos   N

I C  0

yC  R

yC  0

N  M g cos 
Цилиндр вращается с постоянной угловой скростью     const , сообщенной
ему в начальный момент и движется с постоянным ускорением x C  g sin 
5. Пример 2: качение цилиндра без
проскальзывания
Тяжелый круглый цилиндр катится по
шероховатой наклонной плоскости без
скольжения. Исследовать движение цилиндра.
Уравнения
движения
 M x C  M g sin   F

 M y C   M g cos   N

I C  F R

Уравнения связи 1
yC  R

Уравнения связи 2
v A  0,
v A  v C  R
g sin 
xC 
IC
1
2
MR
I C xC
F 
2
R
Когда возможно такое движение?
yC  0
A


N  M g cos 
x C  R
Для однородного
цилиндра
2
MR
IC 
2
F  fN


x C  R
xC 
F 
2
3
1
3
f 
1
3
tg 
g sin 
M g sin 
6. Пример 3: качение цилиндра с
проскальзыванием
Тяжелый круглый цилиндр катится по
1
шероховатой наклонной плоскости. f  tg 
3
Исследовать движение цилиндра.
 M x C  M g sin   F

 M y C   M g cos   N

I C  F R

Уравнения
движения
Уравнения связи 1
Уравнения связи 2
yC  R
F  fN
x C  g (sin   f cos  )
1
  2 fgR cos 

A
yC  0


N  M g cos 
M x C  M g (sin   f cos  )
MR
2
2
  fM gR cos 
7. Пример 4: качение цилиндра со
сдвинутым центром тяжести
Неоднородный диск катится без скольжения по
неподвижной горизонтальной плоскости. Масса
диска равна m, радиус a, центр масс С находится
на расстоянии b от геометрического центра,
момент инерции относительно оси,
перпендикулярной плоскости диска и проходящей
через его центр масс, равен Ic . Получить
дифференциальные уравнения движения диска.
m xC  F

Уравнения 
m yC  N  m g
движения 
 I   F  a  b cos    N b sin 
 C
vA  0

v O   a
N  m g  m b  sin   cos 
2

x C  v O  b cos      a  b cos   
y C  b sin 
F   m   a  b cos     b sin 
 I C  m  a 2  b 2  2 ab cos      m ab sin  2  m gb sin   0


2

8. Пример 4: качение цилиндра со
сдвинутым центром тяжести
3

N
F

2
1
IC  0
0
 (0)   / 2
 (0)  0
-1
b / a  0 .2
-2
-3
0
2
4
6
8
10
t
3
3

N
F
1
1
0
0


2
2

N
F
b / a  0 .9
-1
-1
-2
b / a  0 .5
-3
0
2
-2
4
6
t
8
10
-3
0
подпрыгивание
2
4
6
t
8
10
9. Пример 5: падение стержня
Однородный стержень массы m и длины 2l
расположен вертикально. Нижний конец опирается на
гладкую плоскость. После того как ему задали
бесконечно малое смещение от вертикали он начал
падать. Получить ДУ движения.
l
N
mg
l

y
x
1) Горизонтальных сил нет. Центр масс падает вертикально
2) Закон сохранения энергии
11
2 
2
m y   m l    m gy  const
2
23

1
2
y  l cos  ,
3) Уравнение связи
y   l sin 
 3 sin   1  l  6 g cos   const=6 g
2
2
 
2
6 g  1  cos  
l  3 sin   1 
2
10. Пример 5: падение стержня
6 gl sin  1  cos  
2
y 
2
l
3 sin   1
2
6 gl cos  1  cos  
2
x 
2
N
3 sin   1
2
x 
dx
6 glc  1  c 
4  3c
2

y
x
Горизонтальная скорость имеет максимум
2
mg
l
c  c os 
2
dc
0

3 c  12 c  8  0
3

  37 50 
x m ax  0 .6 1 g l
11. Пример 6: падение стержня
Тонкий однородный стержень приставлен одним концом к
гладкой вертикальной стене, а другим концом опирается на
гладкий пол. Стержень пришел в движение из состояния
покоя, когда он составлял угол  с вертикалью. Вычислить
начальные давления на стену и пол.
mx  N A
my  N B  mg
2
ma
1
1
   N A a cos   N B a sin 
12
2
2
x
1
2
a sin  , y 
1
2
a cos 

a
 cos   sin  
2
a
y    sin   cos  
x
2
2
2
12. Пример 6: падение стержня
NA 
ma
2
 cos   sin  
2
ma
N B  mg 
ma
2
 
12
2
1
2
 sin   cos  
2
N A a cos  
1
2
 (0)   ,  (0)  0,  (0) 
N B a sin 
3g
 
3g
sin 
2a
sin 
2a
N A (0) 
3m g
8
sin 2 
3


2
N B (0)  m g  1  sin  
4

