Transcript Лекции-семинары

Ранняя Вселенная
В Н Лукаш, В Н Строков
Астрокосмический Центр ФИАН
Краткий курс релятивистской астрофизики и теории
Вселенной включает пять лекций и пять семинаров
Акцент сделан на гравитацию и следующие темы
Гравитация и гравитирующие системы
Удержание материи и линзирование
Геометрия ранней Вселенной
Рождение космологических возмущений
Генерация анизотропии реликтового излучения
Лекция 1
Гравитация и
гравитирующие системы
основы ОТО: вычисления «на пальцах»
(без вариационного принципа, топологии,
дифференциальной геометрии и
тензорного анализа)
Релятивистская физика
в отсутствии гравитации
Принцип специальной теории относительности
Законы физики одни и те же для всех
инерциальных (неускоренных) наблюдателей
измеренная скорость любого
свободно движущегося тела постоянна
Событие: точка в пространстве-времени
Инерциальный наблюдатель: {хi}=(t,x),
xi=xi(s) – мировая линия
(s)- собственное время:
1/ 2

2 1/ 2
s
i
k
 dt   dx  

dx dx 
 ds
s          ds    ik
ds ds 
0 
0
 ds   ds  
s
2
ik   diag1,1,1,1 - метрический тензор Минковского
Хронометрическая гипотеза:
(s) – время, измеренное наблюдателем,
движущимся вдоль мировой линии xi=xi(s):
d 2  ikdx i dx k
времениподобный интервал:
пространственоподобный интервал:
нулевой интервал:
d2>0 всюду
d2<0 всюду
d2=0 всюду
Ненулевая геодезическая (траектория свободно
движущейся массивной частицы):
d2xi
0
2
d
x  x  ,
i
i
Нулевая геодезическая:
2
i
d x
0 &
2
ds
dx i dx k
ik
0
ds ds
где s – афинный параметр, xi=xi(s)
Принцип СТО: физические законы инвариантны
относительно преобразования
i
i
k
i

x  k x  T
где Ti – постоянный 4-вектор (трансляции)
ki – постоянная матрица 4х4 (преобразование Лоренца)
{
ограничения
{
6 параметров:
ik i km  m
 1
0
0
 
det ik  1
ортогональность
запрет обращения времени
запрет зеркального отражения
3 Лоренц. поворота v (O’ относительно O)
3 пространственных поворота (углы Эйлера)
Однородное преобразование Лоренца
 
   T
 v
 
i
k
  1  v


 v


2  T 
I  v v v   1
2 1 / 2
Преобразования Лоренца сохраняют собственное
время, d’2=d2 и уравнения геодезических:
d 2 x 'i
0
2
d'
тогда и только тогда, если
d2xi
0
2
d
Однозначное картографирование событий в R4
ОТО (релятивистская теория
гравитации) локально
сохраняет принципы СТО
2 основания ОТО:
• принцип соответствия (в пределе малых скоростей и
слабого гравитационного поля ОТО переходит в
механику Ньютона)
• принцип эквивалентности:
F=mia
F=mgg
mi=mg
Законы (движения/физики) для свободно падающего
тела в постоянном гравитационном поле те же, что
и для неускоренного тела вдали от гравитационных
масс.
Теперь {xi}=(x0, x1, x2, x3) – произвольные координаты
(нет однозначного картографирования событий).
Принцип соответствия: в окрестности любого
события р:
2
yi=yi(xk):
i
d y
2
d
0
p
вдоль траектории уi() любой свободно падающей
частицы, проходящей через р, d2=ikdyidyk
Уравнение геодезической в произвольных координатах:
2
i

k
d x
i dx dx
 k
0
2
d
d d
dx  y
  m k 
dy x x
i
аффинная связь:
d  gikdx dx
i
k
m
i
k
dy y
- метрический
g ik  i

m
k
тензор
dx x

2
2
m
1 im
  g g mk,  g m ,k  g k ,m 
2
i
k
Важно: вместо поиска инерциальной
системы отсчета {yi} в каждой точке
пространства-времени, возьмем
метрический тензор как определяющий
элемент пространства-времени.
Результат: метрическая теория гравитации
(ОТО – только один из примеров)
Гравитационное красное смещение
(прямое следствие метрической теории)
в пределе слабого грав. поля:
в случае нерел. частицы:

dx
g ik  ik  h ik ,
dt

d
d
2
d x
i  dt 
 00    0,
2
d
 d 
2
i
R  E

 1  E  R
E  R
стац. поле
1 ik
    h 00,k
2
2
d x
1
  h 00  
2
d
2
i
00
 d2t 
Ньютоновский предел:  2   0,
 d 
g 00  1  2
h ik  1

d  g ik dx dx
i

 E  R ;
E

k 1/ 2
 g100/ 2 dt  1   dt
GM C

 C  
 2 106

RC
c1
(эне рге тические е диницы)
 g  Gm
1
C 
m
 33
 Pl  G  10 см
1
m Pl 
 10 5 г  1019 Ge V
G
 Plm Pl  1
Масса, энергия и гравитация
Уравнение Пуассона:
G = 6.67•10-8 дин см2 г-2
  g ik
Н
  4G
(4х4+ симметрии  10 потенциалов)
ОТО
Уравнение Пуассона вторые
= распределение
массы, энергии
производные
в ОТО:
метрического
тензора
Симметрии: Tik  Tki
Лоренцева ковариантность: Tik  i mkT'm
Ti
Закон сохранения: 
0
k
x
ik
Уравнения ОТО
уравнение Пуассона:
предложение:
g00  8GT00
Gik  8GTik
линейная комбинация вторых
производных g ik
в локально инерциальной системе отсчета уi :

G ik   g ik   g


 g  ,ik   ik g  ,
G
k
i ,k

k ,i
g

i , k
  g
m
ik ,m



y i y k
2
ik
k
k







0




g




g




g
 0:
i ,k
,ki
,i
0
==-, =-

Gik   gik  g

i ,k
g
0

k ,i
 g
m
ik ,m
0
 g

,ik
 ik g





Ньютоновский предел:
  ,
t
x
 
3
3


8G T00   T   G 00   G  
1
1


3
    g 00      g 
1
3
но
T

1

 T00 :
1

2
 
1
1 


m
G ik  
g ik  g i ,k  g k ,i  ik g ,m  g  ,ik  ik g 
2
2

назад к
хi:
1
G ik  R ik  g ik R
2
1 m
тензор Риччи: R ik  g g i ,km  g k ,im  g ik,m  g m,ik  
2
p
 g m g np in km
 ikn pm


1
R ik  g ik R  8GTik
2
R  8GT
1


R ik  8G Tik  g ik T 
2


Ньютоновский предел
g ik  ik  h ik ,
p  
h ik  1,
1


R ik  8G Tik  ikT   4Gik , h ik  2ik
2


u i u k



1 ,
R ik  h i ,k  h ,k ,i  h ,ik ,  h  ,ik 
2
  ,i k   , k i   ,, ik  2 ,ik   ,, ik
    
,
,
   4G
2
1  2 d  1  2 dy
2
Уравнения Фридмана, связь с уравнением Пуассона
8G
  4G  p
H 
,  H
3
2
3 2
 4G  H
2
 3 2





t
,


H

4

G

2
a
2
 p  
Ньютон.
предел
a2H2  2

x
4
2
2
2 2
1  2 d  1  2 dy  dt  a dx
2
y  ax 1  ,


2
t
H
Отклонение луча света массивным телом
{
GM
 
 1
gik  ik  2 ik ,
r
rmin  r0  rg  2GM


dk i
02
2
  ,i k  k
ds
dk 0
dk 
 0,
 2 , 
ds
ds
i
dx
ki 
,
ds
{
 
k 0  const 1,
ee
k   e  A, , e A ,  2


k  e 1  2   A,  1, A ,y

k i k  0,
i
d
i 
k
i
ds
x



dk y
0
/2


0
ds
rg
r
ds  2  , y ds  
d 
rg
r0
rg
r
2
cos ds 
rg
 cos d  r
4GM
   2 
r0
0
Решение Шварцшильда

d  Ar dt  Br dr  r d  sin d
статика:
2
2
2
2
2

A
B'
A
r
r
 
, rr 
, tt 
,
2A
2B
2B
d
2
t
tr
2
r
r    , r    r sin  ,
B
B


   sin  cos,


  cos,
r  r  r 1
d
' 
dr
2

компоненты тензора Риччи
A' ' A' B' A' A'
R tt 



2
2B 4B
4AB rB
2
A' ' A' B' A'
B'
R rr  



2
2A 4AB 4A
rB
2
1
r  B' A'  R  
R  1 
  
B 2B  B A  sin 2 
Rik=0:
R tt  R rr  R   0
1  A' B' 
0  A R tt  B R rr    
rB  A B 
1
1
A(r)B(r)  const  1
0  R   1  A  rA'  0
const
2GM
A  1
 1
r
r
Статика только при
r  rg
rg  2GM
Свободное падение в поле Щварцшильда
u 0  const,
dr
 ur 
ds
rg
 
u  u
2
0
r 2
 1
rg
r
 u0  1
dr
dr
dr условие
u


r
dt  rg 
d параболического
1  dt
падения
r

2 2
m - масса частицы
r

u0r
g
2


u
mu0 - внешняя масса
0 1
2
r
 rg 
закон сохранения
1  
r
энергии

0
Семинар 1
Предел слабого поля
Ньтоновский предел и слабое поле в
модели Фридмана
Гравволны в модели Фридмана
Классические эффекты ОТО
Лекция 2
Гравитационное
линзирование.
Гравитационное удержание
материи.
Физические основы
теории гравитационного линзирования
точечная масса
плоскость линзы
 - поверхностная
плотность массы
грав. линзы
4GM 2rg
ˆ   




  1 , 2 
 

  

     2 
ˆ   4G    2 d '
  

Основное свойство гравитационной линзы:
ахроматическая, сохраняет поверхностную
яркость источника
Уравнение линзы:
   
 
Dds 
   i ;   S     
ˆ 
Dos

угол смещения
F0
F  d
S


- телесный
угол, покрываемый i, s
непостоянен по
источнику: уярчение,
деформация
Усиление яркости
неразрешенных
источников
{
 1
 S 
di
i 
 det   
dS
 i 
   i
i
Аксиальная
симметрия:
4GM  
ˆ   
;

i-условие:
i di
i 
SdS
ˆ 0


, ˆ  ˆ 0
Dds Dos
   C
D OS
4GM  CE Dod Dds
M 
2
C 
CE 
   
2
4GD od D ds
Dod Dos

Однородный диск:  = С
(когда О в фокусе)
zd  0.5, zS  2:
линза
М Dod
[МС] [пк]
C  1 г/cм2
R
[пк]
(<R)/C
СЕ
[”]
=СЕDod
[пк]
звезда в
Галактике
1
104 210-8
2106
610-4
310-5
звезда в
удаленной
галактике
1
109 210-8
21011
210-6
10-2
галактика
1012 109
5103
4
2
104
скопление
галактик
1014 109
105
1
20
105
Расстояние между изображениями ~ 2CE  M/Dod ~ MH0
Точечная масса:
 A ,B
 A ,B
 tot
2
2rg Dds
 CE
2
  S 
, CE 

Dod Dos
1
 S   ,
2
    4
2
S
2
CE

1   S
 

 2 
4  S 

1   S 

 

2  S  
S  CE :

 tot  1.34,
2 CE
d S
сечение  
2
СЕ
~M
Самогравитирующие системы
из барионов:
3
P
2
p
звезды
M
33
М
 10 г
m
Удержание протонов
собственным гравитационным полем
T  mp v
e 2 GMm p a



r
R
r
2
p
R  rN , M  mp Nр , a  Gm N р
2
p
1/ 3
p
a  e  10 ,
2
2
M  mp N p  a
3/ 2
2/3
Np  10
54
3
P
2
p
M
3
 10 M C
m
Юпитер
Солнце:
N b  10 ,
57
TC  m b v
2
b
a 1
1/ 3
1 Nb
8
1
 
 10 см  1 кэВ
r RC
Солнце – классический объект (баланс
температуры и гравитации, нет ħ)
Функция Салпитера:
dN  f ( m ) d log m , m  M / M 
 0.3 
1.35
f ( m )  A  m  exp  

 m
Холодная звезда
ni
Eb  
e,p,n n b
mb
m x 
0
1  2GM / R
2
i
2
i
xe  x p  n , xn  n , x  n
1/ 3
e
M  mb N b  a
БК:
1/ 3
n
3/ 2
3
P
2
b
1/ 3
b
1/ 3
b


N
3
3 1/ 3

 xe  xn
R
ni
2 2/ 3
mb   mi , a  Gmb N b
nb
M
,
m
x  x e    mn  mp  1.3 МэВ, x n  0
E b  ax  m  x  m e
2
e
2
Свободное движение в поле Щварцшильда
u0  const, u
 rg
2 2
m u o  1 
r

 
 u
2
0
m p 
2
2
m
1
r 2
 1
 2
 m  p 2

2
rg
r


rg
r

u0  1
условие
параболиm - масса частицы
ческого
mu0 - энергия частицы падения
 0
условие связи (удержание
частицы гравитационным полем)
am e
2am e
x1 
, x2 

2
2
1 a
1 a
a  0.7 , M1  1.4M C
НЗ:
  x   n1  100 МэВ
13
Ядерные силы:  n  10
x  :
см, n  2 10 г / см
14
3
x e  mp  x  m  x ,
2
e
2
n
2
n
2
n
x
xe   
2m n
x n  xx   
БК
НЗ
КЗ
ЧД

2ax 

E n  m  x  m n 1 
mn 

2
n
2
1 / 2
, a  0.5
Самогравитирующие системы
из темной материи:
вириализованные гало
dp

GM r 


,
2
dr
r
r
  4G
r
Мr   4 r dr ,
2
0
p  nT   v
2
T
Изотермическая сфера: v 
 const
m
2

d
r d 
4Gm 4G

   ,  
 2
2
r dr  dr 
T
v
2
{

0
,
2
1  0 r / 6
1
r  r0 
0
2
,
r  r0 (аттрактор)
2
r
8
2T r
r


13
M
r
 10 T [кэВ]
М С

Gm
 200 кпк 
Семинар 2
Модели гравитационных линз
Гравитационная задержка
Полузамкнутый мир
Лекция 3
Геометрия ранней Вселенной
и космологические
возмущения
Экспериментальные основания
Космологическая инфляция
Рождение космологических возмущений
Наблюдательная проверка
Цель: приготовить начальные условия для
Фридмановской космологии и
образования структуры Вселенной
фоновая модель
2
ds  dt  a dx 
2
2
2
первичные космологические возмущения
 /  ~ 10 
5
горячая Вселенная и темная материя
n / n
b

~ 10 , b ~ 0.2 с 
9
нежелательные реликты
UR  cr 
темная энергия
E ~ cr 
Экспериментальные основания КСМ
с
31017 3 104 эВ
31013 0.3 эВ
1 МэВ
1
1010 102 ГэВ
}
}
1035 1015 ГэВ
43
10
1019 ГэВ
Астрономия: модель
1. Хаббловский поток:


v  Hr , H  a /a


 dr


v
 a x 
 r  ax,
dt


однородность, изотропия
2. Полная плотность:
0/сг  1
 

  cr 1  2 2   cr
a H 

3
cr 
H 2  2 10  29 h 2 г см -3
8G
h = H0/100 [км с-1 Мпк-1]

  1 2 2
a H
=0
плоское пространство
 vis ~ 0.003
b ~ 0.05
M ~ 0.25 ,
E ~ 0.7
m=M+b=0.3
плоскостность, небарионная материя
ds  dt  a dx ,
2
{
2
2
2
a  at ,
8G

H 
 2
3
a
a
H
a
2


  3H  p
 H  4G   p   2  
a
2
3H
 cr 
,
8G



cr

1  
2
aH 
a aH .
4
2


 H  H   G  3p 
a
a
3
Где находится материя?
Светящаяся:
* звезды в галактиках,
* газ в скоплениях (Т~1 кэВ)
Темные барионы:
* межгалактический газ
(Т~0.010.1 кэВ),
* MaCHOs (ЧД, НЗ, КК,
планеты)
...не более 20% МАЧО в гало,
остальные 80%- небарионная ТМ
Где спрятана темная материя?
* большая дисперсия скорости галактик
в скоплениях (Zwicky & Smith, 1930),
* массы скоплений установлены (1980)
 рентгеновский газ (Т~1 кэВ)
 гравитационные линзы
 в ~ 100 раз больше массы звезд,
в ~ 5-10 раз больше массы газа,
* плоские кривые вращения S-галактик,
стабилизация дисков (1970)
Ответ: небарионная ТМ находится в
гравитационно-связанных системах
слабовзаимодействующие частицы,
не диссипируют как барионы
Барионы радиационно остывают, сбрасывая энтропию
через э/м излучение, и оседают к центрам галактик,
достигая вращательного равновесия
Темная материя группируется вокруг светящегося
вещества галактик в масштабе около 200 кпк
ТМ не взаимодействует со светом,
но свет там, где ТМ
Мы видим звук (все барионы ! )
..и полные возмущения плотности
(звуковая модуляция подавлена!)
Независимый эксперт:
первичный нуклеосинтез
Возраст 1с - 3 мин, температура 1 МэВ – 70 кэВ
единственный параметр, определяющий
химический состава обычного вещества:
плотность барионов
Состав Вселенной
МОДЕЛЬ ПОДРАЗУМЕВАЕТ ПОЧТИ
ВАКУУМНУЮ ИНВАРИАНТНОСТЬ
(нарушена Лоренцева инвариантность)
T    pu i u k  p
k
i
k
i
Лоренц-неинвариантный член
Лоренц-инвариантный член
И(+p=0)  Ф(+p0)
ТРЕБУЕТСЯ РАСТЯЖКА МАСШТАБОВ В
ДОФРИДМАНОВСКУЮ ЭПОХУ РАСШИРЕНИЯ
Запас времени =14 млр лет/10-44 сек = 1060
Вселенная большая, но фактор роста
ограничен = t1/2 = 1060/2 = 1030 !
Получается
10-33см  субмм ~
РИ
Надо
  Н = H0-1  5103 Мпк = 1030 РИ
Надо еще 30 порядков по размеру!
Инфляция -
расширение с громадным
ускорением из малого размера в большой
за доли секунды
- однородность, изотропия, эвклидовость,..
Начальные и приобретенные
масштабы структуры
Геометрия Вселенной
• Нулевой порядок диаграмма Хаббла
• Первый порядок структура
S-мода (возмущения плотности)
T-мода (гравитационные волны)
V-мода (вихревые возмущения )
a(t)
S(x)
T( x )
V( x )
Космологическая модель в 4-х функциях
Происхождение начальных
космологических возмущений
гравитационное рождение
безмассовых полей под действием
нестационарного внешнего
гравитационного поля
• рождение материи (частицы)
• генерация Т-моды (гравитационные волны)
• генерация S-моды (возмущения плотности)
S → причина образования структуры Вселенной
Т → НЕИЗБЕЖНО рождается квантово-
гравитационным образом, как и S
Наблюдательная космология:
T и V оставляют след в
анизотропии и поляризации РИ
Первичные возмущения плотности, ~10-5
 Невозможно создать в горячей Вселенной
 Можно сгенерировать параметрически,
если отказаться от модели горячей
Фридмановской Вселенной
Возмущения плотности:  = 1 + 2  С1, С2
для >>1:
- С1 cos  + С2 sin 
Более изящное описание: q-скаляр
1
q  3Hq  2 q  0
3a
d
' 
Преобразование: q  aq,
d

2
k
1
q k 
qk  0
q   q  0
3
3
qk  C1 sin   C2 cos 
Эволюция
растущей и
падающей мод
возмущений
метрики
Эволюция
растущей и
падающей мод
возмущений
плотности
Для галактических масштабов нам
необходимо: С1 и/или С2 ~ 10-4.
Но для  << 1: С1 << 1, C2 <<  << 1
Таким образом, мы имеем
фактически:
естественно:
С1 >> C2
C1 = C2 << << 1
C1 ~ 10-4
Идея параметрического усиления
2
q  3Hq  2 q  0,
a
2
  2
x
Конформное преобразование
q  q,


q  Uq,

q   2  U q  0,
t
2
2
 

2

a
2
  k, U 
~ aH 
a
a ~ 
C1 = C2 << << 1
стоячая волна в фазе C1
C1 >> C2
U0
бегущая волна
Фазовая информация:
рождается только растущая мода
U  0:
sin
cos 
q  C1
 C2


  
растущая мода
(a ~ )
вакуум:
C1  C2 ,
первый пик:
падающая мода
после рождения:

C1  C2
 30
 p  0 
 200
rec
WMAP-3
Атомная физика: проблема горизонта
Горизонт «там»
~310-2Но
3 К
3000 К
Горизонт «здесь»
Но=5000
Мпк
5ый вывод: Проблема горизонта не может быть
решена в горячей Вселенной
(шире – в ЗАМЕДЛЯЮЩЕЙСЯ
  0 )
ВСЕЛЕННОЙ a


2
2
2
2
ds  dt  a dx  a d  dx
dt
  0

a ~ t,
a
a
2
2
2
Замедляющаяся Вселенная:
Ускоряющаяся Вселенная:
  0
a
  0
a
(ФВ)
(ИВ)
Какой масштаб расширяется быстрее?
a
k  ,
k
H  H
1
a
 ,
a
 k
 ~ 
a

 H
.

  или  0

В критическом случае
  0:
a
dt
 ~  ~ ln t
t
t
dt
 ~   0,  
a
0
ФВ
разогрев
ИВ
t
dt
 ~    ,0 
a
0
1
k гор   гор
 Ha 
 H exp- N  Мпк
1
a  0
a  0
N   H dt 
 NI  NF ~ ln a
Hd
NI  
,


NF  60
Какая материя может обеспечить инфляцию?
R   GM   4 GR
2
R
3
(N)
R   4 G   3p R
3
(E)
если (+3р)<0, то
  0
R
Ядерная физика: нейтрино
Первичный нуклеосинтез:
1) T ~ 1 МэВ
2) N < 4
космология: N < 4
(гравитоны, релятивистские «…ино»)
n  300 см-3 :
m  0.4 эВ
N.B. Ускорители дают N  3.14 по
измерению ширины распада Z0 бозона
Г(Z0)  2.8 + 0.2(N-3) ГэВ
Лабораторные ограничения:
me< 3 эВ, m< 160 кэВ, m< 18 МэВ
SK: m2- = 210-3 эВ
С: m2е- = 610-5 эВ
Космологические ограничения:
n= n = ⅜ n , e± →2: n/n = 3/22
e± → : спектр. поправка ~ 4%
 = 112  m см-3
m = 93 h2 эВ = 13  эВ
< 0.1 : m< 0.4 эВ
Только левые  возбуждаются
в ранней Вселенной
Космологический нуклеосинтез:
2
t
3 M P  МэВ 
3

 с  1  10 с
2
32  T
 Т 
Основные элементы
- Эффект параметрического усиления
гравитационное рождение
безмассовых полей в ранней Вселенной
-Инфляция
Вселенная большая, начальные условия
для Фридмановской модели
-Тесты очень ранней вселенной
основной тест: спектры первичных
космологических возмущений
Семинар 3
Кривые вращения и распределение массы
ТЭ и ТМ как модификации ОТО
Простейшие модели инфляции
Как получить уравнение на q-скаляр?
Лекция 4
Рождение космологических
возмущений
  


q   3H  2 q    q  0
 a

2
W
( 2)

q    Lq  a dt d x
3
3
2


1 2 2   
,i 
Lq    q    q,i q

2 
a

Условие   const означает, что q приобретает массу
2


1



2
,
i
2
2
~  q : Lq    q
~    q
~q
~  q
~ 
q
,i


2
a



2
 
 эффективная масса поля ~
q

Ковариантное обобщение
D

q,

;
0 ,
q    Lq   g d
1 
Lq   D q, q,
W
(2)
2

D   2 u u   2 P
4
x

Важнейшие результаты теории
параметрического усиления
:
:
L=L(w,),
w2=,μ,μ
q=Hv+A,
.
L(q)= ½ Dμq,μq,
v= /w= /,
A=a/a
(Dμq,μ);=0
2





   3H  2 q  2 q  0
q

a



1 2 2
2
,i

Lq    q   q,i q
2
2
2

w  L
2
 
 2
2
2
4G
H w
dpw


2
3H  8GV    w
 pw
dw


Мы можем формально рассматривать
q-скаляр как пробное скалярное поле
во Фридмановской модели.
Это открывает возможность для
стандартного построения Гамильтонова
формализма!
Канонически сопряженный скаляр:
Lq 

2
  x 
  q
q
 
Уравнение движения поля q
в конформных координатах

q  aq,
q  Uq



a 
2
  , U  U 

2

a
2
в Фурье-пространстве:


q     U q  0,
q  aq


a 
U
 Ua, a, a, a, a
a
  k

2
q  Uq ,
2
2

2
2








2
2


Адиабатический случай: U=0
a ~ ,
U0
q  C1 sin   C 2 cos 
k


3


2


q    U q  0,
U~
2
1
  k
Стоячая волна
(растущая мода)
Бегущая волна

1
2
Квантование
и конформная неинвариантность
* Гильбертово пространство пространство всех решений q
q1q2    J12 d i ,
J12 ;  0


J12  iD

q q
*
1
2 ,
 q q2
*
,

* Коммутационное соотношение


 
qt, x(t, x)  q  q  i  gx  x
Это напоминает квантование
фононов в гидродинамике:

 
 
v,   p   ix  x


Фононы – кванты поля q
Плотность Лагранжиана
и полная энергия

1
2
2
,i
2

Lq   L q  
q   q,i q  Uq
4
2a
1
H  H  a 3  EdV
a
1
2
2
,i
2
E
q    q,i q  Uq
4
2a



- локальная плотность энергии поля q
 2 1   
1
E    p  v 
2
2   p 
2
при k>1:
- напоминает плотность энергии звуковой
волны в негравитирующей жидкости
Физический смысл поля q
малые масштабы
q ~ Hv
возмущения материи
(потенциал скорости)
q~ А
большие масштабы
гравитационный
потенциал
hij  A ij  B,ij
2 2
~
ds  dt  a dx

~
a  a 1  q  x 
2
2
Поле q конформно связано с Фридмановской
Вселенной.
В случае конформной инвариантности U=0
(например,
a ~ )
Важный частный случай: a ~   U  0
Во всех других случаях U0 и q конфорно
неинвариантно. Это означает, что поле q
взаимодействует с фоновой нестационарной
метрикой, что обеспечивает спонтанное и
индуцированное рождение фононов во время
расширения.
Вторичное квантование

 *



q   d k ak q k  ak q k
3

q q   a a  

k

k
q k 


k

k
k
2
3/ 2
 a a   0
 
  k  k ,
a
e

ikx

,

k

k
 k   k 
{



 k    U  k  0,
*'
* '
kk  kk  i
2
ak | vac   0

a
  k
>
<
0
  2V  w   3pw 
6aa
  0 : V() становится не важным
при a
  0 : кинетический член не важен
при a
Проблема рассеяния для поля q
при a ~  (p   / 3) :
H  aH  const
Cохранение числа фононов
Представление фононов:
ν k  2
1/ 2
e
i
,
 k/ 3
Полевой гамильтониан:
HRe g

  d k Ek N k
3
Ek   / a
- энергия фононов
N a a
- оператор числа фононов

k

 
k k
Операторы «растущей» и «падающей» мод:


1
sin 
cos 
3
ikx 

q
d k e  C1
 C2
3/ 2 

 
2

1 3 3
2
2
H  a  d k C1  C 2
6


Средняя плотность энергии:
H

1
  1
3
E  3 3 
d k Ek  n k  
3 
2
a  d x 2a 

 

числа заполнения
ak ak   n k  k  k


постоянны
Вычислим число фононов, рожденных
за некоторый период времени:
a  a ~ ,
1    2
Это можно сделать, подсчитав
количество фононов до (<1)
и после (>2).

*

k k
b k   k ak   a
2
 k  k  1
2
ak | in   0
bk | out   0
,
  1
a ,
1    2
A  0   А,   2 , A  const

b k b k 
n k   k
E Re g


 
 n k  k  k

2

1
3

d k  k
3 2 
24 A
2
Теорема: при а”>0 (A>1) преимущественно
рождается растущая мода возмущений
dt



Доказательство: q( x)  D1 x   D 2 x  2 3
 a
(общее решение за горизонтом)
Начальные условия: С  С1
2
2
 С2
2
 1
  0 (начальные условия под горизонтом):
при a

q  qx 
«растущая» мода
  0 (начальные условия за горизонтом):
при a
1
k 
a
1 e ik
2 

 ik
ik

1
1 ke
 k e
k 

a
A
2
1
sin 

gk
, поскольку

2
k  k  iAgk

gk 
i ,
k1

q
2
gk  1 ,
dk 2

qk ,
k
0
( b)
1
C
(a)
1
C
C1
2
  const ~ 1
k
sin 
qk 
gk
1/ 4
2 3

2
«растущая» мода
 (a)

C2 , C(2b )  A 2C(2a )
k1
 g C  C  C2
2
2
2
2
Типичные спектры
q k  Mk, k  M ~ 11
Два замечания к проблеме рассеяния
• Начальные условия устанавливаются за
  0
горизонтом, если a
• Чтобы получить k  M ~ kgal необходимо
  0 на
выполнить условие ускорения a
стадии 1 <  < 2.
В этом случае начальный вакуум должен
быть задан в «адиабатической зоне» (под
горизонтом), что может быть сделано в
общем виде на стадии инфляции!
Семинар 4
Схема расчета количества рожденных частиц в
нестационарных полях
Спектр космологических возмущений после
инфляции на скалярном поле
Соотношение между тензорной и скалярной
модами
Почему не рождаются векторные возмущения?
Лекция 5
Генерация анизотропии
реликтового излучения
* После рекомбинации большая часть фотонов
приходит к нам без рассеяния
* Возмущения плотности наблюдаются в настоящее
время как угловые вариации температуры РИ
* Масштаб горизонта на рекомбинации:
r
1
0
r 

2
0
zr
* Звуковой горизонт на рекомбинации:
* Отсюда следует:
{

  k0 

h
0
s 
1
3
Положение первого акустического пика,
~ 104 причинно несвязанных областей на
поверхности последнего рассеяния
 s  200
1 :
0
1 :
0
Первичный спектр (мгновенная рекомбинация)
Космологические параметры (затяжная
рекомбинация)
Мгновенная рекомбинация
излучение
{
идеальная жидкость,  < r = ls
кинетическое приближение,  > r
Число фотонов в элементе фазового объема


 3 3 
dN  f x , p d x d p



x   , x  , p   p0 , p - 4-импульс фотона
 
4-скаляр в фазовом пространстве,
f x , p

сохраняется вдоль траектории свободного фотона
Уравнение Больцмана
df f f  f 

  x  p  0
d  x
p
  p u

 p
e
p

- частота фотона, измеренная
наблюдателем с 4-скоростью uμ
- направление на небе
откуда пришел фотон
2
 
f  f 
 
 T  exp[ T ( x ,e ) ]  1

T  T0 ( 1  T ) , T0  T0 ( ) , T  T ( x ,e )
~


p



~
0
~
x  x   ,   ~  ( 1   ' e )
g 00


~
0
 T   T  H 0   ' e

  0,1
2
- зависит от наблюдателя только
монополь и диполь
- не зависит от движения наблюдателя
относительно РИ
Спектр РИ


 T (e )   am Ym (e ),
,m
 (   1)C  
  

2


C 
1 / 2
 ( 2  1)
C
1/ 2
T

T0
C 

a
m  
2
m
- парциальная
анизотропия в моде ℓ
- неопределенность спектра из-за
случайных фаз alm (cosmic variance)
Угловая корреляционная функция

(сos   e1e2 )



1
C()   T (e1 ) T (e2 ) 
( 2  1) C P (cos)

4   2

 2
2
 T   T (e1 )   T (e2 )  2C(0)  C()
Связь C с (Гауссовым) полем плотности
предполагает усреднение по ансамблю
(по случайным фазам Фурье-гармоник).
Эта процедура для  >>1 эквивалентна
усреднению по небесной сфере
Гиперповерхность рекомбинации: t r  t  t


   const    ( tr , x )    ( t , x )   t 
   ( t )      t
t 

3H
,
 b
3  
 
 b 

4 
b

 1  ' 

p    p
, e   ,i  - 4-импульс фотона
x
 a


e  (1, e)

v


u  1  D, 
- 4-скорость наблюдателя
a

p  pi
( 0)
 const,
  p( 2u   ) - эйконал
 r
 r
u
, 
,
2
2
u  con st - световой
конус

p
  p i u  (1  D  ev  ' )
a

p
1
r  ( 1    D  e v  ' )r
ar
3
1


 
p  p  0 ,  , e  ' ,r   ,  h  e e  F
2
1 h   
   Fd, '   F' d  
e e d
2 
i
0


 0
0 Tr  1
1
0
 

T0  Tr

1



e
v
|

D
|

h
'
e
e
d

r
r
r


r 1  z  3
2 r

 1

1 

i k
 T (e)     ev  D    hike e d 
3
 ls 2 ls 
0
плотность
красное Интегральный эффект
Допплер
барионов
смещение
Сакса-Вольфа

1
 dt 
  N  ev N    2  
3
2  2 
 2
2
2
релятивизм (c  2)dt  a (1  2 )dx 
c




1
1

 dt
  С  ev N  (1  ) 
 2 
3

H
где

1
 
(c   N )  HvN  
,
3
 H
 v , 

v   ,
 a 

c  2 2
a H
На материальнодоминированной стадии:
3
 ,
2
 0

  1
2 

 T ( e, x)      c 
e  , 
3
aH
r
 
 T ( e, x) 


1
i
k
x
(T )
3
r

e
d
k,
3/ 2  k
( 2 )

 
xr  x  e( r  0 )
2







1
2

1
2
k
2

(T)
   k 1  2 2 

 k   k   k 1 
3
 aH 0  r 3   3a H aH 0  r
2
2



1
2k
2 
2k
2  
2
 1  2 2 
 
С()    k  1  2 2 
9
 a H aH 1  a H aH 1 
sin(k | e11  e 2 2 |) dk

k | e11  e 2 2 | k
после дифференцирования:
sin (k | e11  e 2 2 |)

k | e11  e 2 2 |

1  2  0
сферические
функции Бесселя
  ( 2  1) j (k1 ) j (k2 )P (cos)
0
4
C 
9
dk
  W ( k0 ) k
2
k
2


2k 2 
2k

W ( x )  1 
j ( x )
j' ( x )
2  
( aH )r
 3( aH )r 
ХЗ:
k  0 ,
   0.30 ,
  k0
  30
Положение акустических пиков
Радиационнодоминированная плазма:
k
  k  csd 
3
sin
cos 
q  C1
 C2


1
sin 

 c  C1   cos  

8
 


1
 30
 n  n,  n  k0 
 200 n ,
r
C1 cos 
  100
Немгновенная рекомбинация
•Эффект конечной толщины (информация
о положении откуда пришли фотоны
стерта)
•Силковское затухание (диссипация
неоднородностей)
 подавление мод при k>kf , k>kS
• Общий масштаб диссипации
2
d
2
f
k  k k
2
S
 d  k d 0 ~ 10
3
Эффект конечной толщины
(t )  Tne (t )t -
Вероятность рассеяния на t для t


p  ls (1  1 )(1   2 )...(1   N ) 



e
t
t 0
- вероятность нерассеяния с tls

 t n  t ls  nt ,



    Tn edt 
ls

0
n  1,2,...,N ,
оптическая толща
Функция видимости (максимум на zr  1100):
 1 2
2
V(ls )  ' e  e xp   k f (ls  r ) 
 6


1
T 
3/ 2
( 2 )
2




k
34

(T )
3
  k e xp  ikxr  2k f2 d k , k f  r
=r (поверхность последнего рассеяния):
zr  1100,
ne/n  0.3
=t (своб.пробег  H-1):
zd  900,
nе/n  0.02
Заключение (РИ):
* Наиболее точный инструмент
догалактической космологии
* Первичные возмущения – растущая
адиабатическая мода (инфляция)
* Чувствителен к космологическим
параметрам и процессу реионизации
Семинар 5
Откуда берется множитель l(l+1) на
вертикальной оси спектра мощности CMB?
Как влияет наличие ТЭ и других компонент
Космологической Стандартной Модели на вид
спектра?
Контрольная