Transcript Глава 1 Дифференциальные уравнения движения § 1. Прямолинейное движение § 2. Схема решения дифференциальных уравнений движения § 3.

Глава 1
Дифференциальные уравнения
движения
§ 1. Прямолинейное движение
§ 2. Схема решения дифференциальных
уравнений движения
§ 3. Примеры решения задач
Дифференциальные уравнения
движения
n
ma   Fk
- основной закон динамики
k 1
d
m
  Fk
dt k 1
n
2
n
d r
m 2   Fk
dt
k 1
- векторная форма задания движения
2
n
d r
m 2   Fk
dt
k 1
- координатный способ задания движения
n
mx   Fkx
k 1
n
my   Fky
k 1
n
mz   Fkz
k 1
- в естественных координатах
n
m   Fk 
k 1

m   Fkn
 k 1
2
n
n
0   Fkb
k 1
§ 1. Прямолинейное движение
 сила (или равнодействующая сил) имеет постоянное
направление
 скорость точки в начальный момент времени
направлена вдоль силы или равна нулю
2
d x
m 2   Fkx
dt
k 1
т.к.
n
n
dx
 x
dt
или
mx   Fkx
k 1
то
n
d x
m
  Fkx
dt
k 1
 если сила (или равнодействующая сил) зависит от
координаты x, а не от времени t
или
 по условию задачи надо найти зависимость скорости
Vx от координаты x, то
тогда
d x d x dx d x

 x ,


dx
dt
dx dt
n
d x
m x
  Fkx
dx
k 1
и
dx
 x
dt
Решение основной задачи
динамики – нахождение x = f(t)
Cила (равнодействующая сил) может зависеть от
времени t, положения x и скорости точки vх
n
m x   Fkx  t , x, x 
k 1
Дважды интегрируя это уравнение, находим
x  f  t , C1, C2 
- общее решение уравнения,
x  f  t , x0 , 0 
- частное решение уравнения
§ 2. Схема решения дифференциальных
уравнений движения
 Составить дифференциальное уравнение:
- выбрать систему координат и начало отсчета;
- изобразить тело в произвольный момент времени
и все действующие на него силы;
- найти суммы проекций всех сил на оси координат
 Интегрирование дифференциальных уравнений
 Нахождение постоянных интегрирования
 Определение искомых величин и исследование
полученных результатов
§ 3. Примеры
Задача 1
Груз веса Р, находившийся в покое на гладкой
горизонтальной поверхности, начинает двигаться под
действием горизонтальной силы, проекция которой на
горизонталь равна Fx = H sin(kt), где H и k – постоянные
величины. Найти закон движения
Задача 1
P = mg,
Fx= H sin(kt),
t=0, x=0, Vx=0
x:
ma  N  F  mg
max  mx  Fx  H sin kt
d x
m
 H sin kt
dt
m d x  H sin kt dt
x(t) - ?
y
 m d
N
Fx
0
x
mg
x
  H sin kt dt
1
m x   H cos kt   C1
k
- общее решение
дифференциального уравнения
Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 0
H
0
 C1
k

1 H
m x   H cos kt  
k k
dx
1 H
m
  H cos kt  
dt
k k
H
C1 
k
- частное решение
дифф. уравнения
- еще одно дифф. уравнение
1 H

m dx    H cos kt    dt
k k 

1 H

 m dx     H cos kt  k  k  dt
H
1 H
m x   sin kt    t  C2
k
k k
- общее решение
Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 0
0  0  0  C2
mx
H
1 H
sin kt    t
k
k k
H  sin kt 
x
t 

mk 
k 

C2  0
- частное решение
дифф. уравнения
- решение задачи
Вывод. На равномерное движение груза со скоростью
V = H / (k · m), происходящее по горизонтали вправо,
накладывается колебание с амплитудой A = H / (k2· m) и
периодом – T = 2·π / k
Задача 2
К твердому телу массы m =1 кг, которое может
двигаться вдоль оси x, приложена сила притяжения,
проекция которой на ось x направлена по горизонтали
налево и равна Sx = 2 x. Тело двигалось с начальной
скоростью V0 = 10 м/с вправо. Определить скорость
тела, когда оно пройдет путь 5 м
Задача 2
M =1 кг, Sx= 2 x,
t = 0, x0 = 0,
V0=10 м/c, xk= 5 м
ma  N  S  mg
x:
d x
m
 2 x
dt
Vk - ?
y
max  mx  Sx
d x d x dx d x dx d x



x
dt
dt dx
dx dt
dx
Sx
N
0
m x d x  2 x dx
x
mg
m 
x
d x  2 x dx
2x
x2
m
 2  C1
2
2
- общее решение
Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 10 м/с
100
1
 0  C1
2
2
  x2  50
2

C1  50
- закон изменения скорости
k  100  2 x2  100  2  52  50  7.07  м с 
Ответ. Скорость тела, когда оно пройдет путь 5 м,
будет 7.07 м/с
Задача 3
Лодку с пассажиром, масса которых m = 120 кг,
толкают, сообщая начальную скорость V0 = 2 м/с.
Считать силу сопротивления воды при малых скоростях
изменяющейся по закону R = µV, где µ = 9.1 кг/с. Найти
путь, который пройдет лодка до остановки
ma  N  R  mg
Задача 3
m=120 кг, V0=2 м/c,
R=µV, µ=9.1 кг/с,
t=0, x0=0,
S-?t-?
y
R
x
mg
max  mx  R  x
d x
m
 x
dt
d x
m
  dt
x
d x

 x   m  dt
N
0
x:

ln x   t  ln C1
m
- общее решение дифф.
уравнения
Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 2 м/с
ln 2  0  ln C1
ln x  0.08  t  ln 2

C1  2
- частное решение
дифф. уравнения
ln  x / 2 
x
при х  0 t  
ln  0.08  t  t  
0.08
2
d x d x dx d x dx d x



x
dt
dt dx
dx dt
dx
d x
m x
   x
dx
- еще одно дифф. уравнение

m d x   dx  x   x  C2
m
- общее решение
Начальные условия: t = 0, x = 0, Vx = 2 м/с
2  0  C1

x   x  2
m
x  0 

C1  2
- закон изменения скорости
2m 240
x

 26.6  м 

9.1
Ответ. Лодка будет двигаться очень долго и будет
стремиться преодолеть путь около 26.6 м
Задача 4
Камень массы m, брошен под углом α к
горизонтальной плоскости со скоростью V0. Определить
траекторию движения, горизонтальную дальность
полета, высоту полета и время полета камня.
Сопротивлением воздуха пренебречь
Задача 4
m, V0,
α, t = 0,
X0 = 0,
Y0 = 0
y
x(t) - ?
y(t) - ?
OC - ?
H-?
T-?
mg
V0
H
α
0
Cx
ma  mg
x:
y:
max  mx  0
may  my  mg

d x
 0;
dt
dy
dt
 g
разделяем переменные
d x  0  dt
d  y   g  dt ,
интегрируем
 d
x
 0 dt
x  C1
 d
y
  g  dt
 y   g  t  C2
- общие решение дифференциальных уравнений
Начальные условия: t = 0, Vx = V0 cosα, Vy = V0 sinα
C1  0 cos ;
0 sin   0  t  C2  C2  0 sin 
x  0 cos 
 y   g  t  0 sin 
- частные решения дифференциальных уравнений
dx
 0 cos 
dt
dy
 0 sin   g  t
dt
- еще два дифференциальных уравнения
dx  0 cos   dt
dy   0 sin   g  t  dt
 dx    cos   dt
 dy     sin   g  t  dt
0
0
Общие решения дифференциальных уравнений
x  0 cos   t  C3 ;
x  0 cos   t
g  t2
y  0 sin   t 
 C4
2
y  0 sin   t  g  t 2 2
- частные решения дифференциальных уравнений
g  x2
Траектория движения камня: y  x  tg  
202 cos 2 
Уравнение параболы с осью параллельной оси OY
Брошенное под углом к горизонту тело движется в
безвоздушном пространстве по параболе (Г. Галилей)
Горизонтальная дальность полета:
при y  0

gx 
0  x   tg  2

2
20 cos  

2
2
x

2

cos
  tg  g
x1  0; 2  0
- расстояние ОС
02
OC  sin 2
g
OC 02
 sin   cos , то
Высота полета: если x 
2
g
02
H  sin 2 
g
Время полета:
при x  OC
X  0  T cos 
T
02
X  2 sin   cos 
g
2 0
sin 
g
Угол наибольшей дальности:
если  '  90  , то
расстояние ОС будет одинаковым для обоих случаев
При α = 45О Х будет максимальным
02
X*
g
02 X *
H* 

2g
2
02
T* 
2
g
Задача 5
Парашютист в момент раскрытия парашюта имел
скорость V0, направленную вертикально вниз. Найти
скорость парашютиста, если проекция силы
сопротивления движению на вертикаль
Rх = –k2mV2, где
m – масса парашютиста;
k – постоянный коэффициент;
V – скорость в проекции на вертикаль
ma  R  mg
Задача 5
m, V0,
Rх=-k2mV2,
t=0, x0=0
x-?
0
R
mg
x
x:
max  mx  Rх  mg
d x
m
 k 2m  2  mg
dt
d x
d x
  dt;
 dt 
2 2
2 2
g k 
gk 
g
2

a
k2

a
dx
1
xa
 x 2  a 2  2a ln x  a  C
g
k2
- табличный
интеграл

  g k
k
ln x
 k 2t  C1
g x  g k
- общее решение
Начальные условия: t = 0, x = 0

k
2 g
ln 1  k 2 0  C1
k x  g
ln
  k 2t
2 g k x  g
k
ln
k x  g
 2 g  k  t
k x  g

C1  0
- частное решение
потенцируем это уравнение
и получим
k x  g
 e2
k x  g
k x  k x  e2
x 

g 1  e 2

k 1 e
g kt
2 g k t
k x  g  e2

gkt


gkt

 g 1  e2
gkt
gkt
 k  g 
x

- закон изменения скорости
Ответ. Скорость парашютиста изменяется согласно
полученному закону