Transcript Document
Графики сложных тригонометрических функций
Выполнила: Ученица 10А класса Гаязова Алиса Руководитель Учитель математики Разумова Зинаида Андреевна
1. Цель и задачи проекта:
Цель:
выявление методов построения графиков сложных тригонометрических функций.
• • •
Задачи:
проанализировать литературу по проблеме исследования; раскрыть сущность методов построения графиков сложных тригонометрических функций; подобрать и разработать творческие задания, способствующие развитию навыков построения графиков сложных тригонометрических функций.
Вспомним определение синуса и косинуса угла поворота: 2
sin
1
y
0
cos
1 0
x sin
ордината точки поворота
cos
абсцисса точки поворота (под «точкой поворота» следует понимать – «точку тригонометрической окружности, полученной при повороте на начала отсчета») единичной радиан от
• Синусом α называется отношение
AB/OB
(отношение противолежащего катета к гипотенузе) • Косинусом α называется отношение
ОА/OB
(отношение прилежащего катета к гипотенузе) • Тангенсом α называется отношение
AB/OA
(отношение противолежащего катета к прилежащему) • Котангенсом α называется отношение
ОА/AB
(отношение прилежащего катета к противолежащему) • Секансом α называется отношение
ОB/OA
(отношение гипотенузы к прилежащему катету) • Косекансом α называется отношение
ОB/AB
(отношение гипотенузы к противолежащему катету)
2 График функции
y=sinx
называется
синусоидой
.
y 3 2 5 6 2 1 1 2 6 0 1 2 6
−
1 2 5 6 График функции
y=cosx
называется
косинусоидой
.
y 3 2 2 1 2 1 0 2
−
1 3 2 x 2 2
линия
тангенсов
2 1
y
2 0 1 0
x
1 2 3 1 График функции
y=tgx
называется
тангенсоидой
y
2 4 1 0
−
1 4 2
y
График функции
y=ctgx
называется
котангенсоидой
2 1
−
1 0 4 2 3 4
x
Методы построения графиков сложных тригонометрических функций
• • Построение графиков с помощью компьютерных программ. Построение графиков с помощью упрощения формулы. Примеры. 1 0 -1
Построение графиков с помощью компьютерных программ.
Построение графика функции в Excel.
Даны функция Пусть
f
(
x y = f
) =
x
(
x
) и отрезок [ • cos(
x
);
a a, b
= —10; Решение состоит из двух шагов: ]. Шаг h=0,1. Построить график этой функции на заданном отрезке, используя табличный процессор.
b
= 10.
Для решения задачи воспользуемся ЭТ MS Excel.
1) протабулировать заданную функцию на заданном отрезке, т.е. вычислить ее значения с заданным шагом.
Занесем начало и конец отрезка в отдельные ячейки, чтобы при необходимости можно было изменить начало и конец отрезка. В один из столбцов поместим значения аргумента, в другой — значения функции. Ниже приведено начало таблицы в режиме отображения формул.
2) Получив необходимые значения, переходим собственно к построению графика. Для этого воспользуемся мастером диаграмм. Из всех диаграмм наиболее подходящей представляется точечная.
Ниже приведены серия рисунков, иллюстрирующих процесс (шаги) построения графика, и фрагмент таблицы, содержащей конечный результат.
Построение графиков с помощью упрощения уравнения функции.
• • • • • • • • • • • • • • При построении графиков функций сложного вида можно примерно придерживаться следующего плана: Найти область определения и область значений функции. Выяснить, является ли функция четной (нечетной). Выяснить, является ли функция периодической. Найти точку пересечения графика функции с осью ординат. Найти нули функции и промежутки знакопостоянства. Вычислить производную функции f(x) и определить точки, в которых могут существовать экстремумы. Найти промежутки монотонности функции. Определить экстремумы функции. Вычислить вторую производную f(x) Определить точки перегиба. Найти промежутки выпуклости функции. Найти асимптоты графика. Найти значения функции в нескольких контрольных точках. Построить эскиз графика функции.
Примеры
1. y=
ОДЗ: sin x ≠ 0 x ≠ πk;
y= = = y=2 cos x │sin x│
a) Если sin x ≠ 0, то
y=2 cos x │sin x│
( 2πk < x < π+2πk ) y = sin 2x T= =π
b) Если sin x<0, то y=-2cos x * sin x ( π+2πk < x < 2π+2πk ) y=-sin 2x 2. y= ОДЗ: cos x ≠0 x≠ ; y= => y= ; a) Если cos x>0, то ( y= ; y= cos x
b) Если cos x<0, то y=-cos x ( 3.
y= на [0;π] ОДЗ: 2x ≠ x≠ k=0,1,2,3,4 y= ; а) Если sin 2x<0, то y= 2πk <2x< π+2πk =-sin2x б) Если sin 2x<0, то π+2πk <2x< 2π+2πk y= sin2x
4.
y= на [ ] y= ОДЗ: ctg 2x≠1 2x ≠ πk x≠ k=0,1 2x ≠ x ≠ k=0,1,2,-1,-2
5.
y= y= =│cos 2x│*tg 2x = a) Если cos 2x<0, то y=-sin 2x b) Если cos 2x<0, то y=-sin 2x
Творческие работы учащихся: 1. y= ОДЗ: sin x ≠ 0 = x ≠ πk; sin x> 0, то y=3 (1 и 2 четверти) = sin x< 0, то y=-3 (3 и 4 четверти) 2. y= 3. y= 4. y= 5. y= 6. y= 7. y= 8. y= 9. y=
Заключение
• Анализ научной литературы, учебников математики позволил структурировать отобранный материал в соответствии с целями исследования, подобрать и разработать эффективные методы построения графиков сложных тригонометрических функций. • В работе представлены методы построения графиков сложных тригонометрических функций и примеры функций, в которых используются данные методы.
• Результатом проекта можно считать творческие задания, подобранные обучающимися, как вспомогательный материал для развития навыка построения графиков сложных тригонометрических функций .