Transcript Kondo effect in a Quantum Dot and Fano resonance in an Aharonov
Генерация субгармоник в квантовых джозефсоновских цепях
М.В. Денисенко, В.О. Муняев, А.М.Сатанин Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского, Лаборатория «Теория наноструктур» НИФТИ,Н.Новгород, Россия
Мотивация и актуальность
A. Wallraff,
et al
., Nature (London) 431, 162 (2004)
Схема нелинейного осциллятора
Элементы: Участок цепи: •
для сверхтонких измерений
I.Siddiqi
et al
., Phys. Rev. Lett. 93, 207002 (2004); I. Siddiqi,
et al
. Phys. Rev. B 73, 054510 (2006).
Неэквидистантный спектр!
Возможности:
• Селективное заселение фоковских состояний; • Измерение населенностей кубита •
исследование нелинейных явлений (например, деление частоты)
Исследуемая схема Резистивная модель джозефсоновского перехода
I ac
cos Рассмотрим 2 2 sin
I ac
2 cos
I c
Раскладываем синус
I ac
3
I c x
x
2
x x
x
3 cos
p
n
где
p
2 2
e I c n C
p n
RC
t n
Пример реализации: волновод с встроенным джозефсоновским контактом
, Центральная “жила” планарного волновода “разорвана” и в неё встроена слабая связь Динамика перехода описывается в рамках резистивной модели: 2
e C d
2 1
dt
2 2 1 1 2
Z l
Вблизи минимума энергии, когда
d
1
dt
I C
1 sin 1
I C
2 sin( 1
I C
1 sin 1 (0)
I C
2 sin 1 (0)
f f
1 )
Z l
0 0 1 1 (0) 2
e C d
2
dt
2 2 1 1 2
Z l
d
dt
2
e C
J
2 3 1
Z l
0
J
2 2
eI C
1
C a
I C
2
I C
1
J
2
J
2 1
a
2
f
1/ 2
Гамильтониан джозефсоновского перехода
Квантование: ˆ ,
p
При квантовании величин, используем коммутационное соотношение: ˆ ˆ
i
Плазменная частота
p
8
E E c J H
СV
2 2 2
e I c
sin 2
e E c
e
2 2
C E J
2
e I c
H
8
E p c
2 2
E J
cos 2 С учетом слабой нелинейности 2
e H
2 2
p
ˆ 2 4 ˆ 4 ˆ
Главный резонанс (n = 1)
p
1 2 Выделяем быстрые колебания: Квазиэнергетическая поверхность в отсутствии трения 3 cos
q
sin
q
cos
p
cos
p
sin
I ac I c
После усреднения В отсутствии трения: 0.1
0.01
p q
2
q
2
p
3 8 3 8 2
p
2
q
2
p
2
p
2 В отсутствии трения:
H
q
2 32
p
2 8 3
q
2
p
2 2
q
Фазовый портрет (n = 1)
Точный резонанс: 0 Без трения и 1 С трением: 0.1
Устойчивый фокус 7
Динамика перехода (n = 1)
Со временем колебания выходят на:
r
0 cos 0 Фурье спектр 0.02
1 0.1
p
3
Дробный резонанс (n = 3)
x
2
x x
x
3 Линейный сдвиг:
x
Квазиэнергетическая поверхность в отсутствии трения
A
cos
A
n
2 2
An
sin
A
cos 3 0 0
q q
sin cos
p p
cos sin После усреднения
p q
2 2
q
p
3 3 8 8
q
p
2
A
2 2
A
2
q
2
q
2
p
2
p
2 2
Aqp
q
2
p
2
p
0.15
A
0.3
В отсутствии трения:
H
q
2 4
p
2 3 8 4
A
2
q
2
p
2
A
8 2 3
p
2
Условия наблюдения дробного резонанса
21 16
A
2 16 3 2
A
2 Один устойчивый фокус 21 16
A
2 16 3 2
A
2 Возникают три новые точки равновесия 21 16
A
2 16 3 2
A
2 Один устойчивый фокус, три седла, три устойчивых фокуса или узла
A c
16 3 7
c
2 7
Фазовый портрет (n = 3)
Точный резонанс: 0.1
Без трения и
A
0.3
С трением: 0.01
Устойчивые точки равновесия
Динамика перехода (n = 3)
Со временем колебания выходят на:
x
A
r
cos Фурье спектр Дробный резонанс 0.01
1.1
1.4
Квантовая теория нелинейного резонанса
H
2 2
p
ˆ 2 4 ˆ 4 ˆ ˆ 1 2
p
( ),
i
p
( 2
H
p
4 ( ) 4 ( )( ˆ ) ) Резонансное приближение Совершим унитарный поворот и выделим вращение на частоте внешнего поля
f t
f
0 cos(
t
) Стационарный гамильтониан в резонансном приближении:
H eff
n
ˆ 4 ˆ 2
f
0 2 (
a
ˆ
a
ˆ ) Разлагая волновую функцию по фоковскому базису получим уравнение для коэффициентов |
i
C n
t
(
n
2 )
n
f
0 ( 2
nC n
1
n
1
C n
1 ) Условия захвата в нелинейный резонанс:
n
0 2 1,
n
n f
0 0 1/ 4
n
0
Квазиэнергетическое представление Спектр квазиэнергий
f
0 0
f
0 0.025
f
0 0.05
E n
n
n
2
n
max 2
Главный резонанс
Управляющее поле подается на частоте близкой к плазменной частоте, т.е.
< p
f
0 0.1
n
0 66 Возбуждение из основного состояния осциллятора 0.00015
0.02
f
0 0.2
n
0 66
f
0 0.3
n
0 66
Динамика населенностей при главном резонансе
Квазиэнергетическое состояние: Эволюция суперпозиции квазиэнергетических состояний
t
0
t
150
T t
300
T t
450
T
Дробный резонанс
Аналогично классическому случаю совершаем линейный сдвиг
H
p
4 (
i f
0
t
0
e i
cos(3 После перехода во вращающуюся систему координат и усреднения по быстро осциллирующим колебаниям, получаем
H eff
4 ˆ 2 ( ˆ 3
a
ˆ 3 )
g
f
0
p
8 2 Уравнение
i
t
|
n
ˆ 4
n
ˆ 2 ( ˆ 3
a
ˆ 3 так же решаем в фоковском базисе: |
n
Динамика населенностей при дробном резонансе
n
18
• • • •
Диссипативная динамика осциллятора Механизмы релаксации в джозефсоновском осцилляторе:
Флуктуация заряда на джозефсоновских контактах Квазичастицы на островках сверхпроводимости (конечное сопротивление) Ядерные спины в подложке (флуктуация магнитного поля) Радиационное затухание, связь с управляющим полем
t
Уравнение для матрицы плотности:
i
1 2 (2
p
1, 0.001
H
p
(
a a
) 2 ( )( ˆ
a
ˆ )
f
0 cos(
t
)
f 0
=0.3
f 0
=0.2
f 0
=0.1
Влияние релаксации
0.002
0.005
0.01
t/T
Диссипация приводит к быстрому захвату в нелинейный резонанс (выход на стационарное значение)
0.01, 0.0015,
f
0.1
Выводы
• • • •
Рассмотрена джозефсоновская цепь, в которой возможно деление частоты Показано, что в классическом режиме происходит захват колебаний на главный и дробные резонансы В резонансном приближении построены квазиэнергетические состояния для эффективных гамильтонианов, описывающих целый и дробный резонансы Выяснена роль диссипации в процессе захвата на резонансы