Сложение гармонических колебаний Метод векторных амплитуд Биения Фигуры Лиссажу Метод векторных амплитуд Сложение колебаний в общем случае производится аналитически, но в ряде случаев может быть осуществлено геометрически, при помощи.
Download
Report
Transcript Сложение гармонических колебаний Метод векторных амплитуд Биения Фигуры Лиссажу Метод векторных амплитуд Сложение колебаний в общем случае производится аналитически, но в ряде случаев может быть осуществлено геометрически, при помощи.
Сложение
гармонических
колебаний
Метод векторных амплитуд
Биения
Фигуры Лиссажу
Метод векторных амплитуд
Сложение колебаний в общем случае
производится аналитически, но в ряде
случаев может быть осуществлено
геометрически, при помощи так
А
называемого вектора амплитуды.
0
0
A
0
x
Метод векторных амплитуд
Если вектор амплитуды привести во
вращение вокруг точки О, взятой на оси х,
с угловой скоростью 0 , то проекция
конца этого вектора на ось х будет
совершать гармонические колебания с
циклической частотой 0 по закону:
x A cos A cos 0t 0
0 – угол, образованный вектором амплитуды и
осью х в начальный момент времени.
Метод векторных амплитуд
Пусть складываемые колебания
описываются уравнениями:
где
1 2 ; А1 А2 ; 01 02
Метод векторных амплитуд
Результирующее смещение в любой момент
времени равно алгебраической сумме
смещений х1 и х2 :
x x1 x2 A1 cos t 01 A2 cos t 02
Выполним это сложение геометрически,
с помощью векторов амплитуды.
Метод векторных амплитуд
Изобразим положения векторов
амплитуды в начальный момент времени.
A2
A
A1
0
010
02
x
Метод векторных амплитуд
Проекция конца вектора
определяет
A
результирующее смещение
в начальный
момент времени: A A1 A2
Так как оба вектора A1 и A2
вращаются в
процессе колебаний с одной и той же угловой
скоростью 0 , с такой же скоростью будет
вращаться и вектор результирующей
амплитуды.
x A cos0 t 0
Метод векторных амплитуд
По теореме косинусов получаем:
A A A 2 A1 A2 cos
2
2
1
2
2
cos cos 02 01
A A A 2 A1 A2 cos 02 01
2
2
1
Из рисунка
2
2
A1 sin 01 A2 sin 02
tg 0
A1 cos 01 A2 cos 02
Биения
Рассмотрим сложение двух
гармонических колебаний слегка
отличающимися частотами,
происходящих вдоль одной прямой.
1 2
Начальные фазы положим равными нулю,
а амплитуды одинаковыми.
Биения
Уравнения данных колебаний:
x1 Acos 1 t ,
x2 Acos 2t.
Векторы амплитуды складываемых колебаний
будут вращаться с разными угловыми скоростями.
Это приведёт к тому, что вектор результирующей
амплитуды будет пульсировать по величине.
Биения
Результирующее колебание равно сумме
x x1 x2.
Применим формулу для суммы косинусов
1 2
x 2 A cos
2
1 2
t cos
2
t
Биения
Множитель, выделенный вертикальными
чертами, изменяется с течением времени
гораздо медленнее, чем второй множитель, и
может рассматриваться как амплитуда.
2
x
2 1
t
2
1 2
Биения
Биения можно рассматривать как
гармоническое
1 2
колебание с частотой
2
,
амплитуда которого изменяется по закону:
1 2
2 A cos
2
t
Фигуры Лиссажу
Рассмотрим сложение колебаний,
происходящих во взаимоперпендикулярных
направлениях
x a cos t ,
y b cos(t ).
Фигуры Лиссажу
Выполним преобразования
x
cos t ,
a
y
cos(t ).
b
Фигуры Лиссажу
Раскроем косинус суммы аргументов
y
cos(t ) cos t cos
b
x
x2
sin t sin cos 1
sin .
2
a
a
Фигуры Лиссажу
Выполним преобразования
x
y
x2
cos 1
sin ,
a
b
a2
x2
y2
2
2
xy
x
cos 2
cos (1 )sin 2 ,
a2
b2 ab
a2
x
2
y
2
2 xy
cos sin 2.
2
2
ab
a
b
Фигуры Лиссажу
x
2
y
2
2 xy
2
cos sin .
a 2 b2 ab
Данное уравнение – это уравнение
эллипса, оси которого ориентированы
относительно осей x и y произвольно
Фигуры Лиссажу
0
Рассмотрим частные случаи:
(разность фаз равна нулю)
y
x a cos t ,
b
y b cos t.
x y 2
( ) 0.
a b
a
x
Фигуры Лиссажу
Разность фаз равна
x y 2
( ) 0.
a b
.
y
b
a x
Фигуры Лиссажу
Разность фаз .
2
y
b
2
2
x
y
2 2 1
x 2 y2
a b 1.
2
2
a
b
a
y
a b R.
2
2
2
x y R .
x
x