Transcript { эллипс – гипербола – парабола – исследование формы – параметрические уравнения – эксцентриситет, фокальные радиусы и параметр – директрисы –

{ эллипс – гипербола – парабола – исследование формы – параметрические уравнения – эксцентриситет, фокальные
радиусы и параметр – директрисы – полярное уравнение эллипса и гиперболы – плоские фигуры второго порядка
– преобразование координат – примеры }
Эллипс - множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма
расстояний от двух точек, называемых фокусами F1 и F2 , есть величина
постоянная, равная 2 a
   
   
   
   
y2
x2
 2 1
2
a
b
F1 M  F2 M  2 a
F1 M  F2 M  ( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2 a
y
F2 (-с,0)
( x  c )2  y2  2a  ( x  c )2  y2
M(x,y)
0
F1 (с,0)
x
a ( x  c ) 2  y 2  a 2  cx
( a2  c2 )x 2  a2y 2  a2 ( a2  c2 )
c a
b 
a2  c2
Координаты точек эллипса ограничены :
b
a
c
c
0
b
b
y 
a2  x 2 , x  a
a
c
c
2
F2 M  ( x  c )  y  ( x  a )  a  x
a
a

c
c
2
2
2
F1 M  ( x  c )  y  ( x  a )  a  x
a
a

Фокальные
радиусы
a
x  a, y  b
2
2
Уравнение эллипса в параметрической форме
2
b 
  1- 
a 
x  a cos( t )
, 0  t  2

 y  b sin( t )
Эксцентриситетом эллипса называется число
0  1
 0
  0.6
  0.7
Эксцентриситет — числовая характеристика
конического сечения, показывающая степень его
отклонения от окружности.
y
0
y( c )  p
c
x
c
 
a
b2
p 
a
p2
c2
 2 1
2
a
b
Гипербола - множество всех точек плоскости, для каждой из которых
абсолютная величина разности расстояний от двух точек, называемых
фокусами F1 и F2 , есть величина постоянная, равная 2 a
y
   
F2 (-с,0)
x
F1 (с,0)
0 a c
y
x

1
2
2
2
a
c a
2
F1 M  F2 M
M(x,y)
0
2
   
 2a
( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2  2 a
cx  a 2  a ( x  c ) 2  y 2
( c2  a2 )x  a2y 2  a2 ( c2  a2 )
b2  c2  a 2
y2
x2
 2 1
2
a
b
Точки гиперболы располагаются вне полосы, ограниченной прямыми
y
d
b
F2 (-с,0)
a
x  a
a
b
y  
x
F1 (с,0)
x a
b
x 2  a 2 , x  a V x  a
a
Y 
b
x
a
y2
x2
 2 1
2
a
b
b
ab
( x  x 2  a 2 )  lim
0
2
2
x  a
x 
x  x a
d  lim ( Y  y )  lim
x 
x  ach ( t )
,  t  

y  bsh ( t )
y2
x2
 2  2 1
a
b
фокальная
ось -Y
Эксцентриситетом гиперболы называется число
r1  ( x  c ) 2  y 2  x  a
r2  ( x  c )  y
2
2
 x  a
F2 (-с,0)
a
M(x,y)
0
a
x
F1 (с,0)
 1
2
r1  ( x  a ) , r2  ( x  a )
y
c
 
a
b 
  1  
a 
y( c )  p
p2
c2
 2 1
2
a
b
b2
p 
a
Директрисами эллипса называется две прямые, параллельные малой оси эллипса
y2
x2
 2 1
2
a
b
y
F2
0
y2
x2
 2 1
2
a
b
F1
a
x  

y
x
a
x  

F2
0
F1
x
Директрисами гиперболы называется две прямые, параллельные мнимой оси
Теорема 1. Отношение расстояния r любой точки эллипса (гиперболы) от
фокуса к её расстоянию d от соответствующей директрисы есть постоянная
величина, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы) 
y
D1
(Фокус и директриса считаются соответствующими, если они
расположены с одной стороны от центра)
M
r1  x  a
0
a
x  0

: r 
d
F1 x
Уравнение правой директрисы имеет нормальный вид
a
d x 

r1
x  a

 
a
d
x 

Эллипсом (гиперболой) называется множество всех точек
плоскости, для которых отношение расстояния от заданной
точки, называемой фокусом, к расстоянию от заданной
прямой, называемой директрисой, есть постоянная величина 
D
y
Параболой называется множество всех тех точек плоскости, каждая из
которых равноудалена от точки F , называемой фокусом, и прямой D ,
называемой директрисой параболы.
M(x,y)
d
r
p
0
x
p
F ( ,0 )
2
p
x  
2
r
  1
d
p 2
p
)  y2  d 
x
2
2
p 2
p
2
( x  )  y  (  x )2
2
2
r  (x 
p
p
y( )  2 p
 p
2
2
y 2  2 px
x 2  2 py
y 2  2 px
x 2  2 py
M(x,y)
D
L
L
d

P 
N
F

 
d
Пусть L – эллипс, гипербола или парабола.
F – её фокус, D – односторонняя с ним
директриса,  – эксцентриситет, P - фокальный
параметр, d - расстояние фокуса от
директрисы.
P
 
d
P
d 

d  ( LN )  ( LF )  ( FN )  d   cos 
P
d 
  cos 

 ( 1   cos  )  P
 
P
( 1   cos  )
@
Представить уравнение эллипса в полярной
системе координат
y2
x2
 2 1
2
3
2
Решение
c  3 2
2
P
4
d 


5
2

5
b2
22
4
P 


a
3
3
2
2 
  1  
3 
4
 
3  5 cos 
5

3
y
x
Парабола
Эллипс
Гипербола
Ax 2  2 Bxy  Cy 2  2 Dx  2 Ey  F  0
Ax
i
i2
yi
 2B x y  C y
i
y
i
i
i
B 0
i
i2
 2Di x i  2 E i y i  F i  0
x  x i cos   y i sin   a
y  x i sin   y i cos   b
Полагая a и b в формулах преобразования нулю
M
0i
0
Ai  A cos 2   2 B sin  cos   C sin 2 
B i  A sin  cos   B cos 2   C sin  cos 
xi
C i  A sin 2   2 B sin  cos   C cos 2 

A C
ctg2  
x
2B
x0 y  x i0 i y i
Ax
i
i2
C y
i
i2
 2Di x i  2 E i y i  F i  0
A (x
i
i2
Di i
Ei i
i
i2
2 i x ) C (y 2 i y )  Fi  0
A
C
i
D
Ei 2
i
i
2
i
i
A ( x  i )  C ( y  i )  F ii  0
A
C
yi Y
Параллельный сдвиг координатных осей
X
M
Di
i
X x  i
A
Ei
i
Y y  i
C
F
ii
Ai X 2  C iY 2  F ii
x
0i
0
i
X
Y

ii
ii  1
F
F
Ai
Ci
2
2
2
2
Di
Ei
 F  i 2  i 2
A
C
i
X2 Y2
 2 1
2
a
b
A i  0 , C i  0 , F ii  0
@
Привести к каноническому виду уравнение кривой 2-го порядка
x 2  xy  y 2  x  y  0
ctg2  
A C 1 1

0
2B
2
i2
 
3x
i2
y
3x
i2
 ( yi  2 )2  2
i
X2
2
 2 


 3 



4

Y2
 2
2
1
y
y
i
X
xi  yi
x 
2
i
x  yi
y 
2
 2 2y  0
X  xi
Y  yi  2
Y
xi
0i
x
0