Slide 1

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 2

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 3

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 4

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 5

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 6

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 7

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 8

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 9

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 10

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 11

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 12

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 13

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru


Slide 14

В. В. Жук, к. ф.-м. н.,
учитель математики
РСФМСШИ им. О. Жаутыкова

Если три ребра, выходящие из одной
вершины тетраэдра, попарно
перпендикулярны, то трехгранный угол,
определяемый ими, называется
прямым, а тетраэдр — прямоугольным.
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катетные
грани (грани, содержащие
прямой плоский угол) и
гипотенузную грань (не
содержащую прямой угол).
Прямоугольный тетраэдр
содержит три катета (рёбра
прямого трёхгранного угла) и
три гипотенузы (рёбра,
лежащие на гипотенузной
грани).

Катеты: D A  a , D B  b , D C  c .
Гипотенузы: BC  a1 , AC  b1 , AB  c1 .
Площади катетных граней:
S BC D  S 1 , S AC D  S 2 , S ABD  S 3 .

Площадь гипотенузной грани: S ABC  S .
Радиус описанной сферы R ,
радиус вписанной сферы r .
Двугранные углы:
A  BC  D   , B ( AC )D   , C  AB  D   .

Высота, опущенная из вершины D:
D H  h.

Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме
квадратов катетов.
a 1  b1  c1  2  a  b  c
2

2

2

2

2

2



Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме
квадратов площадей катетных граней.
S  S1  S 2  S 3
2

2

2

2

S 
2

1
4



1
4



1
4



1


S 

1
2

b c a c a b
2

2

2

2

2

2

2

2

c  DK
2

c c1 
2

c

2

4
1

C K  c1 

2

4

2

2

4

1

 c1 
2

D K  c1 
2

b  a

c b 
2

1

2

2



4

2

D K  c1 
2

1
4

 S1  S 2  S 3 .
2

1

c a 
2

4
2

2

2

2

D K  c1 
2

2

  AB,CD   DK 

  AС , BD  
  BС , AD  

ab
a b
ac
2

a c
bc

2

b c

2

2

2

2

V 

1
6

abc , V

2



2
9

S1S 2 S 3

Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,
проведенной к грани-гипотенузе, является ортоцентр
гипотенузной грани.
h

3V

abc



b c a c a b
2

S

1
h

2



1
a

2

2



2

1
b

2



2

2

1
c

2

2

S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 

 S  S cos   S cos   S cos  
2

2

2

2

2

2

2

cos   cos   cos   1,
2

2

2

sin   sin   sin   2.
2

cos  
cos  

2

S1

2



S

b c a c a b

S2

ac

2



S3
S



2

2

2

2

;
2

b c a c a b
2

S
cos  

bc

2

2

2

2

;
2

ab
b c a c a b
2

2

2

2

2

.
2

Площади граней-катетов являются средними
пропорциональными величинами между площадью
грани-гипотенузы и соответственно площадями их
ортогональных проекций на гипотенузу.
S 1  S  cos  , S 2  S  cos  , S 3  S  cos 
S 1  S 1  cos  , S 2   S 2  cos  , S 3  S 3  cos 
2
2
2
 S 1  SS 1 , S 2  SS 2  , S 3  SS 3

R 

1

a b c
2

2

2

2

1



r

1



hA



r


1

1



a
1
a



1
hB

1



b
1
b





1
c

1

1



hC

1



hD

1



c

h



1
a



2



1
b

2



1
c

2

.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA 1 =15 через диагональ BD1 параллелепипеда
параллельно диагонали основания АС проведена плоскость.
Вычислить площадь сечения этой плоскостью.

В прямоугольном параллелепипеде с ребрами АВ = 12,
AD = 16 и AA1 =15 через точку М, лежащую на ребре AA1 и
диагональ BD1 параллелепипеда проведена плоскость.
Какой должна быть длина отрезка АМ, чтобы расстояние до
этой плоскости
от вершины D было наибольшим?
Вычислите это расстояние. Какие углы образует эта
плоскость с плоскостями граней АВСD и DD1 CC1?

1. Я. П. Понарин. Элементарная геометрия: В 3 т. —Т. 3:
Треугольники и тетраэдры. М.: МЦНМО, 2009. – 192 с.
2. Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов. Стереометрия в задачах.
Пособие для поступающих в вузы. М.: Ориентир, 2004 –
232 с.
3. Г. А. Басова. Прямоугольный треугольник и прямоугольный
тетраэдр // Фестиваль педагогических идей «Открытый
урок», 2011-2012 учебный год (http://festival.1september.ru)
Все чертежи выполнены в программе «The Geometer’s
Sketchpad» («Живая геометрия»), версия 5.0
Данную презентацию можно скачать на сайте
www.zhukmath.ru