Transcript презентации
Нестандартные приемы
решения нестандартных
уравнений и неравенств
Разработала учитель математики
МБОУ «СОШ №38» г.Чебоксары
Карасёва Вера Васильевна.
Цель – обучение учащихся решению нестандартных
уравнений и неравенств за счет глубокого понимания
теоретических основ, применяемых в математике.
• Задачи, решаемые в процессе обучения:
• развить нестандартное мышление учащихся;
• сформировать умение строить математические
модели;
• отработать навыки прохождения тестирования при
подготовке к ЕГЭ (решение задач повышенной
сложности);
• повысить интерес к математике;
• привить уверенность учащимся при решении задач
Метод мажорант (метод оценки
ограниченности функций).
Методом мажорант решаются уравнения вида
f(x)=g(x), где f(x) и g(x) функции совершенно
разного вида. Итак, если на некотором промежутке
Р наибольшее значение функции y=f(x) равно M, а
наименьшее значение функции y=g(x) равно M, то
уравнение
f ( x) M ,
f(x)=g(x)
g ( x) M .
Решите уравнение:
Решение.
•
ОДЗ:
х 2 4 х 2 1 3 5х 2
3
3
х
.
5
5
• Оценим левую часть уравнения:
х2 4 4,
х 2 1 1,
х 2 4 х 2 1 4 1 3.
• Оценим правую часть уравнения:
2
3 5 х 3.
• Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна
правой части, только если обе части одновременно равняются 3.
х 2 4 х 2 1 3,
3 5 х 2 3.
• Решая второе уравнение, получаем х=0.
• Ответ: х=0
Задания для самостоятельной работы
log 3 (8 2 x x 2 ) 2 x 1 21 x
8
x
3
4
x
1
2
x
cos 2
x
x 42
2
1 4 x1
2
tgx ctgx
1
x
x
log 2 ( x ) sin 2
cos 4
x
2
2
4x
log 3 (4 cos
) sin x
3
x2 x
2
2 cos
2 x 2x
6
log 2 (1 x 4 x 2 ) log 2 (1 x 2 ) 0
2 1
2
x
log 2 ( x 1) log 2 x 2
2 log 3 (4 x 2 ) log 2 (1 ( x 3) 2 )
2 x log 5 ( x 2)
2 1
x
2
1 x6
log cos 2 x x 4
x
log 2 (3 sin x ) 2 2
Решить неравенство cos 2x cos 6x 2
cos 2 x 1,
cos 6 x 1.
cos 2 x 1,
2 x 2n,
cos 2 x cos 6 x 2
cos 6 x 1. 6 x 2n.
x n,
n x n., n
x 3
Использование монотонности функций
•
Теоремы о монотонности функций, их связь с
решением уравнения. Алгоритм решения с помощью
метода монотонности.
• Если y=f(x) - монотонная функция, то уравнение f(x) = c
имеет не более одного корня
• Пусть функция y=f(x) возрастает на промежутке М, а
функция y=g(x) убывает на этом промежутке. Тогда
уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке М не более
одного корня.
• Пусть область определения функции f(t) есть
промежуток М, и пусть эта функция непрерывна и
строго монотонна (т.е. возрастает или убывает) на этом
промежутке. Тогда уравнение
f ( ( x)) f ( ( x))
( x) ( x),
равносильно системе:
( x) M ,
x M
Решите уравнение: 3 7 х 6 3 5 х 17 5.
3
3
y
7
х
6
5 х 17 возрастающая (как
• Функция
сумма двух возрастающих функций). В правой части –
постоянная, то по теореме о корне данное уравнение имеет
не более одного корня.
Методом подбора найдем корень уравнения, он равен 2
Ответ. Х=2
x 1
• Решите неравенство: 8 3 2
<7
1
Функция f (x) 8 x 3 2 x возрастает
при любых, как
сумма двух возрастающих функций. Легко видеть, что
х=0-единственный корень уравнения f(x)=7.
Следовательно, неравенство f(x)<7 выполняется при х<0.
Ответ х<0
x
Задания для самостоятельной работы
2 3 2 3
x
x
2
x
3 5 2 x1 7 2 4 x1 19
5 3 2
x
x
log 2 (1 x ) log 3 x
( 3 ) x 2 x1 1
2 log 3 ctgx log 2 cos x
2x 3 x
8 x 2 x 2 3 x x 0
16 x 3 x 4 x 9 x
log 2 x ( x 1) log 2 x 6 2 x
log 2 ( x 3) 3 log 3 (14 x)
3
log 2 ( x 3) 3 log 3 (14 x)
3
2 3 x 9 7
2x
1
x 1
3
1
log 1 x 17
4
Использование области определения
функций
• Рассматривается метод, когда при решении
уравнения или неравенства выясняется, что обе
его части определены на некотором множестве,
состоящем из одного или нескольких чисел.
• Этот метод наиболее результативен при решении
уравнений и неравенств, в состав которых входят
обратно тригонометрические, логарифмические и
иррациональные функции.
Правила решения уравнений и
неравенств
• При решении уравнения или неравенства перенести все
члены в левую часть и рассмотреть функцию f (x). Найти
её область определения Д (f). При этом:
• 1). Если Д (f) – пустое множество , то уравнение или
неравенство решений не имеют.
• 2). Если Д (f) = {а1; а2; а3…..аn}, то действительные
решения данного уравнения и неравенства находятся
среди чисел а1; а2; а3…..аn. Теперь необходимо
проверить, какие из данных чисел являются решениями
уравнения или неравенства.
• 3). Если Д (f) = [а; в], то нужно проверить верно ли
уравнение или неравенство на концах промежутка и в
каждом промежутке, причём, если a < 0, а в > 0, то
необходима проверка на промежутках (а; 0) и [0; в).
Решите уравнение:
5 х 7 х 2 х 15 2
• Выпишем условия, при которых выражения, входящие в
левую часть данного уравнения, имеют смысл:
5 х 0,
7 х 0,
2 х 15 0;
х 5,
х 7,
х 7,5;
• Система решений не имеет. Поэтому и исходное
уравнение не имеет решений.
• Ответ: решений нет.
Задания для самостоятельной работы
1. Решите систему неравенств
2 x 2 24 x 2 y 2 28 y 167 0
15
x
2
y
2
2.При каких значениях параметра уравнение
x 2 6x 8 x 2 6x 5 a
имеет ровно 3 корня.
3.Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений
неравенства
1.
является отрезком длины меньше
4. Найдите все значения параметра , при каждом из которых график
функции f ( x) x 2 x 2 2 x 3 a пересекает ось абсцисс более чем в двух
различных точках.
• 5. Найдите все значения переменной , при каждом из которых
неравенство
верно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка
[3; 6].
Применение производной при решении
уравнений и неравенств
• При решении уравнений или неравенств часто бывает необходимо
доказать монотонность (возрастание или убывание) функций,
входящих в уравнение или неравенство. Возрастание и убывание
функций удобно доказывать с помощью производной.
• Решите неравенство:
7
5
20 x 28 x 210 x 35 sin 2 x 0
•
•
Рассмотрим функцию
y 20 x 7 28 x 5 210 x 35 sin 2 x
Она определена на всей числовой прямой имеет производную:
f ( x) 140 x 6 140 x 4 210 70 cos 2 x
причем f (x )>0 , следовательно, возрастает на всей области определения
Тогда уравнение f ( x) 0 имеет не более одного корня. Легко заметить, что
таким корнем является число х=0. Т.к. функция непрерывна и
возрастающая, то решением исходного неравенства является
х 0;
.
Задания для самостоятельной работы
• 1.Найдите все значения , при которых
уравнение 6 sin 3 x p 5 cos 2 x
не имеет корней.
x3
• 2.Решите уравнение sin x x
6
x
x
• 3. Решите уравнение e e 2 ln( x 1 x 2 )
x 2 y 2 y 2 x y 3 9
• 4. Решить систему уравнений 3
4
x y y 7
t2 t 1
t
2
t t 1
• 5. Доказать, что уравнение
имеет
единственный корень, лежащий в интервале 1 ; 1
3 2
• 6. Доказать, что уравнение cos x x
2
имеет единственное решение
x
7. Решить уравнение 2 3 x
.
Тригонометрическая подстановка
• Тригонометрическая подстановка является одним из
способов реализации метода замены переменной и
используется в тех случаях, когда область определения
исходного уравнения совпадает с областью значения
тригонометрической функции или включается в эту
область. Выбор той или иной функции при этом зависит от
вида уравнения, неравенства, их систем или
алгебраического выражения, которое требуется упростить.
• Если из условия задачи следует, что допустимые значения
переменной х определяются неравенством x 1 , то
удобны замены x sin или x cos.
Задания для самостоятельной работы
1.Решить уравнение
1 x2 x
1
.
1 x 1 x
2
2
2.Выяснить, сколько корней имеет
уравнение 8x1 2 x 2 8x 4 8x 2 1 1 .
5
x
1
3. Решите уравнение
. x
2
x2 1
4. Решите уравнение 1 x 3 x 2 3. x 1 1 x 2
5. Решите уравнение 8 x 3 6 x 3 0 .
6. Решите уравнение
x 1 x 2 2 2x 2 1