Transcript Использование свойств функций при решении заданий из

Использование свойств
функций при решении
заданий из частей А и В ЕГЭ.
Требования, предъявляемые
стандартом математического
образования (базовый уровень)
к умениям выпускника:
определять значение функции по значению
аргумента при различных способах задания
функции;
строить графики изученных функций;
описывать по графику и в простейших
случаях по формуле поведение и свойства
функций, находить по графику функции
наибольшие и наименьшие значения;
решать уравнения, простейшие системы
уравнений, используя свойства функций и их
графиков.
Свойства, которые полезны при
исследовании функции на
монотонность без использования
производных:
если две функции возрастают (убывают) на
некотором промежутке, то и их сумма также
возрастает (убывает) на этом промежутке;
если к тому же обе функции неотрицательны, то и
их произведение возрастает (убывает) на этом
промежутке;
если функция y = f(x) положительна и возрастает
на некотором промежутке, то y  f (1x ) функция
убывает на этом промежутке;
если обе функции y = f(x) и y = g(x) возрастают
(убывают) и сложная функция y = f(g(x))
определена на некотором промежутке, то она
возрастает на этом промежутке
5y0,5 x41  50,5 x 1
Задание: найти наибольшее
значение функции
y  lg(8  x)  4  50,5 x1  2  x,
1)y = 8-x убывает, а y = lgx возрастает, и поэтому y = lg(8-x)
убывает;
0,5 x 1
y

5
возрастают, и поэтому
2)y = 0,5x + 1 и
y  4  50,5 x1
возрастает, а
y  4  50,5 x1
убывает;
3)y = 2-x убывает, а y  x возрастает, и поэтому
убывает.
Значит, и вся функция y  lg(8  x)  4  5 
убывает как сумма убывающих функций,
т.е. yíàèá .  y(2)  1  4  2 = -1.
0,5 x1
2 x ,
y  2 x
x   2;2
y  4  50,5 x1
«Полезные» неравенства.
Неравенство между средним арифметическим
средним геометрическим положительных чисел
a1 a2 ...an
n
 n a1  a2  ... где
an , a i > 0. Равенство достигается при
a1  a2  ...  an.
Неравенство для суммы синуса и косинуса одного
аргумента a sin x  b cos x  a 2  b 2 .
Неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел:
x
1
x
2
при x >0 и
x  1x  2 при x < 0, причем
равенство достигается при x  1.
Пример 1. Решить уравнение .
cos x  1  x .
2
Решение: заметим, что левая часть
уравнения не превосходит единицы, в
то время как правая часть не меньше
единицы. Следовательно, исходное
уравнение имеет решение, только если
обе его части равны единице. Это
возможно только при х.=0.
Ответ: х.=0.
Пример 2. Решить уравнение:
2
 cos x
 log x  logx  .
Решение: так как
 1  cos x  1,
то левая часть уравнения принимает значения от
1
2
до 2. Для правой части (в силу неравенства для суммы
двух взаимно обратных чисел) выполнено
log x  logx   log x  log1 x  2.
Поэтому уравнение имеет решения, если и только если
одновременно выполнены два условия:

2  cos x  2,

log  x  log x   2.
Решая эту систему, получаем
x  .
Ответ:
x  .
Пример 3. При каких значениях
параметра р система:
 x 2  2 px  4 p 2  5 p  3  4 sin y  3 cos y,

0  y  2

имеет единственное решение?
Решение: легко оценить правую и
левую части первого неравенства
системы. Квадратичная функция от х,
расположенная в левой части
неравенства, достигает своего
2
3
p
 5 p  3 при х.=-р.
наименьшего значения
16  9  5.
При этом правая часть неравенства (как
можно убедиться с помощью введения
дополнительного аргумента ) не превосходит
16  9  5.
Для того, чтобы исходная система имела
единственное решение, необходимо, чтобы
наименьшее значение левой части
совпадало с наибольшим значением правой
части, то есть чтобы выполнялось 3 p 2  5 p  3  5.
Из последнего уравнения находим
p  2.
p   13
и
Ответ:
p   13 ;2.
К легкой задаче на экзамене
надо относиться столь же
серьёзно, как и к любой другой.
В конце концов. Итоговой оценке
совершенно все равно, почему она
оказалась не столь высокой, какой
могла бы быть: потому , что не смогли
сделать сложную задачу, или потому,
что «наврали» в простой.