Transcript Funkcje

FUNKCJE
Temat:
Pojęcie funkcji.
1.Definicja funkcji:
f
x
y
X
Y
Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X
przyporządkujemy dokładnie jeden
element ze zbioru Y, to mówimy, że
określiliśmy funkcję na zbiorze X
o wartościach w zbiorze Y.
f
x
y
X
Y
X– dziedzina funkcji
x - argument funkcji
y=f(x) – wartość funkcji dla argumentu x
2. Definicja funkcji liczbowej:
Dana jest funkcja określona na zbiorze
X o wartościach w zbiorze Y. Jeżeli X i Y
są zbiorami liczbowymi to funkcję
nazywamy liczbową.
3. Sposoby przedstawiania funkcji :
a) Opis słowny
b) Graf
c) Tabelka
d) Wzór
e) Wykres
4. Ćwiczenia :
Który z poniższych grafów przedstawia
funkcję
a
X
tak
b
x
y
c
z
Y
4. Ćwiczenia :
X
Y
a
tak
b
x
y
c
z
4. Ćwiczenia :
X
Y
a
1
2
b
c
3
d
nie
4. Ćwiczenia :
X
Y
1
a
b
2
3
c
4
nie
5. Ćwiczenia :
Która z poniższych tabelek przedstawia
funkcję
x
-1
0
1
2
4
tak
y
0
4
3
3
0
x
-1
0
2
2
4
nie
y
0
4
3
5
0
Temat:
Wykres i wzór funkcji.
1. Wykres funkcji.
Dana jest funkcja liczbowa f.
Wykresem tej funkcji nazywamy zbiór
punktów płaszczyzny {(x,f(x)): xX}
y
f(x)
(x,f(x))
1
wartość
0
1
x
x
argument
2. Ćwiczenie :
Która z poniższych linii przedstawia
wykres funkcji?
y
1
0
tak
1
x
y
1
0
nie
1
x
y
1
0
tak
1
x
y
1
0
nie
1
x
3. Miejsce zerowe funkcji.
Argument dla którego wartość funkcji
wynosi zero nazywamy miejscem
zerowym funkcji
x:
f(x)=0
Temat:
Monotoniczność funkcji.
1. Funkcja rosnąca.
Definicja:
Funkcję f nazywamy rosnącą, gdy dla
dowolnych argumentów x1 i x2 spełniony
jest warunek:.
x1<x2  f(x1)<f(x2)
y
f
1
x
0
1
f(x)
x
2. Funkcja malejąca.
Definicja:
Funkcję f nazywamy malejąca , gdy dla
dowolnych argumentów x1 i x2 spełniony
jest warunek:.
x1<x2  f(x1)>f(x2)
y
f(x)
f
1
x
0
1
x
3. Funkcja stała.
Definicja:
Funkcję f nazywamy stałą , gdy dla
każdego argumentu przyjmuje taką
samą wartość
y
f
f(x)
1
x
0
1
x
4. Ćwiczenia .
g
y
f
1
0
f-stała
h-malejąca
x
1
h
4. Ćwiczenia .
y
1
f
0
x(-;1 f rosnąca
x1;3 f stała
x3; ) f malejąca
1
x
Temat:
Funkcje-rozwiązywanie
zadań.
x
-5
f(x)
2
a) Y={
1

2
-2
0
1
-3
-3  3
2
1
1
 3 -3, 0,2, 2
2
2
b) dla x {-5,1}
c) ymax=
1
2
2
}
f(x)>0
1
ymin=  3 2
1
zerowe x= 2 2 x=2
1
2
2
d) Miejsca
1
1
2
2
2
0
0
y
1
0
D=-4;3
1
x
y
1
0
Y=-4;2
1
x
y
1
0
1
Dla x(-4;-2)(2;3 f(x)>0
x
y
1
0
Dla x(-1;1) f(x)<-2
1
x
y
4
2
1
x
-4 -3
-1
0
1
2
3
4
-3
D={-4,-3,-1,2,3,4}
Y={-3, 0,2,4}
Temat:
Funkcja liniowa
1.Definicja
Funkcję postaci y=ax+b, xR
nazywamy funkcją liniową.
Wykresem funkcji liniowej jest linia
prosta.
Współczynnik a nazywamy
współczynnikiem kierunkowym
2. Ćwiczenie : narysuj wykresy funkcji
y=2x+1
a=2, b=1
x
0
1
y
1
3
x
0
1
y
-3
-1
y=2x-3 a=2, b= -3
y
1
x
0
1
3. Ćwiczenie : narysuj wykresy funkcji
y=-2x+1 a=-2, b=1
x
0
1
y
1
-1
x
0
1
y
3
1
y=-2x+3 a=-2, b= 3
y
1
x
0
1
4. Ćwiczenie : narysuj wykresy funkcji
y=1
y=0
a=0, b=1
x
0
1
y
1
1
x
0
1
y
0
0
a=0, b= 0
y
y=1
1
x
0
1
y=0
5. Własności funkcji liniowej.
a) monotoniczność
a>0
rosnąca
a<0
malejąca
a=0
stała
b) Miejsca zerowe
a0
jedno
a=0
b0
nie ma
b=0
nieskończenie
wiele
c) Punkt (0,b) – punkt przecięcia
wykresu z osią OY
Temat:
Przesuwanie wykresów
funkcji.
1. Przesunięcie wzdłuż osi x.
y
y=f(x)
y=f(x-1)
x=1
1
y=f(1-1)=
=f(0)
x
0
y=f(x)
1
y=f(x-1)
2. Przesunięcie wzdłuż osi y.
y=f(x)+1
y=f(x)
y
x=1
1
y=f(1)+1
x
0
y=f(x)
1
y=f(x)+1
3. Ćwiczenia
y
y=f(x)
1
0
y=f(x)
y=f(x+1)-2
x
1
y=f(x+1)-2
3. Ćwiczenia
y
y=f(x-2)+1
y=f(x)
1
x
0
y=f(x)
1
y=f(x-2)+1