Transcript gdzie a, b, c  R f(x)=ax2+ bx + c Wykresem funkcji kwadratowej jest PARABOLA Położenie jej ramion zależy od współczynnika kierunkowego a Y Y X a X a>0 1)

gdzie a, b, c  R
f(x)=ax2+ bx + c
Wykresem funkcji kwadratowej jest PARABOLA
Położenie jej ramion zależy od współczynnika kierunkowego a
Y
Y
X
a<0
X
a>0
1) y = 3x2 - 2x + 1
a = 3, b = -2, c = 1
2) y = x2 – x + 2
a = 1, b = -1, c = 2
3) y = -2x + x2
a = 1, b = -2, c = 0
Z każdą funkcją kwadratową nierozerwalnie związany jest jej
wyróżnik ,,delta”
 = b2 – 4ac
Każdą funkcję kwadratową w postaci ogólnej można
przekształcić do postaci kanonicznej.
WZÓR OGÓLNY POSTACI KANONICZNEJ
f(x) = a(x – p)2 + q
Gdzie p i q oblicza się z następujących wzorów:
b
p
2a

q
4a
Jeżeli a>0, to funkcja f(x) = ax2 + bx +c, gdzie x R osiąga w
b

x


wartość najmniejszą (minimum) równą 
punkcie
2a
2a
natomiast nie istnieje jej wartość największa.
b
x


Jeżeli a<0, to funkcja f(x)=
+ bx + c osiąga w punkcie
2a

wartość największą (maksimum) równą  , natomiast nie istnieje
2a
jej wartość najmniejsza
ax2
Rodzaj ekstremum dla każdej funkcji zależy współczynnika a
Y
Y
a<0
a>0
W
W
X
X
W = y min
W = y max
Punkt o współrzędnych [p, q] nazywamy wierzchołkiem paraboli
a dwie części, na które ten punkt dzieli parabolę, jej ramionami
W [p, q]
Y
Oś symetrii to prosta,
która jest równoległa
do osi y i przechodzi przez
wierzchołek W [p, q]
X
W
y1=q
Y
oś symetrii
Zbiór wartości funkcji
x (y1 ,+)
lub
x ( - , y2)
y2=q
W
X
oś symetrii
Funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a  0 i x  R
• nie ma miejsc zerowych, gdy  < 0
• ma jedno miejsce zerowe, gdy  = 0; jest nim liczba 
b
2a
• ma dwa miejsca zerowe, gdy  > 0; są nimi liczby:
b  b 
i
2a
2a
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej nazywamy PIERWIASTKAMI
Y
X
Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych gdy:a > 0 i  < 0
Y
X
Funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych gdy: a < 0 i  < 0
Y
b
x0 
2a
X
Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe gdy:a > 0 i  = 0
Y
X
b 
x1 
2a
x2 
b 
2a
Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe gdy: a > 0 i  > 0
Y
x1 
b 
2a
x2 
b 
2a
X
Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe gdy: a< 0 i  > 0
Y
x0 
b
2a
X
Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe gdy: a < 0 i  = 0
Wykres każdej funkcji kwadratowej
posiada również wartości dodatnie
i ujemne
Gdy x > 0
x   , x1   x2 ,
Gdy x < 0
x  x1 , x2 
Y
++++++
+ + + + +-
X1 _ _ _ _ _ _ _ X2
X
Równanie ax2 + bx + c = 0, w którym x jest niewiadomą, a  0, b i c
zaś to są liczby dane, nazywamy RÓWNANIEM KWADRATOWYM
lub RÓWNANIEM DRUGIEGO STOPNIA
Równania kwadratowe
zupełne
niezupełne
Występują wszystkie
współczynniki a, b, c
np.
x2 +
3x +4 = 0
Nie występują wszystkie współczynniki
brak a
np.5x–2=0
brak b
np.4x2+2=0
brak c
np.2x2-6x=0
Każdą z nierówności o postaci: ax2 + bx +c >0, ax2 + bx +c < 0,
ax2 + bx + c 0 lub ax2 + bx + c  0 w których x jest niewiadomą
a  0, zaś b i c są to dane liczby, nazywamy NIERÓWNOŚCIĄ
KWADRATOWĄ lub NIERÓWNOŚCIĄ DRUGIEGO STOPNIA
Przykłady:
4x2+3x=4 > 0
2x2+x+2 < 0
x2-x+5 0
5x2+6x-1  0
DOMINIKA PELCZAR
KLASA II
TECHNIKUM
POLIGRAFICZNE „b”