Transcript FUNKCJA KWADRATOWA

FUNKCJA KWADRATOWA
27.05.2014
TRZY POSTACIE FUNKCJI

ogólna
f ( x)  ax2  bx  c, a  0

kanoniczna
f ( x)  a( x  p)2  q, a  0

a)
b)
iloczynowa
gdy   0
to
f ( x)  a( x  x1 )(x  x2 ), a  0
gdy   0
to
f ( x)  a( x  x0 ), a  0
2
Przykład 1
f ( x)  x 2  3x  4
1. postać ogólna
a 1
b  3
c  4
 b  (3) 3
p


2a
2 1
2
  b 2  4ac
 b    (3)  5
x1 

 1
2a
2 1
 b    (3)  5
x2 

4
2a
2 1
3
1
oś sym etrii x  p   1
2
2
1
1
W  ( p, q )  (1 ,6 )
2
4
  (3) 2  4 1  (4)  9  16  25 zatem są dwa
miejsca zerowe
   25
1
q

 6
4a
4 1
4
wykres funkcji
1
zbiór wartości: y   6 ;)
4
funkcja malejąca w
przedziale: x  (;1 1
2
funkcja rosnąca w
przedziale: x  1 1 ;)
2
1. postać ogólna
f ( x )  ax2  bx  c
2. postać kanoniczna
a 1
1
p 1
2
1
q  6
4
f ( x)  a ( x  p ) 2  q
1 2
1
f ( x)  ( x  1 )  6
2
4
f ( x)  x 2  3x  4
a 1
b  3
c  4
3. postać iloczynowa
a 1
x1  1
x2  4
f ( x)  a( x  x1 )(x  x2 )
f ( x)  ( x  1)(x  4)
Przykład 2
f ( x)  ( x  1) 2  4
2. postać kanoniczna
a  1
p 1
q4
W  ( p, q )  (1,4)
oś sym etrii x  p  1
f (0)  (0  1) 2  4  1  4  3
wykres funkcji
zbiór wartości: y  (; 4
funkcja malejąca w
przedziale: x  1;)
funkcja rosnąca w
przedziale: x  (;1
f ( x)  ( x  1) 2  4  ( x 2  2 x  1)  4 wzór skróconego mnożenia
f ( x)   x 2  2 x  1  4   x 2  2 x  3
a  1
1. postać ogólna
b2
c3
  b 2  4ac  2 2  4  (1)  3  4  12  16
b  24 6
x1 


3
2a
2  (1)  2
b  2 4
x2 

 1
2a
2  (1)
f ( x)  a( x  x1 )(x  x2 )
f ( x)  ( x  1)(x  3)
3. postać iloczynowa
Przykład 3
1
f ( x)  2( x  )(x  1)
2
3. postać iloczynowa
a2
1
x1  
2
x2  1
1
 1
x1  x2
1
2
oś sym etrii x 

 p
2
2
4
1
1 1 1
1
q  f ( p)  f ( )  2(  )(  1)  1
4
4 2 4
8
1
1
W  ( p, q)  ( ;1 )
4
8
wykres funkcji
1
y


1
;  
zbiór wartości:
8
funkcja malejąca w
przedziale: x  (; 1
4
funkcja rosnąca w
1
przedziale:
x  ;  
4
1
1
1
f ( x)  2( x  )(x  1)  2( x 2  x  )
2
2
2
f ( x)  2 x 2  x  1
a2
1. postać ogólna
b  1
c  1
1
p
4
1
1
q  f ( p)  f ( )  1
4
8
1
1
f ( x)  2( x  ) 2  1
2. postać kanoniczna
4
8
Równanie kwadratowe
x2  3  4x
x2  4x  3  0
a 1
b  4
c3
  b 2  4ac
  (4) 2  4 1  3  4
b  42
x1 

1
2a
2 1
b  4 2
x2 

3
2a
2 1
Nierówność kwadratowa
3x  4  x 2
 x 2  3x  4  0
a  1
b3
c4
  b 2  4ac
  32  4  (1)  4  25
b   35
x1 

4
2a
2  (1)
x2 
b   35

 1
2a
2  (1)
Odp. x  (1;4)
Wartość najmniejsza i wartość
największa funkcji kwadratowej
w przedziale domkniętym
1. należy sprawdzić, czy wierzchołek paraboli
należy do podanego przedziału domkniętego
(gdy należy policzyć wartość funkcji dla tego argumentu)
2. potem policzyć wartości funkcji na krańcach podanego
przedziały domkniętego
3. wybrać wartość najmniejszą i największa w podanym
przedziały domkniętego
Przykład
f ( x)  x 2  x  6,
x  0;2
a 1
b  1
c  6
 b  (1) 1
p


2a
2 1
2
1
1 2 1
1
f ( )  ( )   6  6  yMIN
2
2
2
4
f (0)  6
f (2)  22  2  6  4  2  6  4  yMAX
Wyznaczanie wzoru funkcji
kwadratowej
Przykład 1
Dany jest wierzchołek paraboli w punkcie
(2,1) i miejscem zerowym tej funkcji jest
liczba 3.
- należy zatem skorzystać z postaci
kanonicznej funkcji kwadratowej, bo
znamy wierzchołek paraboli
W  (2,1)
f ( x)  a ( x  p ) 2  q
postać kanoniczna
f ( x)  a( x  2)  1
f (3)  0 m iejsce zerowe
2
a(3  2) 2  1  0
a 1  0
a  1
Odp.
f ( x)  ( x  2) 2  1
Przykład 2
Dane są dwa miejsca zerowe funkcji
–2 i 4 oraz f(0)=16.
- należy zatem skorzystać z postaci
iloczynowej funkcji kwadratowej, bo
znamy miejsca zerowe
f ( x)  a ( x  x1 )(x  x2 ) postać iloczynowa
f ( x)  a ( x  2)(x  4)
f (0)  16
a (0  2)(0  4)  16
 8  a  16
a  2
Odp. f ( x)  2( x  2)(x  4)
Przykład 3
Dane są dwa miejsca zerowe funkcji
1 i –3 oraz jej wykresem jest
parabola styczna do prostej o
równaniu y = – 4.
- należy zatem skorzystać z postaci
iloczynowej funkcji kwadratowej, bo
znamy miejsca zerowe
f ( x)  a ( x  x1 )(x  x2 )
f ( x)  a ( x  1)(x  3)
y  4  q
x1  x2 1  3
p

 1
2
2
W  ( p, q)  (1,4)
f (1)  4
a(1  1)(1  3)  4
a(2)  2  4
 4a  4
a 1
Odp.
f ( x)  ( x  1)(x  3)