FUNKCJA KWADRATOWA
Download
Report
Transcript FUNKCJA KWADRATOWA
FUNKCJA KWADRATOWA
27.05.2014
TRZY POSTACIE FUNKCJI
ogólna
f ( x) ax2 bx c, a 0
kanoniczna
f ( x) a( x p)2 q, a 0
a)
b)
iloczynowa
gdy 0
to
f ( x) a( x x1 )(x x2 ), a 0
gdy 0
to
f ( x) a( x x0 ), a 0
2
Przykład 1
f ( x) x 2 3x 4
1. postać ogólna
a 1
b 3
c 4
b (3) 3
p
2a
2 1
2
b 2 4ac
b (3) 5
x1
1
2a
2 1
b (3) 5
x2
4
2a
2 1
3
1
oś sym etrii x p 1
2
2
1
1
W ( p, q ) (1 ,6 )
2
4
(3) 2 4 1 (4) 9 16 25 zatem są dwa
miejsca zerowe
25
1
q
6
4a
4 1
4
wykres funkcji
1
zbiór wartości: y 6 ;)
4
funkcja malejąca w
przedziale: x (;1 1
2
funkcja rosnąca w
przedziale: x 1 1 ;)
2
1. postać ogólna
f ( x ) ax2 bx c
2. postać kanoniczna
a 1
1
p 1
2
1
q 6
4
f ( x) a ( x p ) 2 q
1 2
1
f ( x) ( x 1 ) 6
2
4
f ( x) x 2 3x 4
a 1
b 3
c 4
3. postać iloczynowa
a 1
x1 1
x2 4
f ( x) a( x x1 )(x x2 )
f ( x) ( x 1)(x 4)
Przykład 2
f ( x) ( x 1) 2 4
2. postać kanoniczna
a 1
p 1
q4
W ( p, q ) (1,4)
oś sym etrii x p 1
f (0) (0 1) 2 4 1 4 3
wykres funkcji
zbiór wartości: y (; 4
funkcja malejąca w
przedziale: x 1;)
funkcja rosnąca w
przedziale: x (;1
f ( x) ( x 1) 2 4 ( x 2 2 x 1) 4 wzór skróconego mnożenia
f ( x) x 2 2 x 1 4 x 2 2 x 3
a 1
1. postać ogólna
b2
c3
b 2 4ac 2 2 4 (1) 3 4 12 16
b 24 6
x1
3
2a
2 (1) 2
b 2 4
x2
1
2a
2 (1)
f ( x) a( x x1 )(x x2 )
f ( x) ( x 1)(x 3)
3. postać iloczynowa
Przykład 3
1
f ( x) 2( x )(x 1)
2
3. postać iloczynowa
a2
1
x1
2
x2 1
1
1
x1 x2
1
2
oś sym etrii x
p
2
2
4
1
1 1 1
1
q f ( p) f ( ) 2( )( 1) 1
4
4 2 4
8
1
1
W ( p, q) ( ;1 )
4
8
wykres funkcji
1
y
1
;
zbiór wartości:
8
funkcja malejąca w
przedziale: x (; 1
4
funkcja rosnąca w
1
przedziale:
x ;
4
1
1
1
f ( x) 2( x )(x 1) 2( x 2 x )
2
2
2
f ( x) 2 x 2 x 1
a2
1. postać ogólna
b 1
c 1
1
p
4
1
1
q f ( p) f ( ) 1
4
8
1
1
f ( x) 2( x ) 2 1
2. postać kanoniczna
4
8
Równanie kwadratowe
x2 3 4x
x2 4x 3 0
a 1
b 4
c3
b 2 4ac
(4) 2 4 1 3 4
b 42
x1
1
2a
2 1
b 4 2
x2
3
2a
2 1
Nierówność kwadratowa
3x 4 x 2
x 2 3x 4 0
a 1
b3
c4
b 2 4ac
32 4 (1) 4 25
b 35
x1
4
2a
2 (1)
x2
b 35
1
2a
2 (1)
Odp. x (1;4)
Wartość najmniejsza i wartość
największa funkcji kwadratowej
w przedziale domkniętym
1. należy sprawdzić, czy wierzchołek paraboli
należy do podanego przedziału domkniętego
(gdy należy policzyć wartość funkcji dla tego argumentu)
2. potem policzyć wartości funkcji na krańcach podanego
przedziały domkniętego
3. wybrać wartość najmniejszą i największa w podanym
przedziały domkniętego
Przykład
f ( x) x 2 x 6,
x 0;2
a 1
b 1
c 6
b (1) 1
p
2a
2 1
2
1
1 2 1
1
f ( ) ( ) 6 6 yMIN
2
2
2
4
f (0) 6
f (2) 22 2 6 4 2 6 4 yMAX
Wyznaczanie wzoru funkcji
kwadratowej
Przykład 1
Dany jest wierzchołek paraboli w punkcie
(2,1) i miejscem zerowym tej funkcji jest
liczba 3.
- należy zatem skorzystać z postaci
kanonicznej funkcji kwadratowej, bo
znamy wierzchołek paraboli
W (2,1)
f ( x) a ( x p ) 2 q
postać kanoniczna
f ( x) a( x 2) 1
f (3) 0 m iejsce zerowe
2
a(3 2) 2 1 0
a 1 0
a 1
Odp.
f ( x) ( x 2) 2 1
Przykład 2
Dane są dwa miejsca zerowe funkcji
–2 i 4 oraz f(0)=16.
- należy zatem skorzystać z postaci
iloczynowej funkcji kwadratowej, bo
znamy miejsca zerowe
f ( x) a ( x x1 )(x x2 ) postać iloczynowa
f ( x) a ( x 2)(x 4)
f (0) 16
a (0 2)(0 4) 16
8 a 16
a 2
Odp. f ( x) 2( x 2)(x 4)
Przykład 3
Dane są dwa miejsca zerowe funkcji
1 i –3 oraz jej wykresem jest
parabola styczna do prostej o
równaniu y = – 4.
- należy zatem skorzystać z postaci
iloczynowej funkcji kwadratowej, bo
znamy miejsca zerowe
f ( x) a ( x x1 )(x x2 )
f ( x) a ( x 1)(x 3)
y 4 q
x1 x2 1 3
p
1
2
2
W ( p, q) (1,4)
f (1) 4
a(1 1)(1 3) 4
a(2) 2 4
4a 4
a 1
Odp.
f ( x) ( x 1)(x 3)