FUNKCJE Opracował: Karol Kara Czego się dowiesz i co poznasz: Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina Zbiór wartości funkcji Sposoby określania funkcji Wykres funkcji Odczytywanie własności funkcji z wykresu Przykłady.
Download
Report
Transcript FUNKCJE Opracował: Karol Kara Czego się dowiesz i co poznasz: Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina Zbiór wartości funkcji Sposoby określania funkcji Wykres funkcji Odczytywanie własności funkcji z wykresu Przykłady.
FUNKCJE
Opracował:
Karol Kara
1
Czego się dowiesz i co poznasz:
Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina
Zbiór wartości funkcji
Sposoby określania funkcji
Wykres funkcji
Odczytywanie własności funkcji z wykresu
Przykłady funkcji
>Funkcja liczbowa
>Funkcja linowa
>Funkcje nieliniowe
Jednomian drugiego stopnia
Trójmian drugiego stopnia
>Funkcja wykładnicza
Zastosowanie funkcji
2
Pojęcie funkcji
Niech będą dane dwa zbiory A i B.
Jeśli każdemu elementowi zbioru
A przyporządkujemy dokładnie jeden
element ze zbioru B, to mówimy, że na
zbiorze A została określona funkcja f o
wartościach w zbiorze B. Zbiór A
nazywamy wtedy dziedziną funkcji
(i oznaczamy D f), elementy tego zbioru
nazywamy argumentami funkcji, zaś
zbiór B nazywamy przeciwdziedziną
funkcji.
3
Zbiór wartości funkcji
Funkcje oznaczamy małymi literami
(na ogół f, g, h …). Zbiór, do którego należą
wszystkie wartości przyjmowane przez
funkcję nazywamy zbiorem wartości funkcji.
Jeśli f jest funkcją z A w B i a A, to
symbol f(a) oznacza wartość funkcji f dla
argumentu a. Zapis f: x f(x) czytamy: „f
jest funkcją, która argumentowi x
przyporządkowuje wartość f(x)”.
4
Sposoby określania funkcji
Funkcję można określić za pomocą:
grafu
przepisu słownego
Każdej liczbie całkowitej x
większej od -4 i mniejsyej od 4
przyporządkowujemy liczb y o dwa
mniejszą od połowy kwadratu liczby x.
wykresu
wzoru lub kilku wzorów
tabelki
5
Wykres funkcji
Wykresem funkcji nazywamy zbiór
tych wszystkich punktów płaszczyzny
o współrzędnych (x, y), dla których x
należy do dziedziny funkcji, a y jest
wartością funkcji dla argumentu x.
6
Odczytywanie własności funkcji z wykresu
Z wykresu funkcji można łatwo odczytać, dla jakich
argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie. W tym celu
wystarczy znaleźć te argumenty, dla których wykres znajduje
się nad osią x. Dla tych argumentów, dla których wykres
znajduje się pod osią x, funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Argumentami tej funkcji są
liczby: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3;
Wartościami
tej funkcji są
liczby: 2 1 , 0, 1 1 , -2;
2
2
Funkcja ta argumentowi
x=1 przyporządkowuje wartość
y = 1 1 ;
2
1
2
Funkcja przyjmuje wartość y =
2
dla argumentów x = -3 i x = 3.
7
Przykłady funkcji
Funkcja liczbowa
Funkcję, której argumentami
i wartościami są liczby
rzeczywiste, nazywamy
funkcją rzeczywistą zmiennej
rzeczywistej lub funkcją
liczbową.
8
Funkcja liniowa
Funkcję określoną wzorem: y = ax + b, gdzie a i b są
współczynnikami liczbowymi, nazywamy funkcją liniową.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych.
Wykresem jest linia prosta. Aby narysować tę prostą,
wystarczy znaleźć dwa dowolne jej punkty.
Współczynnik a jest współczynnikiem kierunkowym
prostej.
9
O czym mówią współczynniki funkcji liniowej?
Jeżeli a > 0, to funkcja
y = ax+ b jest rosnąca:
Jeżeli a < 0, to funkcja
y = ax+ b jest malejąca:
Jeżeli a = 0, to funkcja y = ax+ b jest stała:
10
Funkcje nieliniowe
Funkcja kwadratowa:
Jednomian drugiego stopnia y = ax2
Jednomianem drugiego stopnia
nazywamy funkcję daną wzorem:
y=ax2, gdzie x jest zmienną
niezależną, a jest stałym
współczynnikiem różnym od zera.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór R
wszystkich liczb rzeczywistych.
Wykres funkcji y = ax2, dla a > 0
nazywamy parabolą. Ponieważ
najmniejszą wartość, y = 0 funkcja
przybiera dla x = 0, więc
wierzchołkiem tej paraboli jest
punkt (0,0). Zmienia się jedynie
kształt paraboli: dla 0 < a < 1
parabola jest szersza niż parabola y
=x2, dla a > 1 parabola jest węższa.
11
Porównanie funkcji:
y = ax2 oraz y = - ax2, a 0.
Skoro do wykresu funkcji y = ax2 należy punkt o współrzędnych (x1, y1), to
do wykresu funkcji y = - ax2należy punkt o współrzędnych (x1, -y1). Wynika
z tego, że wykres funkcji y = - ax2 jest symetryczny względem osi OX do
wykresu funkcji y = ax2 .
Dla a < 0 funkcja y =ax2 ma następujące własności:
Funkcja przybiera wartości niedodatnie: dla x = 0 jest ax2 = 0, dla x 0 jest
ax2 < 0 ;
Funkcja przybiera wartości ujemne o dowolnie wielkiej wartości
bezwzględnej, byleby x była dostatecznie wielka. Mówi się, że gdy
x + lub x - , to wartość funkcji y - ;
Dla x = 0 funkcja przybiera największą wartość (maksimum absolutne)
równą zeru, nie istnieje natomiast najmniejsza wartość funkcji;
Dla przeciwnych wartości zmiennej niezależnej funkcja przybiera te same
wartości: ax2 = a(-x) 2, czyli f(x) = f (-x);
Dla dodatnich wartości zmiennej niezależnej funkcja jest malejąca, dla
ujemnych jest rosnąca.
Punkt, którego rzędna jest równa maksymalnej wartości funkcji nazywamy
wierzchołkiem paraboli. Dla tych wszystkich parabol wierzchołkiem jest
punkt (0,0).
12
Trójmian drugiego stopnia
Funkcję określoną wzorem y = ax 2+bx +c nazywamy
trójmianem kwadratowym, postać kanoniczna tego
2
wzoru to y = a (x -p) +q, gdzie p, q – współrzędne
wierzchołka paraboli.
Przykład. Rozpatrzmy dwie funkcje:
y = 2x – 3
y = 2x 2
Porównując te funkcje można zauważyć, że tym samym
wartościom zmiennej x odpowiadają w funkcji 1) wartości o trzy
mniejsze niż w funkcji 2). Znaczy to, że wykres 1) powstaje
przez przesunięcie wykresu funkcji 2) o wektor równoległy do
osi OY i takie, że q = -3. Wierzchołek paraboli ma współrzędne
(0, -3). Wartość y = -3 jest najmniejszą wartością funkcji. 13
Funkcja wykładnicza
Funkcję: y = a x , gdzie aє R+\{1}
nazywamy funkcją wykładniczą.
14
Zastosowanie funkcji
Za pomocą funkcji opisujemy zwykle,
w jaki sposób zmienia się jedna wielkość
w zależności od drugiej;
Za pomocą funkcji można przedstawić
matematycznie wiele związków fizycznych
i technicznych, np. wyznaczyć, jaki wynik
otrzyma się na podstawie wszystkich
możliwych wartości początkowych.
15