Transcript Funkcje 1 - Interklasa

FUNKCJE
Spis treści
1. Funkcja jako przyporządkowanie.
2. Jakie przyporządkowanie jest funkcją?
3. Sposoby przedstawiania funkcji.
4. Teoria zbiorów funkcji.
5. Monotoniczność funkcji.
6. Wykresy.
7. Funkcje określone na zbiorach skończonych.
8. Opisywanie własności funkcji.
9. Zastosowanie funkcji.
10. Zakończenie.
Funkcja jako przyporządkowanie.
Jeśli chcesz przyswoić sobie istotę funkcji,
jeśli wydaje Ci się ona nudna i
niepotrzebna w życiu – pomożemy Ci.
Postaramy się udowodnić, że funkcje mają
szerokie zastosowanie w codzienności i
wcale nie są trudne.
Na początku zastanówmy się, czym
jest funkcja.
Funkcja to przyporządkowanie, gdzie
jednemu elementowi ze zbioru X jest
przyporządkowany inny, w zbiorze Y.
Powrót
Jakie przyporządkowanie jest funkcją?
Wcale nietrudno to stwierdzić, pamiętaj
tylko tą definicję:
JEŻELI DANE SĄ DWA ZBIORY X I Y I
KAŻDEMU ELEMENTOWI ZE ZBIORU X
JEST PRZYPORZĄDKOWANY
DOKŁADNIE JEDEN ELEMENT ZE
ZBIORU Y, TO PRZYPORZĄDKOWANIE
JEST FUNKCJĄ.
Aby prześledzić funkcje i „niefunkcje”,
przybliż sobie poniższe przykłady:
Popatrz:
Każdemu
człowiekowi jest
przyporządkowany
dokładnie jeden
nos – to jest
funkcja.
Spójrz:
Każde dziecko
ma swoją szkołę,
przy czym
niektóre z nich
chodzą do tych
samych szkół – to
także jest
funkcja (zgodna z
wcześniej
przytoczoną
definicją funkcji).
Czasem też mamy
do czynienia z inną
funkcją:
Każdemu grzybowi
jest
przyporządkowany
jeden koszyk, w
tym wypadku ten
sam.
To znów ludzie:
Niektórzy mają
jedno, a niektórzy
wiele miejsc pracy,
co zaznaczono w
tym
przyporządkowaniu
– to
przyporządkowanie
nie jest funkcją.
Powyższe przykłady można równie dobrze zamienić na liczby:
Jeden człowiek może stać się jednostką czasu, a „nos” – wartością prędkości na
fizycznym wykresie.
Powrót
Sposoby przedstawiania funkcji:
a) Za pomocą grafu, np.:
b) Za pomocą tabelki, np.:
x
1
2
3
4
y
3
6
9
12
c) Za pomocą wykresu, np.:
d) Za pomocą wzoru, np.:
y=3x
e) Oraz opisu słownego, np.:
Każdemu elementowi ze zbioru
X przyporządkowana jest liczba
3 razy większa.
Powrót
Teoria zbiorów funkcji
Powrót
Monotoniczność funkcji.
Funkcje mogą być rosnące i malejące lub stałe. Odróżniamy je m.in. Dzięki ich
przebiegowi w układzie współrzędnych. Przypomnijmy sobie nazewnictwo
ćwiartek układu współrzędnych:
Oto wzór ogólny funkcji liniowej, której
wykres jest linią prostą:
y=ax+b
Przy czym b to punkt przecięcia
wykresu z osią Y, a a to współczynnik
kierunkowy funkcji.
Od tego, czy współczynnik
kierunkowy a jest dodatni, czy
ujemny, zależy monotoniczność
funkcji.
A co, jeśli nie wiesz czy wykres jest funkcją,
czy zwykłym przyporządkowaniem?
To nie jest trudne! Zobacz:
Dobra rada: Zawsze sprawdź, czy na
danej współrzędnej X znajduje się
tylko jeden punkt wykresu:
Te wykresy są funkcjami. Na pokazanej
linią przerywaną wartości X znajduje się
dokładnie jeden punkt wykresu…
…a jeżeli odnajdziesz tam więcej punktów tak, jak na tych wykresach, możesz być
pewien, że to nie funkcja
Funkcja rosnąca
Jej wykres przechodzi
przez I i III ćwiartkę układu
współrzędnych – „kieruje
się w górę”, przy czym a>0.
Funkcja malejąca
Jej wykres przechodzi przez
II i IV ćwiartkę układu
współrzędnych – „kieruje się
w dół”, przy czym a<0.
Funkcja stała
Wykres ma postać prostej
równoległej do osi X, gdzie
y ma ustaloną wartość, przy
czym a=0.
y może równać się np.: 3, -3, 0 itd.
Powrót
Wykresy funkcji
Oprócz znanej Ci funkcji liniowej
istnieją też jeszcze inne wykresy,
jak na przykład PARABOLA,
HIPERBOLA i wiele innych, które
będziesz omawiać w szkole
ponadgimnazjalnej.
Powrót
PARABOLA – wykres funkcji
kwadratowej.
Jeśli współczynnik
kierunkowy a jest większy
od 0, to parabola
rozszerza się ku górze.
Powrót
Jeśli współczynnik
kierunkowy a jest mniejszy
od 0, to parabola
rozszerza się ku dołowi.
HIPERBOLA – wykres funkcji
odwrotnej.
Hiperbola nigdy nie występuje w
początku układu współrzędnych (stąd
bezwzględny brak 0, jako wartości x
lub y) i ma formę obrazu
symetrycznego względem punktu
(0,0) – początku układu
współrzędnych.
Powrót
Funkcje określone na zbiorach skończonych.
Czasem zastanawiamy się, jak zaznaczyć wykres funkcji.
Czy pozostawić je w postaci punktów?, jak daleko poprowadzić wykres?
Dowiedzieć się tego możemy jedynie odczytując zbiory skończone, określające wygląd wykresu funkcji.
Mogą mieć one wieloraki wygląd:
1)
x Є R : wykres „ciągnij” prostą zgodnie z monotonicznością funkcji, bez ograniczeń
2)
x Є N lub x Є C : wykres ma postać punktów oznaczających kolejne liczby całkowite lub naturalne
3)
x Є C+ lub x Є C– : jeśli pojawia się znak + lub –, stosując się do niego, przeprowadzimy wykres. Jeżeli
występuje adnotacja +, to wykres przechodzi tylko przez I i IV ćwiartkę, a w przypadku adnotacji –, przez
II i III ćwiartkę.
4)
W sytuacji, gdy ma określony przedział, np.: x Є (-∞, 3) lub x Є (3, ∞) prostą rysujemy w obrębie x-ów
oznaczonych w przedziale od -∞ do 3 lub od 3 do nieskończoności, „kółeczko”, które kończy linię w
sąsiedztwie liczby (np. 3), zostaje niezamazane.
5)
6)
Jeśli przedziały mają postać: x Є <-∞, 3> itd., to „kółeczka” przy liczbach zamalowujemy.
Gdy zaś mamy zbiór dziedziny, np.. D={1,2,3}, w zapisie x Є {1,2,3} na wykresie zaznaczamy tylko
wymienione współrzędne punktów, nie łącząc ich liniami.
Powrót
Opisywanie własności funkcji.
To najważniejsze zadanie, jeśli chodzi o funkcje. Wymienia się z reguły kilka własności:
1)
Dziedzina – piszemy x Є R (x należy do liczb rzeczywistych)
2)
Zw – zbiór wartości funkcji, piszemy analogicznie: y Є R
3)
Szukamy miejsca zerowego, czyli Xo. Do tego celu stosujemy wzór
np. y=2x+3
4)
Punkt przecięcia się wykresu z osią Y – to wspomniany już współczynnik b ze wzoru funkcji y=ax+b, np.: y=x-5
punkt przecięcia: y=(0,5)
5)
Argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości:
a) dodatnie
b) ujemne
Sprawdzamy to według wykresu. Miejscem rozgraniczającym wartości dodatnie
i ujemne jest miejsce zerowe, np.: y=x-5
1. Rysujemy tabelkę i obliczamy wartości y (przynajmniej dwie)
Dlatego
y>0 dla x>5
y<0 dla x<5
6)
Określamy monotoniczność funkcji. W tym przypadku jest to funkcja rosnąca.
Powrót
Zastosowanie praktyczne funkcji.
Z funkcjami spotykamy się na co dzień.
Z pewnością spotkałeś się z wykresami fizycznymi ruchu jednostajnego prostoliniowego.
Ruch przyspieszony lub opóźniony występuje jako wykres funkcji liniowej. Takie wykresy
obrazują często zależność drogi od czasu (s(t)) lub szybkości od czasu (v(t)).
Możemy prześledzić za jego pomocą, jak
zmienia się prędkość rowerzysty
zjeżdżającego z wzniesienia.
Każdej sekundzie przyporządkowana jest pewna
prędkość, czy też przebyta droga.
Ciekawe są też funkcje trygonometryczne, o wykresach sinusoidalnych. Specjalne obliczenia
pozwolą nam obliczyć na przykład wysokość budynku, który oglądamy przez lornetkę przy
znajomości kąta, pod jakim go widzimy. Wykorzystuje się do tego specjalne trójkąty.
Dzięki funkcjom możemy obliczyć nacisk konstrukcji i w oparciu o normy wytrzymałościowe
konstrukcji i charakterystykę klimatu wyliczyć odpowiednie nachylenie konstrukcji (na terenach
z większym opadem śnieżnym dach musi być stromy).
Oprócz tego przyporządkowania zwane funkcjami spotykamy
na co dzień.
Chociażby oceny ze sprawdzianów. Każdy uczeń dostaje
ocenę, tylko jedną (przyjmijmy, że wszyscy byli obecni i nikt
nie dostał oceny za „ściągnie”), choć te same oceny często się
powtarzają. Zilustruje to graf:
Powrót
Jak widać, funkcje towarzyszą nam na
codzień. Uważamy, że nie są trudne.
Warto zagłębić się w ich świat i odkryć
ich zastosowania. Wszystko, co z
pozoru wydaje nam się nieważne, w
przyszłości może okazać się bardzo
potrzebne. W końcu matematyka jest
logiczna, praktyczna, po prostu jest
OK!
KONIEC
Autorzy:
Adrian Janeczek
Piotr Cyniak
Kl. IIc
Gimnazjum nr 1 w Koluszkach