Transcript กำหนดการเชิงเส้น - ภาค วิชา วิศวกรรม โยธา

Modern construction management
กำหนดกำรเชิงเส้ น :
กำรแก้ ปัญหำด้ วยวิธีกรำฟ
โดย อ.ดร.เทอดธิดา ทิพย์ รัตน์
สาขาบริหารการก่อสร้ าง
ภาควิชาวิศวกรรมโยธา คณะวิศวกรรมศาสตร์
มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์
1
การสร้ างตัวแบบ(Model)คณิตศาสตร์ กาหนดการเชิงเส้ น
สิ่งที่ต้องพิจารณาจากโจทย์
1. หาตัวแปรที่เราต้ องการมีอะไรบ้ าง
2. หาฟั งก์ชนั วัตถุประสงค์คืออะไร ต้ องการหาค่าต่าสุดหรื อหาค่าสูงสุด
(Maximize, Minimize) >>> สมการ
3. หาฟั งก์ชนั ข้ อจากัด (มีเงื่อนไขหรื อข้ อจากัดอะไรบ้ างที่โจทย์กาหนดมา
ให้ )
>>> สมการหรื ออสมการ
4. ความสัมพันธ์ของตัวแปรในสมการหรื ออสมการต่างๆ ของ Model ต้ อง
มีลกั ษณะเชิงเส้ นตรง (โดยมากเป็ นกาลังหนึง่ )
5. ตัวแปรทุกตัวต้ องมีคา่ >= 0
2
 กาหนดการเชิงเส้ น (Linear Programming)
 ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical model)
3
วิธีแก้ปัญหากาหนดการเชิงเส้น
ปั ญหาที่มี 2 ตัวแปร วิธีที่ใช้ ประกอบด้ วย
1. วิธีจากัดขอบข่ายของคาตอบ (Direct elimination method)
2. วิธีอนุมาณทางคณิตศาสตร์ (Mathematical deduction Method)
3. วิธีกราฟ (Graphical method) ***นิยม
ปั ญหาที่มีมากกว่า 2 ตัวแปร วิธีที่ใช้ ประกอบด้ วย
1. วิธีพีชคณิต (Algebraic method)
2. วิธีซิมเพล็ก (Simplex method) ***นิยม
4
ตัวอย่างที่ 1 บริษัทรับเหมำก่ อสร้ ำงแห่ งหนึ่ง ผลิตอำคำร 2 ประเภท คือ ประเภท ก และ
ประเภท ข และอำคำรแต่ ละประเภทจะใช้ คนงำนผสมระหว่ ำงคนงำนของผู้รับเหมำหลัก และ
ผู้รับเหมำช่ วงในสัดส่ วนต่ ำงๆกัน ผู้รับเหมำหลักมีคนงำนอยู่ 25,000 คน และผู้รับเหมำช่ วงมี
คนอยู่ 6,500 คน
อำคำรชนิด ก 1 อำคำร จะใช้ ส่วนผสมของคนงำนขอผู้รับเหมำหลัก 130 คนและ
คนงำนของผู้รับเหมำช่ วง 20 คน อำคำรชนิด ข 1 อำคำร จะใช้ ส่วนผสมของคนงำนขอ
ผู้รับเหมำหลัก 100 คนและคนงำนของผู้รับเหมำช่ วง 30 คน
หำกบริษัทผลิตอำคำรแบบ ก จะได้ กำไรจำกกำรขำยอำคำรละ 35 ส่ วนท่ อแบบ ข
จะได้ กำไรอำคำรละ 70 จงเขียนกำหนดกำรเชิงเส้ นที่แสดงถึงวัตถุประสงค์ ของกำรก่ อสร้ ำง
อำคำร และข้ อจำกัดต่ ำงๆ ที่เกิดขึน้
5
อาคารชนิด ก อาคารชนิด ข
(X1)
(X2)
ผู้รับเหมาหลัก
130
100
ผู้รับเหมาช่ วง
20
30
25,000
6,500
6
1. ตัวแปรของตัวแบบคณิตศาสตร์
X1 จำนวนอำคำรชนิด ก
X2 จำนวนอำคำรชนิด ข
2. หาฟั งก์ชนั วัตถุประสงค์ >>> (สมการ)
Maximize Z = 35 X1 + 70X2
เมื่อ Z คือฟั งก์ ชันกำไรมีหน่ วยเป็ นบำท
3. หาฟั งก์ชนั ข้ อจากัด (ข้ อจากัดอะไรบ้ างที่โจทย์กาหนดมาให้ ) >>>
อสมการ
130X1+ 100X2 <= 25,000 (ปริมำณคนงำนของผู้รับเหมำหลัก)
20X1+ 30X2 <= 6,500 (ปริมำณคนงำนของผู้รับเหมำช่ วง)
7
จากโจทย์สามารถสรุปเป็ นตัวแบบทางคณิตศาสตร์ (Mathematical
model) ได้ ดงั นี ้





Maximize Z = 35 X1 + 70X2
ภำยใต้ ข้อจำกัด
130X1+ 100X2 <= 25,000
20X1+ 30X2 <= 6,500
X1 >= 0, X2 >= 0
8
ตัวแบบกาหนดการเชิงเส้ น (Linear Programming Model)
ตัวแบบกำหนดกำรเชิงเส้ นสำหรั บกำรหำค่ ำสูงสุด หรื อค่ ำต่ำสุด สำมำรถเขียนเป็ น
ตัวแบบคณิตศำสตร์ ( Mathematical model) ได้ ดังนี ้
ฟั งก์ ชันวัตถุประสงค์
Maximize Z = C1X1 + C2X2 +…+CnXn
หรื อ Minimize Z = C1X1 + C2X2 +…+CnXn
ภำยใต้ ข้อจำกัด (สมกำรหรื ออสมกำร)
a11X1+a12X2+…+a1nXn (<=,>=,=) b1
a21X1+a22X2+…+a2nXn (<=,>=,=) b2
…
…
am1X1+am2X2+…+amnXn (<=,>=,=) bm
และ X1, X2, …,Xn >= 0
9
โดยที่ Z คือฟั งก์ชนั วัตถุประสงค์
Xj คือตัวแปรที่เป็ นทางเลือกซึง่ ต้ องการหาค่า ; j = 1,2,3,…,n
Cj คือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร Xj ในฟั งก์ชนั วัตถุประสงค์ ซึง่ มีคา่ คงที่ ;
j= 1,2,3,…,n
aij คือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในฟั งก์ชนั ข้ อจากัด (Constraints)
i= 1,2,3,…,m และ j= 1,2,3,…,n
bi คือปริมาณของทรัพยากรที่มีอยู่ ซึง่ มีคา่ เป็ นค่าคงที่จานวนบวก (bi > 0)
i= 1,2,3,…,m
10
ตัวอย่างเช่น Maximize Z= 3X1 + 2X2
ภายใต้ขอ้ จากัด
6X1+5X2 <= 30
X1+2X2 <= 10
2X1+X2 >= 4
X1>=0, X2 >=0
11
การผลิตวัสดุมุงหลังคา
12
การประยุกต์กาหนดการเชิงเส้น
ต.ย. 1 บริษัทกระเบื ้องไทย จากัดได้ ผลิตกระเบื ้อง 3 ชนิด ได้ แก่ C-PAC, GRC,
metal sheet การผลิตจะต้ องใช้ แรงงานคนและวัตถุดิบ ซึง่ ปูนซีเมนต์สาเร็จรูป
แต่ละชนิดจะใช้ แรงงานคน วัตถุดิบ และได้ กาไรตามตาราง
C-PAC
GRC
Metal sheet
แรงงาน (ช.ม./ชิ้น)
8
5
4
วัตถุดิบ (ก.ก./ชิ้น)
5
2
10
กาไร (บาท/ชิ้น)
6
3
7
วัตถุดิบที่บริษัทสามารถใช้ ได้ ในแต่ละวันมีจานวน 300 กิโลกรัม และแรงงานที่
สามารถใช้ ได้ ในแต่ละวันมีจานวน 160 ชัว่ โมง จงสร้ างปั ญหากาหนดการเชิงเส้ น
เพื่อหาว่าในแต่ละวันจะผลิตปูนซีเมนต์สาเร็จรูปแต่ละชนิดเป็ นจานวนเท่าใด จึง
จะทาให้ ได้ กาไรมากที่สดุ
13
Y1 แทนจานวนการผลิตของC-PAC ในแต่ละวัน
Y2 แทนจานวนการผลิตของ GRC ในแต่ละวัน
Y3 แทนจานวนการผลิตของ metal sheet ในแต่ละวัน
ฟั งก์ชนั วัตถุประสงค์คือหากาไรมากที่สดุ จากการผลิตปูนซีเมนต์สาเร็จรูปทัง้ 3 ชนิด
สมการ Maximize Z = 6Y1+ 3Y2+ 7Y3
ฟั งก์ชนั ข้ อจากัด
1. ด้ านแรงงานคนในการผลิตหลังคาทัง้ 3 ชนิด จะใช้ แรงงานคนทังหมดไม่
้
เกิน 160 ช.ม.
เขียนอสมการได้ เป็ น 8Y1+5Y2+4Y3 <= 160
2. ด้ านวัตถุดิบในการผลิตหลังคาดังกล่าวจะใช้ วตั ถุดิบทังหมดต้
้
องไม่เกิน 300 กิโลกรัม
เขียนอสมการได้ เป็ น 5Y1+2Y2+10Y3<=300
14
ตัวแบบกำหนดกำรเชิงเส้ นคือ
Maximize Z = 6Y1+ 3Y2+ 7Y3
ภายใต้ ข้อจากัด
8Y1+5Y2+4Y3 <= 160
5Y1+2Y2+10Y3<=300
Y1, Y2,Y3 >= 0
15
ต.ย. บริ ษัทป.ปูน ภาคใต้ จากัด ผู้ผลิตปูนซีเมนต์ ได้ ใช้ สว่ นผสมในการ
ผลิตปูน 4 ชนิดคือ a, b, c, และ d ในการผลิตจะบรรจุเป็ นถุง
ถุงละ 50 กิโลกรัม โดยมีข้อกาหนดต่างๆดังนี ้
1. ต้ องมี d ไม่ต่ากว่า 20 %
2. ต้ องมี a ไม่เกิน 50 %
3. ต้ องมี a และ b รวมกันไม่ต่ากว่า 60 %
4. ต้ องมีอต
ั ราส่วน ของ c กับ b ต่อ a ไม่เกิน 3 ต่อ 2
ถ้ าต้ นทุนของ a, c, b, และ d กิโลกรัมละ 1.5 บาท, 2 บาท, 0.5
บาท, และ 2.75 บาท ตามลาดับ ปูน 1 ถุง ควรประกอบด้ วย
ส่วนผสมต่างๆ อย่างละกี่กิโลกรัม
16
X1 แทนจานวน a ในปูนซีเมนต์ 1 ถุง (กิโลกรัม)
X2 แทนจานวน b ในปูนซีเมนต์ 1 ถุง (กิโลกรัม)
X3 แทนจานวน c ในปูนซีเมนต์ 1 ถุง (กิโลกรัม)
X4 แทนจานวน d ในปูนซีเมนต์ 1 ถุง (กิโลกรัม)
17
ฟั งก์ชนั วัตถุประสงค์ คือต้ องการต้ นทุนต่าสุดของส่วนผสมในปูนซีเมนต์ 1ถุง
Minimize Z = 1.5X1 + 2X2 + 0.5X3 + 2.75X4
ฟั งก์ชนั ข้ อจากัด
1. ส่วนผสมของปูนซีเมนต์ 1 ถุงรวมกันจะได้ เท่ากับ 50 หน่วยพอดี
X1 + X2 + X3 + X4 = 50
2. ต้ องมี d ไม่ต่ากว่า 20%
X4 >= 10
3. ต้ องมี a ไม่เกิน 50%
X1 <= 25
4. ต้ องมี a และ b รวมกันไม่ต่ากว่า 60 %
X1 + X3 >= 30
5. ต้ องมีอตั ราส่วนของ c กับ b ต่อ a ไม่เกิน 3 ต่อ 2
X2+X3 <= 3
X1
2
2X2 + 2X3 <= 3X1
2X2 + 2X3 - 3X1 <= 0 หรื อ 3 X1 -2X2 -2X3 >= 0
18
สรุปตัวแบบกาหนดการเชิงเส้ นคือ
Minimize Z = 1.5X1 + 2X2 + 0.5X3 + 2.75X4
ภายใต้ ข้อจากัด
X1 + X2 + X3 + X4 = 50
X4 >= 10
X1 <= 25
X1 + X3 >= 30
3 X1 -2X2 -2X3 >= 0
X1, X2, X3, X4 >= 0
19
ต.ย. 3 บริ ษทั ผูผ้ ลิตปูนซีเมนต์สาเร็ จรู ปแห่งหนึ่งมีโรงงานผลิตปูนซีเมนต์
สาเร็ จรู ป 3 แห่ง ปูนซีเมนต์สาเร็ จรู ปที่ผลิตได้จากโรงงานทั้งสามแห่ง
จะถูกส่ งไปเก็บที่โครงการก่อสร้างของบริ ษทั ซึ่งมีอยู่ 3 แห่ง เพื่อรอ
ดาเนินการก่อสร้างต่อไป ถ้าโรงงานแห่งแรกผลิตปูนซีเมนต์สาเร็ จรู ปได้
ไม่เกินวันละ 4000 หน่วย โรงงานที่สอง ผลิตปูนซีเมนต์สาเร็ จรู ปได้
ไม่เกินวันละ 2500 หน่วย โรงงานที่ 3 ผลิตปูนซีเมนต์สาเร็ จรู ปได้
ไม่เกินวันละ 3500 หน่วย ส่ วนโครงการก่อสร้างทั้ง 3 แห่งนั้น
สามารถเก็บปูนซีเมนต์สาเร็ จรู ปได้เต็มที่แห่งละไม่เกิน 3000 หน่วย
5000 หน่วย และ 2000 หน่วยตามลาดับ ในการส่ งปูนซีเมนต์
สาเร็ จรู ปจากโรงงานทั้ง 3 แห่งไปยังโครงการก่อสร้างทั้ง 3 แห่ง
จะต้องเสี ยค่าใช้จ่ายในการขนส่ งดังนี้
20
ตารางแสดงค่าใช้ จ่ายในการขนส่งปูนซีเมนต์สาเร็จรูป (บาท /
หน่วย)
ถึง
จาก
โครงการ
ก่อสร้ างที่ 1
โครงการ
ก่อสร้ างที่ 2
โครงการ
ก่อสร้ างที่ 3
โรงงานที่ 1
5
7
10
โรงงานที่ 2
6
4
12
บริโรงงานที
ษัทควรจัด่ ส่3งปูนซีเมนต์สาเร็8จรูปจากโรงงานทัง้ 93 แห่งไปยังโครงการก่
18 อสร้ างทัง้ 3
แห่งอย่างไรจึงจะเสียค่าใช้ จ่ายในการขนส่งน้ อยที่สดุ
21
สิ่ งที่ตอ้ งการทราบคือ
จานวนปูนซีเมนต์สาเร็จรูปที่จะส่งจากโรงงานที่ 1,2 และ 3 ไปยังโครงการ
ก่อสร้ างทัง้ 3 แห่ง
Xij แทนจานวนปูนซีเมนต์สาเร็จรูปจากโรงงานที่ i ไปโครงการก่อสร้ างที่ j
i = 1,2,3
j = 1,2,3
ฟั งก์ชนั วัตถุประสงค์คือหาค่าใช้ จ่ายในการขนส่งต่าสุด
Minimize Z = 5X11 + 7X12 + 10X13 + 6X21 + 4X22 + 12X23 + 8X31 + 9X32 + 18X33
22
ฟังก์ชนั ข้อจากัด
1. ด้านโรงงานจะผลิตปูนซีเมนต์สาเร็ จรู ปได้สูงสุ ดไม่เกินแห่งละ
4000, 2500 และ 3500 หน่วยตามลาดับ
X11 + X12 + X13 <= 4000
X21 + X22 + X23 <= 2500
X31 + X32 + X33 <= 3500
2. ด้านโครงการก่อสร้างจะเก็บปูนซีเมนต์สาเร็ จรู ปแต่ละแห่งได้ไม่เกิน
3000, 5000 และ 2000 หน่วยตามลาดับ
X11 + X21 + X31 <= 3000
X12 + X22 + X32 <= 5000
X13 + X23 + X33 <= 2000
23
สรุ ปตัวแบบกำหนดกำรเชิงเส้ น
Minimize Z = 5X11 + 7X12 + 10X13 + 6X21 + 4X22 + 12X23 + 8X31 + 9X32 + 18X33
ภายใต้ขอ้ จากัด
X11 + X12 + X13 <= 4000
X21 + X22 + X23 <= 2500
X31 + X32 + X33 <= 3500
X11 + X21 + X31 <= 3000
X12 + X22 + X32 <= 5000
X13 + X23 + X33 <= 2000
Xij >= 0, i = 1,2,3 และ j = 1,2,3
24
วิธีแก้ปัญหากาหนดการเชิงเส้น
ปั ญหาที่มี 2 ตัวแปร วิธีที่ใช้ ประกอบด้ วย
1. วิธีจากัดขอบข่ายของคาตอบ (Direct elimination method)
2. วิธีอนุมาณทางคณิตศาสตร์ (Mathematical deduction method)
3. วิธีกราฟ (Graphical method) ***นิยม
ปั ญหาที่มีมากกว่า 2 ตัวแปร วิธีที่ใช้ ประกอบด้ วย
1. วิธีพีชคณิต (Algebraic method)
2. วิธีซิมเพล็ก (Simplex method) ***นิยม
25
วิธีแก้ปัญหากาหนดการเชิงเส้น
1. วิธีจากัดขอบข่ายของคาตอบ (Direct elimination method)
โรงงานผลิตลิฟท์แห่งหนึง่ ทาการผลิตลิฟท์ 2 ชนิด คือชนิดพิเศษและชนิด
ธรรมดา ชนิดพิเศษทากาไรได้ ลฟิ ท์ละ 700 บาท ส่วนลิฟท์ธรรมดาทา
กาไรได้ ลิฟท์ละ 400 บาท จากสถิติการขายพบว่าในเดือนหนึง่ ๆ ลิฟท์
ชนิดพิเศษขายได้ ไม่เกิน 3 ลิฟท์สว่ นลิฟท์ธรรมดาขายได้ ถึง 6 ลิฟท์ถ้า
ต้ นทุนการผลิตของลิฟท์สาหรับลิฟท์ทงั ้ 2 ชนิดเป็ น 3000 และ 2000
บาทตามลาดับ และโดยที่ต้นทุนของการหมุนเวียนมีอยูจ่ ากัดในวงเงิน
20000 บาทต่อเดือนเราจะให้ โรงงานดังกล่าวผลิตลิฟท์อย่างละเท่าไรจึง
จะมีกาไรมากที่สดุ ในเดือนหนึง่ ๆ(ราคาx1000)
26
วิธีจากัดขอบข่ ายของคาตอบ (Direct elimination method)
X1 แทนจานวนการผลิตของลิฟท์ชนิดพิเศษ
X2 แทนจานวนการผลิตของลิฟท์ชนิดธรรมดา
ตัวแบบกาหนดการเชิงเส้นคือ
Maximize Z = 7X1 + 4X2 (ร้อยบาท)
ภายใต้ขอ้ จากัด
X1 <= 3
X2 <= 6
3X1+ 2X2 <= 20 (พันบาท)
X1, X2 >= 0
27
วิธีจากัดขอบข่ ายของคาตอบ (Direct elimination method)
X2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
X1
0
0
4
8
12
16
20
24
28
32
1
7
11
15
19
23
27
31
35
39
2
14
18
22
26
30
34
38
42
46
3
21
25
29
33
37
41
45
49
53
4
28
32
36
40
44
48
52
56
60
5
35
39
43
47
51
55
59
63
67
6
42
46
50
54
58
62
66
70
74
28
วิธีจากัดขอบข่ ายของคาตอบ (Direct elimination method)
จากตารางที่ได้เป็ นค่าของ Z = 7X1 + 4X2 เราจะตัดเอาเฉพาะค่าที่เป็ นไปได้
โดยใช้อสมการขอบข่ายมาตัด
1. ตัดค่า X1 ที่เกินกว่า 3 ออก
2. ตัดค่า X2 ที่เกินกว่า 6 ออก
3. ตัดค่าแทนอสมการ 3X1+ 2X2 <= 20 ออก
ผลลัพธ์ในขอบข่ายที่เหลืออยูจ่ ะเรี ยกว่าผลลัพธ์ที่เป็ นไปได้
การหาผลลัพธ์เลือกเอาค่าสู งสุ ด คือ 41
สรุ ปได้ดงั นี้
1. ทาการผลิตลิฟท์ชนิดพิเศษ 3 ลิฟท์ ชนิดธรรมดา 5 ลิฟท์
2. จาก Maximize Z = 7X1 + 4X2 (ร้อยบาท)
ผลกาไรสู งสุ ดจะได้เป็ น 4100 บาทต่อเดือน
29
วิธีแก้ปัญหากาหนดการเชิงเส้น
2. วิธีอนุมาณทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Deduction Method)

วิธีน้ ีเป็ นการพิจารณาขอบข่ายของปัญหาเพื่อหาตัวแปรที่เป็ นไปได้ตาม
หลักการพิจารณาเงื่อนไขขอบข่าย (boundary condition)
ซึ่งทาได้โดยกาหนดตัวแปรตัวหนึ่งให้คงที่เป็ นค่าสูงสุดหรื อค่าต่าสุ ดใน
ขอบข่ายของตัวแปรนั้นๆ และหาช่วงที่เป็ นไปได้ของตัวแปรอีกตัวหนึ่ง
จากนั้นเปลี่ยนตัวแปรคงที่โดยใช้ตวั แปรอีกตัวหนึ่งแทน แล้วหาช่วงที่
เป็ นไปได้อีกครั้งหนึ่ง ทาเช่นนี้จนได้ค่าของสมการตามเป้ าหมายซึ่ง
สามารถเลือกค่าที่ตอ้ งการได้
30
วิธีอนุมาณทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Deduction Method)
จากตัวอย่างโรงงานผลิตลิฟท์ (Maximize Z = 7X1 + 4X2 )
(ก) ให้ คา่ X1 = 0 ค่าที่เป็ นไปได้ สาหรับ X2 จาก X2<=6 คือ 6
จาก 3X1+ 2X2 <= 20 คือ 10
ค่าสูงสุดของ X2 เมื่อ X1 = 0 คือ 6
ค่าต่าสุดของ X2 เมื่อ X1 = 0 คือ 0
ดังนัน้ ค่า Z(0,0) = 0,
Z(0,6) = 24
(ข) ให้ คา่ X2 = 0 ค่าที่เป็ นไปได้ สาหรับ X1 จาก X1<=3 คือ 3
จาก 3X1+ 2X2 <= 20 คือ 6.67
ค่าสูงสุดของ X1 เมื่อ X2 = 0 คือ 3
ค่าต่าสุดของ X1 เมื่อ X2 = 0 คือ 0
ดังนัน้ ค่า Z(3,0) = 21,
Z(0,0) = 0
31
วิธีอนุมาณทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Deduction Method)
Maximize Z = 7X1 + 4X2
(ค) ให้ คา่ X1 =3
ค่าสูงสุดของ X2 จาก 3X1+ 2X2 <= 20 คือ 5.5 ใช้ 5 ลิฟท์
ค่าต่าสุดของ X2 คือ 0
ดังนัน้ ค่า Z(3,5) = 41
Z(3,0) = 21
(ง) ให้ คา่ X2 = 6
ค่าสูงสุดของ X1 จาก 3X1+ 2X2 <= 20 คือ 2.67 ใช้ 2 ลิฟท์
ค่าต่าสุดของ X1 คือ 0
ดังนัน้ ค่า Z(2,6) = 38
Z(0,6) = 24
จากการพิจารณาตามเงื่อนไขขอบเขตนี ้จะได้ Z(3,5) = 41 เป็ นค่ากาไรสูงสุด
32
วิธีแก้ปัญหากาหนดการเชิงเส้น
3. วิธีกราฟ (Graphical method)
 การหาค่าสูงสุดด้ วยวิธีกราฟ
33
ต.ย. ในกำรผลิตหน้ ำต่ ำง 2 ชนิด ชนิดที่ 1 ได้ กำไร 2 บำท/ชิน ในกำร
ขำยชนิดที่ 2 ได้ กำไร 5 บำท/ชิน้
หน้ ำต่ ำงชนิดที่ 1 ต้ องใช้ เวลำในกำรผลิต 2 ชั่วโมง และใช้ วัตถุดบิ 1
ส่ วน
หน้ ำต่ ำงชนิดที่ 2 ต้ องใช้ เวลำในกำรผลิต 1 ชั่วโมง และใช้ วัตถุดบิ 3
ส่ วน
ข้ อกำหนดเวลำทำงำนมีอย่ ำงมำกที่สุด 40 ชั่วโมง และมีวัตถุดบิ อย่ ำง
มำก 30 ส่ วน จงหำว่ ำควรจะผลิตหน้ ำต่ ำงชนิดที่ 1 และ 2 อย่ ำงละเท่ ำไร
จึงจะได้ กำไรมำกที่สุด(รำคำx10)
34
X1 แทนจานวนหน้าต่างชนิดที่ 1 (หน่วยเป็ นชิ้น)
X2 แทนจานวนหน้าต่างชนิดที่ 2 (หน่วยเป็ นชิ้น)
ตัวแบบกาหนดการเชิงเส้นคือ
Maximize Z = 2X1+5X2
ภายใต้ขอ้ จากัด
2X1+X2 <= 40
X1+3X2 <= 30
X1>= 0, X2>=0
35
X2
40
จากสมการ 2X1+X2 = 40
หาจุดตัดบนแกน X1 คือ (20,0)
หาจุดตัดบนแกน X2 คือ (0,40)
(0,40)
35
30
25
20
15
10
5
(20,0)
X1
5
10
15
20
25 30
กราฟของสมการ
2X1+X2 = 40
35 40
36
X2
40
(0,40)
35
30
25
20
15
10
5
(20,0)
X1
5
10
15
20
25 30
35 40
บริเวณที่หาคาตอบได้ ภายใต้ ฟังก์ชนั ข้ อจากัด 2X1+X2 <= 40
X1>=0, X2 >= 0
37
X2
จากสมการ X1+3X2 = 30
หาจุดตัดบนแกน X1 คือ (30,0)
หาจุดตัดบนแกน X2 คือ (0,10)
40
35
30
25
20
15
10
(0,10)
5
(30,0)
5
10
15
20
กราฟของสมการ
X1+3X2 = 30
25 30
X1
35 40
38
X2
40
35
30
25
20
15
10
X1+3X2 = 30
(0,10)
5
(30,0)
5
10
15
20
25 30
X1
35 40
บริเวณที่หาคาตอบได้ ภายใต้ ฟังก์ชนั ข้ อจากัด X1+3X2 <= 30
X1>=0, X2 >= 0
39
X2
40
(0,40)
35
2X1+X2 = 40
30
25
20
15
10
(0,10)
X1+3X2 = 30
5
(30,0)
5
10
15
(20,0)
20 25 30
X1
35 40
ภำพ A บริเวณที่หาคาตอบได้ ภายใต้ ฟังก์ชนั ข้ อจากัด
2X1+X2 <= 40, X1+3X2 <= 30,X1>=0 และ X2 >= 0
40
การหาคาตอบที่ดีที่สุดจากกราฟ
วิธีที่ 1 การเขียนกราฟของฟังก์ชนั วัตถุประสงค์
41
กาหนดให้ Z = 30 หรื อค่าใดใด
X2
จะได้สมการ Z1 = 2X1+5X2 = 30
40
(0,40)
Z2 = 2X1+5X2 = 40
35
…
30
2X1+X2 = 40
25
เส้นกาไรสู งสุ ด
20
Z= 56
Z2 = 40
15
Z1 = 30
5
(18,4) คาตอบที่ดีที่สุด
10 (0,10)
X1+3X2 = 30
C
A
5
10
(30,0)
B (20,0)
15 20 25 30
X1
35 40
จาก ภาพ A การหาคาตอบโดยการเขี ยนกราฟของฟั งก์ ชนั วัตถุประสงค์42
จุด C เกิดจากสมการเส้ นตรง 2 เส้ นตัดกัน คือ
2X1+X2 = 40 ---------(1)
X1+3X2 = 30 ---------(2)
2*(2) 2X1+6X2 = 60 ---------(3)
(3)-(1)
5X2 = 20, X2 = 4
แทนค่า X2 = 4 ใน (2)
X1+3(4) = 30
X1 = 30-12 = 18
จาก ภาพ A การหาคาตอบโดยการเขี ยนกราฟของฟั งก์ ชนั วัตถุประสงค์43
• จาก Maximize Z = 2X1+5X2
•
= 2(18) + 5(4)
•
= 56
•
•
•

คาตอบที่ดีที่สดุ คือ ผลิตหน้ าต่างชนิดที่ 1 จานวน 18 ชิ ้น
ผลิตหน้ าต่างชนิดที่ 2 จานวน 4 ชิ ้น
ได้ กำไรสูงสุด(Optimal Value) 56 บำท
จาก ภาพ A การหาคาตอบ
โดยการเขียนกราฟของ
ฟั งก์ ชนั วัตถุประสงค์
44
การหาคาตอบที่ดีที่สุดจากกราฟ
วิธีที่ 2 การหาจุดตัดระหว่ างฟังก์ ชันข้ อจากัด
45
X2
(0,40)
40
35
2X1+X2 = 40
30
25
20
15
10
D (0,10)
C(18,4)
5
A(0,0)
X1+3X2 = 30
(30,0)
5
10
15
20
25 30
X1
35 40
B(20,0)
ภำพ A
จาก ภาพ A หาคาตอบโดยการหาจุดตัดระหว่ างฟั งก์ ชันข้ อจากัด
46
วิธีท่ ี 2 กำรหำจุดตัดระหว่ ำงฟั งก์ ชันข้ อจำกัด
จำก ภำพ A สำมำรถหำคำตอบดังตำรำง
จุดยอด
ค่ ำของ (X1, X2)
A
B
C
D
(0,0)
(20,0)
(18,4)
(0,10)
กำไร Z = 2X1 + 5X2
0
40
56 *** ค่าMax
50
คาตอบที่ดีที่สดุ คือ ผลิตหน้ าต่างชนิดที่ 1 จานวน 18 ชิ ้น
ผลิตหน้ าต่างชนิดที่ 2 จานวน 4 ชิ ้น
ได้ กำไรสูงสุด(Optimal Value) 56 บำท
จาก ภาพ A หาคาตอบโดยการหาจุดตัดระหว่ างฟั งก์ ชันข้ อจากัด
47
วิธีแก้ปัญหากาหนดการเชิงเส้น
แก้สมการ
โดยวิธีพีชคณิ ต
2X1+X2 = 40 ---------(1)
X1+3X2 = 30 ---------(2)
2*(2) 2X1+6X2 = 60 ---------(3)
(3)-(1)
5X2 = 20, X2 = 4
แทนค่า X2 = 4 ใน (2)
X1+3(4) = 30
X1 = 30-12 = 18
Maximize Z = 2(18)+5(4)
= 56
คาตอบที่ดีที่สดุ คือ ผลิตหน้ าต่างชนิดที่ 1 จานวน 18 ชิ ้น
ผลิตหน้ าต่างชนิดที่ 2 จานวน 4 ชิ ้น
ได้ กำไรสูงสุด(Optimal Value) 56 บำท
48
การหาค่ าตา่ สุ ดด้ วยวิธีกราฟ
ต.ย. กิจการแห่งหนึง่ ต้ องการผลิตปูนสาเร็จรูปออกจาหน่าย ปูนสาเร็จรูปที่
ผลิตจะต้ องประกอบด้ วยส่วนผสมชนิด A อย่างน้ อย 900 หน่วย และ
ส่วนผสมชนิด B อย่างน้ อย 1000 หน่วย การผลิตปูนสาเร็จรูปจะต้ องใช้
M และ N : M 1 หน่วยให้ สว่ นผสมชนิด A 3 หน่วย และ ส่วนผสมชนิด
B 2 หน่วย N 1 หน่วยจะให้ สว่ นผสมชนิด A 2 หน่วย และส่วนผสมชนิด
B 4 หน่วย ต้ นทุน M 1 หน่วยเท่ากับ 25 บาท ต้ นทุน N 1 หน่วยเท่ากับ
80 บาท ต้ องการทราบส่วนผสมของA และ B ที่จะผลิตปูนสาเร็จรู ปให้
ได้ ต้นทุนต่าสุด
49
M(X1) N(X2)
V. A
3
2
900
V. B
2
4
1000
50
X1 แทนจานวนหน่วยของM ที่ใช้ ในการผลิตปูนสาเร็จรูป
X2 แทนจานวนหน่วยของNที่ใช้ ในการผลิตปูนสาเร็จรูป
เขียนเป็ นตัวแบบกาหนดการเชิงเส้ นเป็ น
Minimize Z = 25X1 + 80X2
ภายใต้ ข้อจากัด
3X1 + 2X2 >= 900 (ส่วนผสมชนิด A)
2X1 + 4X2 >= 1000 (ส่วนผสมชนิด B)
X1>=0 และ X2 >=0
51
1. หาจุดตัดแกน X1, X2 จากสมการ
3X1 + 2X2 = 900
1.1 หาจุดตัดแกน X1 ให้ X2=0, แทนสมการได้ X1=300 >>> (300,0)
1.2 หาจุดตัดแกน X2 ให้ X1=0, แทนสมการได้ X2= 450 >>> (0,450)
2. หาจุดตัดแกน X1, X2 จากสมการ
2X1 + 4X2 = 1000
2.1 หาจุดตัดแกน X1 ให้ X2=0, แทนสมการได้ X1=500 >>> (500,0)
2.2 หาจุดตัดแกน X2 ให้ X1=0, แทนสมการได้ X2= 250 >>> (0,250)
52
X2
3X1 + 2X2 = 900
800
1.1 หาจุดตัดแกน X1 ได้ (300,0)
1.2 หาจุดตัดแกน X2 ได้ (0,450)
700
600
500
400
300
200
2X1 + 4X2 = 1000
(0,450)
(0,250)
2.1 หาจุดตัดแกน X1 ได้ (500,0)
2.2 หาจุดตัดแกน X2 ได้ (0,250)
3X1 + 2X2 = 900
2X1 + 4X2 = 1000
100
(300,0)
(500,0)
X1
100 200 300 400 500 600 700 800
บริเวณที่หาคาตอบได้ ภายใต้ ฟังก์ชนั ข้ อจากัด 3X1+2X2 >=900,
2X1+4X2 >= 1000, X1>=0, X2 >= 0
53
การหาคาตอบที่ดีที่สุดจากกราฟ
วิธีที่1 การเขียนกราฟของฟังก์ชนั วัตถุประสงค์
54
หาเส้นฟังก์ชนั วัตถุประสงค์เมื่อ Z1= 30000
Z1 = 25X1 + 80X2 =30000
ได้ จดุ ตัดแกน X1 คือ (1200,0)
ได้ จดุ ตัดแกน X2 คือ (0,375)
ความชัน = (375-0)/(0-1200) = -(375/1200) = -0.3125
หาเส้นฟังก์ชนั วัตถุประสงค์เมื่อ Z2= 25000
Z2 = 25X1 + 80X2 =25000
ได้ จดุ ตัดแกน X1 คือ (1000,0)
ได้ จดุ ตัดแกน X2 คือ (0,312.5)
ความชัน = (312.5-0)/(0-1000) = -(312.5/1000) = -0.3125
55
X2
900
Z1 = 25X1 + 80X2 =30000
800
700
Z2 = 25X1 + 80X2 =25000
600
Z1 = 30000
Z2 = 25000
500
C (0,450)
400
300
200
100
(0,250)
2X1 + 4X2 = 1000
หาเส้ นฟั งก์ชนั วัตถุประสงค์เมื่อ Z1= 30000
Z1 = 25X1 + 80X2 =30000
ได้ จดุ ตัดแกน X1 คือ (1200,0)
ได้ จดุ ตัดแกน X2 คือ (0,375)
ความชัน = -0.3125
หาเส้ นฟั งก์ชนั วัตถุประสงค์เมื่อ Z2= 25000
Z2 = 25X1 + 80X2 =25000
ได้ จดุ ตัดแกน X1 คือ (1000,0)
ได้ จดุ ตัดแกน X2 คือ (0,312.5)
ความชัน = -0.3125
จุดที่ให้ คำตอบที่ดีท่ สี ุด
B
(300,0)
(500,0)
A
X1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
แสดงฟั งก์ชนั วัตถุประสงค์เมื่อ Z1 = 30000, Z2= 25000
56
ค่าของ X1, X2 คานวณได้ จากการแก้ สมการ 2 เส้ นตัดกันทาให้ เกิดจุด A คือ
2X1+4X2 = 1000 ----(1)
X2 = 0 ----(2)
แทนค่า X2 ใน (1) ได้
2X1 = 1000
X1= 500
หำจุดที่ให้ คำตอบที่ดีท่ สี ุดคือ (500,0)
แทนค่ าในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ Minimize Z = 25X1 + 80X2
= 25(500) + 80(0)
= 12500
57
ดังนัน้ การผลิตปูนสาเร็จรูปจะต้ องใช้ M เท่ากับ 500 หน่วย
และไม่ใช้ N เลย
โดยมีต้นทุนต่าสุดเท่ากับ 12500 บาท
58
X2
900
800
700
600
500
C (0,450)
400
300
Z = 12500
200
100
จุดที่ให้ คำตอบที่ดีท่ สี ุด
(0,250)
B
(200,150)
(300,0)
(500,0)
A
X1
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300
คาตอบที่ดีที่สดุ เมื่อฟั งก์ชนั วัตถุประสงค์เป็ นค่าต่าสุด
59
การหาคาตอบทีด่ ที สี่ ุ ดจากกราฟ
วิธีที่ 2 การหาจุดตัดระหว่างฟังก์ชนั ข้อจากัด
60
X2
800
700
600
500
400
300
200
100
C (0,450)
3X1 + 2X2 = 900
(0,250)
B
(
, )
(300,0)
2X1 + 4X2 = 1000
A (500,0)
X1
100 200 300 400 500 600 700 800
บริเวณที่หาคาตอบได้ ภายใต้ ฟังก์ชนั ข้ อจากัด 3X1+2X2 >=900,
2X1+4X2 >= 1000, X1>=0, X2 >= 0
61
A = (500,0), B = ?, C= (0,450)
B เกิดจากการตัดกันของเส้ น 2 เส้ น
หำจุด B
3X1 + 2X2 = 900 ----(1)
2X1 + 4X2 = 1000 ----(2)
2* สมกำร(1) 6X1 + 4X2 = 1800 ----(3)
(3)- (2)
4X1 = 800 , X1= 200
นำค่ ำ X1=200 ไปแทนใน (2)
2(200) + 4X2 = 1000
4X2 = 600, X2=150
จุดตัด B คือ (200,150)
62
การหาคาตอบสามารถแสดงได้ ดงั ตาราง
จุดยอด
ค่าของ (X1,X2)
A
(500,0)
B
(200,150)
17000
C
(0,450)
36000
ต้นทุน Z = 25X1+80X2
12500***
จำกตำรำง จุดที่ให้ ต้นทุนต่ำสุดคือ (500,0) ต้ นทุนเท่ ำกับ 12500
ดังนัน้ การผลิตปูนสาเร็จรูปจะต้ องใช้ Mเท่ากับ 500 หน่วย
และไม่ใช้ N เลย
โดยมีต้นทุนต่าสุดเท่ากับ 12500 บาท
63
ปัญหาลักษณะพิเศษของกาหนดการเชิงเส้น
1. ปัญหาที่ไม่มีคาตอบ (infeasibility)
2. ปัญหาที่คาตอบไม่มีขอบเขต (unboundness)
3. ปัญหาที่มีฟังก์ชนั ข้อจากัดมากเกินความจาเป็ น (redundancy)
4. ปัญหาที่มีคาตอบที่ดีที่สุดหลายคาตอบ (multiple solutions)
64
เสริ มความรู้ของบทเรี ยน
 ความชัน (Slope)
ความชันของเส้นตรงที่ผา่ นจุด (X1,Y1) และจุด (X2,Y2) คือ
m = (Y2-Y1)
(X2-X1)
65
แบบฝึ กหัด
การหาค่ าสู งสุ ดด้ วยวิธีกราฟ
ต.ย. บริษัทนันทิกาเฟอร์ นิเจอร์ ซึง่ ผลิตโต๊ ะและเก้ าอี ้ออกจาหน่าย โดยที่ทงโต๊
ั ้ ะและ
เก้ าอี ้ ต้ องใช้ ไม้ 2 ประเภทและแรงงานในการผลิตโต๊ ะแต่ละตัวต้ องใช้ ไม้ ประเภทที่
หนึง่ 5 ตารางเมตร ประเภทที่สอง 1 ตารางเมตรและใช้ เวลาในการผลิต 4 ชัว่ โมง
ส่วนเก้ าอี ้แต่ละตัวต้ องใช้ ไม้ ประเภทที่หนึง่ 3 ตารางเมตร ไม้ ประเภทที่สอง 2
ตารางเมตร และแรงงาน 1ชัว่ โมง โดยที่เมื่อผลิตแล้ วออกจาหน่ายจะได้ กาไร 10
บาทต่อโต๊ ะ 1 ตัว และ 5 บาทต่อเก้ าอี ้ 1 ตัว ถ้ าแต่ละสัปดาห์มีวตั ถุดิบคือไม้
ประเภทที่หนึง่ เพียง(ไม่เกิ น) 150 ตารางเมตร ไม้ ประเภทที่สองเพียง 50 ตาราง
เมตรและแรงงาน 60 ชัว่ โมงเท่านัน้ สมชายซึง่ เป็ นเจ้ าของอยากทราบว่าจะผลิต
โต๊ ะและเก้ าอี ้อย่างละกี่ตวั เพื่อให้ ได้ กาไรสูงสุด โดยใช้ วตั ถุดบิ และแรงงานที่มีอยู่
66