Transcript Gaub-E1-8
§8 Strömende Flüssigkeiten und Gase
Gleiche Physik für beide Phasen aber rfl >> rg, kfl << kg
Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m = r ∆V
F(r ) Fp Fg FR m d 2r /dt2 r(r ) V du(r )/dt
-grad p∆V
rg∆V
Analytische Lösungen nur für besondere Fälle,
numerische Lösungen oft aufwändig
u (r ,t) spannt ein zeitabhängiges Vektorfeld (Strömungsfeld) auf
Hängt u (r ) nicht von t ab, nennt man die Strömung stationär und die
Ortskurve r (t ) eines Volumenelements folgt der Strömungslinie u (r )
WS 2014/15
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Bei laminarer Strömung bleibt die
Nachbarschaft von Stromfäden
erhalten!
Bei idealen Flüssigkeiten ist die
Reibung vernachlässigbar,
bei zähen dominiert sie
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Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten
Im Strömungsfeld u (r ,t) hat ein Volumenelement nach dt den Weg
dr udt zurückgelegt und ist an den Ort r udt gelangt.
Dort hat es die Geschwindigkeit u du u (r udt,t dt)
in stationären Strömungen kann sich die Geschwindigkeit
=> Auch
ändern!
z.B. durch Querschnittsreduktion
Die Beschleunigung
eines Volumenelements hat zwei Beiträge:
Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit u /t am selben Ort
Andere Geschwindigkeit am neuen Ort
u /r r /t
du x u x u x dx u x dy u x dz
=> In Komponentenschreibweise:
dt
t x dt y dt z dt
dito für y und z
Gaub
ux
dui ui
u i
uk
dt
t k rk
uy
uz
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Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten
für stationäre Strömungen
=0
du u
(u )u
dt t
mit
Konvektionsbeschleunigung
u x
x
u y
u
x
u z
x
u x
y
u y
y
u z
y
u x
z
u y
z
u z
z
Bei idealen Flüssigkeiten Reibung
Vernachlässigbar => Eulergleichung
du u
1
(u )u g grad p 2u
dt t
r
Navier-Stokes Gleichung
Gaub
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Kontinuitätsgleichung
Durch ein Rohr mit sich änderndem Querschnitt fliest die Masse
dM / dt = r A1 ux1 = rA2 ux2 = const
=> ux1 / ux2 = A2 / A1
Def: Massenflussdichte
In V sei die Masse
j r u
M r dV
V
Sie ändert sich durch den Fluss durch
die Oberfläche
S
M
r u dS j dS
t
S
S
Gauss
r
u
dS
div(
r
u
)
dV
(Bronstein
S
V
dbx dby dbz
div(b ) b
dx
dy
dz
t
r dV
V
V
)
r
dV div(ru )dV
t
V
r
div(r u ) 0
t
Bernoulli-Gleichung
Unter Druck wird Gas oder Flüssigkeit durch ein Rohr getrieben. Verjüngt sich
der Querschnitt muss das Medium beschleunigt werden
Um ∆V1 = A1 x1 gegen p1 zu
bewegen benötigte Arbeit:
∆W1 = F1 ∆x1 = p1 A1 ∆x1 = p1 ∆V1
dito für den dünnen Teil:
∆W2 = p2 A2 ∆x2 = p2 ∆V2
Die geleistete Arbeit erhöht die
potentielle Energie des Systems!
Bei idealen Flüssigkeiten (reibungsfrei!) bleibt die Gesamtenergie konstant!
p1 ∆V1 + ½ ru12 ∆V1 = p2 ∆V2 + ½ ru22 ∆V2
=> p1 + ½ ru12 = p2 + ½ ru22
Gaub
da ∆V1 = ∆V2 = ∆V
=> p + ½ ru2 = p0 = const
BernoulliGleichung
Statischer Staudruck Gesamtdruck
Druck
(bei u = 0)
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Bernoulli-Gleichung
Gaub
Bernoulli-Gleichung
Gaub
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Laminare Strömung
Strömung, welche durch innere Reibung bestimmt wird
Bsp.: Blut in den Adern Wasserleitungen
Experiment:
z
du z
F
Viskose Schubspannung
A
dx
F,v
FR A
d
x
du z
dx
Viskose Reibung
= Viskosität = dynamische Zähigkeit
~ eE
0 / k BT
thermisch aktivierte Hüpfprozesse
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Abschätzung der Randschichtdicke im
unendlich ausgedehnten Medium
Platte der Fläche A wird um ihre Länge
L in viskoser Flüssigkeit verschoben
z
F,u0
Dazu benötigte Arbeit:
u(x)
L
du
dx
u
A L 0
D
WR FR L A L
D
x
Dabei mitgeführte Flüssigkeit: dm r A dx
r
1 2
Ekin u dm
2
2
D
0
2 x 2
1
2
A
r
D
u
2
u
u
A
dx
0
0 0 D
3
Die Arbeit WR wird teilweise dissipiert
Ekin W
R
Gaub
3L
D
r u0
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Beliebige Strömung in z-Richtung mit
z
uz (x0+dx)
uz (x0)
uz (x0-dx)
u z u z
0
y
z
u z
dx ...
x
Taylor-Entwicklung linearisiert
uz(x0+dx) u z ( x0 )
FR dFR (x0 dx) dFR (x0 )
u z
u z
dy dz
x
x
x0 dx
x0
dx
u z
2 u z
uz
FR dy dz
2 dx
dV = dx dy dz
x
x
x0 x
x
x0
2 u z
dx dy dz 2
Allgemein:
x
2uz 2uz 2uz
2
uz
dF
dV
R z
2
2
2
d
V
y
z
x
x 2
dV u z
LaplaceOperator:
2
2
2
2 2 2
x
y
z
=>
FR u dV
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x 0
Bsp.: Laminare Strömung zwischen zwei Platten
z
p(z+dz)
Druckdifferenz
treibt Fluss:
z1+dz
dz
p = p(z)
z1
dy
dx
-d
+d
p(z)
x
dp dp
0
dx dy
Druckkräfte:
dF ( z1 ) dx dy pz1
dF ( z1 dz ) dx dy pz1 dz
dp
dx dy p z1
dz
dz
dp
dp
dF ( z1 ) dx dy dz dV
dz
dz
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Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft
dp
dV
dz
d 2u
1 dp
dz
dx 2
u dV
du
x dp
C1
dx
dz
x 2 dp
u
C1 x C2
2 dz
Randbedingungen des Experiments:
Symmetrie
du
0
dx x 0
u(d ) u(d ) 0
keine Strömung an den Plattenrändern
u(x)
Gaub
1 dp 2
d x2
2 dz
d 2 dp
C2
2 dz
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Bsp.: Laminare Ströhmung durch ein Rohr
analog zu vorherigem
Beispiel:
dA
Kraft auf Zylinder = Viskose Reibung
du
r 2 p 2r L
dr
r
r + dr
R
u (r )
L
r
mit u(R) = 0
u(r)
dV
dz
dA dA u (r )
dt
dt
p
r 'dr ' C
2L
p 2 2
R r
4L
durch Hohlzylinder mit dem
Innenradius r und der Dicke dr fließt
pro Zeiteinheit:
dV
2r dr u(r )
dt
Fluß durch gesamten Zylinder:
V
t
Gaub
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R
2r u(r ) dr
r 0
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R
V
2 p
r R 2 r 2 dr
t r 0 4L
R
p 2 R
3
R
r
d
r
r
d
r
2L r 0
r 0
p 2 1 2 1 4
R R R
2 L
2
4
V
R4
R 4 p
I
p
t
8L
8 z
Hagen-Poiseuille-Gesetz
3rRK u0
Viskose Reibung einer Kugel : FR 6 RK u0 1
8
(Herleitung Oseen)
Stokessches Gesetz
2 RK 2
Experiment Kugellfall
=> g
rK rFl
9 u0
Gaub
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Dimensionslose Zahl bestimmt Einsetzen der Turbulenz
Mittlere
Geschwindigkeit
Charakteristische
Länge
Wichtig für Ähnlichkeitstransformation.
r U L 2 Ekin
Modell halber Grösse verhält sich in
Re
WRe ibung
Medium halber Viskosität gleich
Re 1000
Turbulenz
typisch
1
laminare Strömung
L mm
in Wasser:
10
Life Sciences: Innerhalb von Zellen immer laminar
Problem Micro Fluidics:
http://www.vidoemo.com/yvideo.php?i=UTZWUE1ScWuRpZkRvb2M&translume-flow-sheath
Durchmischung nur durch
Diffusion möglich
x x0 N
x0
Gaub
x2
D
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~ 1 μm/sec
Life at Low Reynolds Numbers:
”Swimming in molasses, walking in a hurricane“
Dean Astumian
Reynolds number:
R=
≈
dvr
e.g. bacterium
10-6 m * 10-5 m/s * 103 kg/m3
10-3
R=
Thermal noise power:
10-5
kg/ms
=> No turbulences!
Pth ≈
≈
kBT
thermal relaxation time
4*10-21 J
10-10 s
≈ 10-11 W
Compare to power of motors:
Pmech ≈ 10-12-10-17 W!
See Astumian & Hänggi, Physics Today Nov. 2002, 33-39
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Intracellular Traffic
over Long Distances
Axon
See Joe Howard et al. MPI Dresden
Manfred Schliwa et al. LMU
Melanocyte
Gaub
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