Transcript Gaub-E1-8
§8 Strömende Flüssigkeiten und Gase Gleiche Physik für beide Phasen aber rfl >> rg, kfl << kg Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m = r ∆V F(r ) Fp Fg FR m d 2r /dt2 r(r ) V du(r )/dt -grad p∆V rg∆V Analytische Lösungen nur für besondere Fälle, numerische Lösungen oft aufwändig u (r ,t) spannt ein zeitabhängiges Vektorfeld (Strömungsfeld) auf Hängt u (r ) nicht von t ab, nennt man die Strömung stationär und die Ortskurve r (t ) eines Volumenelements folgt der Strömungslinie u (r ) WS 2014/15 1 Bei laminarer Strömung bleibt die Nachbarschaft von Stromfäden erhalten! Bei idealen Flüssigkeiten ist die Reibung vernachlässigbar, bei zähen dominiert sie 2 Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten Im Strömungsfeld u (r ,t) hat ein Volumenelement nach dt den Weg dr udt zurückgelegt und ist an den Ort r udt gelangt. Dort hat es die Geschwindigkeit u du u (r udt,t dt) in stationären Strömungen kann sich die Geschwindigkeit => Auch ändern! z.B. durch Querschnittsreduktion Die Beschleunigung eines Volumenelements hat zwei Beiträge: Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit u /t am selben Ort Andere Geschwindigkeit am neuen Ort u /r r /t du x u x u x dx u x dy u x dz => In Komponentenschreibweise: dt t x dt y dt z dt dito für y und z Gaub ux dui ui u i uk dt t k rk uy uz 3 Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten für stationäre Strömungen =0 du u (u )u dt t mit Konvektionsbeschleunigung u x x u y u x u z x u x y u y y u z y u x z u y z u z z Bei idealen Flüssigkeiten Reibung Vernachlässigbar => Eulergleichung du u 1 (u )u g grad p 2u dt t r Navier-Stokes Gleichung Gaub WS 2014/15 4 Kontinuitätsgleichung Durch ein Rohr mit sich änderndem Querschnitt fliest die Masse dM / dt = r A1 ux1 = rA2 ux2 = const => ux1 / ux2 = A2 / A1 Def: Massenflussdichte In V sei die Masse j r u M r dV V Sie ändert sich durch den Fluss durch die Oberfläche S M r u dS j dS t S S Gauss r u dS div( r u ) dV (Bronstein S V dbx dby dbz div(b ) b dx dy dz t r dV V V ) r dV div(ru )dV t V r div(r u ) 0 t Bernoulli-Gleichung Unter Druck wird Gas oder Flüssigkeit durch ein Rohr getrieben. Verjüngt sich der Querschnitt muss das Medium beschleunigt werden Um ∆V1 = A1 x1 gegen p1 zu bewegen benötigte Arbeit: ∆W1 = F1 ∆x1 = p1 A1 ∆x1 = p1 ∆V1 dito für den dünnen Teil: ∆W2 = p2 A2 ∆x2 = p2 ∆V2 Die geleistete Arbeit erhöht die potentielle Energie des Systems! Bei idealen Flüssigkeiten (reibungsfrei!) bleibt die Gesamtenergie konstant! p1 ∆V1 + ½ ru12 ∆V1 = p2 ∆V2 + ½ ru22 ∆V2 => p1 + ½ ru12 = p2 + ½ ru22 Gaub da ∆V1 = ∆V2 = ∆V => p + ½ ru2 = p0 = const BernoulliGleichung Statischer Staudruck Gesamtdruck Druck (bei u = 0) 6 Bernoulli-Gleichung Gaub Bernoulli-Gleichung Gaub 8 Laminare Strömung Strömung, welche durch innere Reibung bestimmt wird Bsp.: Blut in den Adern Wasserleitungen Experiment: z du z F Viskose Schubspannung A dx F,v FR A d x du z dx Viskose Reibung = Viskosität = dynamische Zähigkeit ~ eE 0 / k BT thermisch aktivierte Hüpfprozesse Gaub WS 2014/15 9 Abschätzung der Randschichtdicke im unendlich ausgedehnten Medium Platte der Fläche A wird um ihre Länge L in viskoser Flüssigkeit verschoben z F,u0 Dazu benötigte Arbeit: u(x) L du dx u A L 0 D WR FR L A L D x Dabei mitgeführte Flüssigkeit: dm r A dx r 1 2 Ekin u dm 2 2 D 0 2 x 2 1 2 A r D u 2 u u A dx 0 0 0 D 3 Die Arbeit WR wird teilweise dissipiert Ekin W R Gaub 3L D r u0 10 Beliebige Strömung in z-Richtung mit z uz (x0+dx) uz (x0) uz (x0-dx) u z u z 0 y z u z dx ... x Taylor-Entwicklung linearisiert uz(x0+dx) u z ( x0 ) FR dFR (x0 dx) dFR (x0 ) u z u z dy dz x x x0 dx x0 dx u z 2 u z uz FR dy dz 2 dx dV = dx dy dz x x x0 x x x0 2 u z dx dy dz 2 Allgemein: x 2uz 2uz 2uz 2 uz dF dV R z 2 2 2 d V y z x x 2 dV u z LaplaceOperator: 2 2 2 2 2 2 x y z => FR u dV 11 x 0 Bsp.: Laminare Strömung zwischen zwei Platten z p(z+dz) Druckdifferenz treibt Fluss: z1+dz dz p = p(z) z1 dy dx -d +d p(z) x dp dp 0 dx dy Druckkräfte: dF ( z1 ) dx dy pz1 dF ( z1 dz ) dx dy pz1 dz dp dx dy p z1 dz dz dp dp dF ( z1 ) dx dy dz dV dz dz Gaub WS 2014/15 12 Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft dp dV dz d 2u 1 dp dz dx 2 u dV du x dp C1 dx dz x 2 dp u C1 x C2 2 dz Randbedingungen des Experiments: Symmetrie du 0 dx x 0 u(d ) u(d ) 0 keine Strömung an den Plattenrändern u(x) Gaub 1 dp 2 d x2 2 dz d 2 dp C2 2 dz WS 2014/15 13 Bsp.: Laminare Ströhmung durch ein Rohr analog zu vorherigem Beispiel: dA Kraft auf Zylinder = Viskose Reibung du r 2 p 2r L dr r r + dr R u (r ) L r mit u(R) = 0 u(r) dV dz dA dA u (r ) dt dt p r 'dr ' C 2L p 2 2 R r 4L durch Hohlzylinder mit dem Innenradius r und der Dicke dr fließt pro Zeiteinheit: dV 2r dr u(r ) dt Fluß durch gesamten Zylinder: V t Gaub WS 2014/15 R 2r u(r ) dr r 0 14 R V 2 p r R 2 r 2 dr t r 0 4L R p 2 R 3 R r d r r d r 2L r 0 r 0 p 2 1 2 1 4 R R R 2 L 2 4 V R4 R 4 p I p t 8L 8 z Hagen-Poiseuille-Gesetz 3rRK u0 Viskose Reibung einer Kugel : FR 6 RK u0 1 8 (Herleitung Oseen) Stokessches Gesetz 2 RK 2 Experiment Kugellfall => g rK rFl 9 u0 Gaub WS 2014/15 15 Dimensionslose Zahl bestimmt Einsetzen der Turbulenz Mittlere Geschwindigkeit Charakteristische Länge Wichtig für Ähnlichkeitstransformation. r U L 2 Ekin Modell halber Grösse verhält sich in Re WRe ibung Medium halber Viskosität gleich Re 1000 Turbulenz typisch 1 laminare Strömung L mm in Wasser: 10 Life Sciences: Innerhalb von Zellen immer laminar Problem Micro Fluidics: http://www.vidoemo.com/yvideo.php?i=UTZWUE1ScWuRpZkRvb2M&translume-flow-sheath Durchmischung nur durch Diffusion möglich x x0 N x0 Gaub x2 D WS 2014/15 ~ 1 μm/sec Life at Low Reynolds Numbers: ”Swimming in molasses, walking in a hurricane“ Dean Astumian Reynolds number: R= ≈ dvr e.g. bacterium 10-6 m * 10-5 m/s * 103 kg/m3 10-3 R= Thermal noise power: 10-5 kg/ms => No turbulences! Pth ≈ ≈ kBT thermal relaxation time 4*10-21 J 10-10 s ≈ 10-11 W Compare to power of motors: Pmech ≈ 10-12-10-17 W! See Astumian & Hänggi, Physics Today Nov. 2002, 33-39 17 Intracellular Traffic over Long Distances Axon See Joe Howard et al. MPI Dresden Manfred Schliwa et al. LMU Melanocyte Gaub WS 2014/15 18