Transcript 7.1
Newton‘s Mechanics
Stellar Orbits
Gravity
Galilei
Leibniz
Gaub
WS 2014/15
1
Statistical Mechanics
Steam Engine
Chemical Reactions
A + B AB
Gaub
Mayer
Joule
Helmholtz
Clausius
Kelvin
Boltzmann
Gibbs
WS 2014/15
2
Molekular-Dynamik Rechnungen
Nobelpreis 2013!!!
Gaub
WS 2014/15
3
MD Simulations Water
http://www.youtube.com/watch?v=x8Atqz
5YvzQ
http://www.youtube.com/watch?v=B3cXuisH8PI
Gaub
WS 2014/15
http://www.youtube.com/watch?v=xcMS
Hy3CqXA
4
§7 Gase
Kinetische Energie der Teilchen größer als die potentielle Energie der
gegenseitigen Anziehung
Teilchen bewegen sich frei mit beliebig großem Abstand
makroskopische Betrachtung
Boyle-Mariotte‘sches Gesetz:
bei konstanter Temperatur gilt
V
dV
const.
2
p
dp
p
Def: Kompressibilität
p V = const.
1 V
1
V p
p
const .
m
p
m
V
=> für konstante Temperatur ist p ~ ρ
Gaub
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T=const.
5
Makroskopische Betrachtung
Möglichkeit zur Messung des Druckes:
Quecksilbermanometer
Im Gleichgewicht gilt:
g h p p0
Bei Zimmertemperatur ist der
Dampfdruck von Quecksilber
vernachlässigbar.
Normaldruck:
1 torr 1 mmHg
Gaub
1 atm 101325Pa
N
p 1 2 1Pa
m
1
atm 133,33 Pa
760
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Luftdruck und barometrische Höhenformel
Herleitung der barometrischen Höhenformel
Abnahme des auf der Fläche A lastenden
Gewichts mit der Höhe:
dFG g dm g h dV g h A dh
dp g h dh
mit
p h
p0
0
const.
p
dp g
h
p0
ph dh
ph
0
ln
h
g
p0
p0
dp
0
g
p' h
p dh '
0
p 0
0
mit po= 1013hPa und 0= 1.24 kg/m3
'
0
ph p0 e
ph 1013 hPa e
g
h
8,33 km
0
p0
h
Luftdruck und barometrische Höhenformel
ph p0 e
g
0
p0
h
ph p0 g h
Wie in Flüssigkeiten tritt in Gasen Auftrieb auf. Schweben entspricht
Schwimmen in Luft!
Für einen Ballon mit Masse M und Volumen V gilt:
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M g V Luft g
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§7.3 Kinetische Gastheorie
Das ideale Gas
Gas aus starren Kugeln (Atome oder Moleküle) mit r0
Stöße der Teilchen untereinander und mit der Gefäßwand
erfüllen Energie- und Impulssatz
Wechselwirkung nur bei Berührung
Wechselwirkungspotential V:
0
V r
für r 2r0
für r 2r0
(Hardcore-Potential)
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Das ideale Gas
Vorraussetzung:
Atomradius << mittlerer Atomabstand
Behandlung der Atome/Moleküle als Massenpunkte
Druck p des Gases wird über Impulsübertrag auf die Gefäßwand verstanden:
F
d mv
A
dt A
Treffen im Zeitintervall dt N dt Moleküle mit der Geschwindigkeit v
senkrecht auf die Fläche A, dann ist der pro Sekunde übertragene Impuls
2 N
m v.
p
Gaub
p 2 Nm
v
A
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Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
Nur Betrachtung der Translation, keine Rotation oder Schwingung!
Anzahl Z der in der Zeit Δt auf das Wandstück A treffenden Moleküle:
Z nx v x A t
wobei n x die Dichte der Moleküle ist,
die sich mit der Geschwindigkeit v x
in x-Richtung bewegen.
Jedes Molekül überträgt den Impuls
px 2 m vx
F Z
p x
v
2 Zm x
t
t
F
p
2 m nx v2x
A
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Grundgleichung der kinetischen Gastheorie
Bewegung in y- und z-Richtung bleibt beim Stoß unbeeinflußt.
Da der Druck eine isotrope Größe ist, gilt:
v
2
x
1
N
N v v
x
2
x
dv x v
2
y
v
2
z
1 2
v
3
Im Mittel fliegen gleich viele Moleküle in
+x- wie in –x-Richtung
p
p V
Gaub
1
1
2
n 2 m v2x m n v2 n E kin
2
3
3
2
N Ekin
3
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Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur
Experimentell ergibt sich für konstantes N,
dass p V nur von T abhängt.
E kin
1
m v2
2
hängt nur von T ab.
Es gibt eine Temperaturskala, für die gilt:
E kin ~ T
Definition der absoluten Temperatur T:
1
3
2
mv
kT
2
2
mit der Bolzmann-Konstante
pV N k T
k 1,380541023
J
K
allgemeine Gasgleichung
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Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur
Jedes Teilchen kann sich in x-, y- und z-Richtung bewegen.
3 Freiheitsgrade der Translation
Die mittlere kinetische Energie eines Teilchens bei der
Temperatur T ergibt sich zu:
E kin
1
k T pro Freiheitsgrad
2
Reale Moleküle können Energie auch in Rotation und Schwingung
aufnehmen
mehr Freiheitsgrade
Gleichverteilungssatz: (allgemeine Herleitung in T4)
In einem Gas verteilt sich die Energie stets gleich auf alle Freiheitsgrade.
Bei f Freiheitsgrade hat jedes Teilchen im Mittel die Energie
E kin f
Gaub
1
kT
2
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Verteilungsfunktion
Allgemeine Herleitung des Drucks erfordert mathematische Definition
der Verteilung der Geschwindigkeit auf die Moleküle.
Verteilungsfunktion f(v)
Für die Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung muss gelten:
f v x dvx
N v x dvx
N
mit N
N v dv
x
x
Die Anzahl der Teilchen im Intervall v x ; v x dv x ist dann:
Nvx dvx N f vx
dvx
f v
x
1
dvx
N
Nv dv
x
x
1
Bem:
f v d v
1
0
Die Anzahl der Teilchen mit v u ist:
x
N v x u N
f v dv
x
u
x
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Von allen Seiten des Halbraums prallen Moleküle auf die Wand
Auf ein Flächenelement dA prallen während des Zeitintervalls Δt im Mittel dZ
Moleküle im Geschwindigkeitsfenster v+dv aus dem Raumwinkelbereich dΩ,
der um den Winkel ϑ gegen die Flächennormale geneigt ist
dZ n f v dv v t dA cos
d
r d r sin d
r
2
d
4
d sin d
Die Impulsänderung eines Teilchens ist :
p 2 m v cos
Impulsübertrag durch dZ Teilchen im
Zeitintervall Δt ist dann dZ p t
p
p total
dA t
Gaub
2 nm
4
2
2
v f v dv cos
2
2
sin d d
0 0
v0
v2
2π/3
p
1
n m v2
3
16
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Aus der barometrischen Höhenformel ergibt sich durch Erweitern mit dem Volumen
V einer Gasmenge der Masse M = mN =V und der Teilchenzahldichte n=N/V
0 e
0 g h
p0
0 e
M gh
N kT
nh n0e
Modell: Moleküle starten auf der Erdoberfläche
mit der Geschwindigkeit vz senkrecht nach
oben und
erreichen die Höhe h:
mgh
kT
n0 e
E pot
kT
m 2
vz m g h
2
=> Die Anzahl der Moleküle, über die Höhe h
hinausfliegen,
ist gleich der Zahl, die von z = 0
aus mit Geschwindigkeiten vz>u starten.
Nvz u z 0 Nvz 0 z h
17
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Allgemein gilt für die Anzahl N(vz)
der Moleküle mit der Geschwindigkeit
vz die pro Zeit ∆t durch ein FlächenN z
stück ∆A fliegen (Flussdichte):
N vz
nvz vz
Az t
Aus der Annahme einer isothermen Atmosphäre
folgt, dass die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion unabhängig von der Höhe ist.
Nvz 0 z h nh
Nicht die mittlere Geschwindigkeit, wohl
aber die Flussdichte nimmt mit der Höhe ab: N vz 0 z 0 n0
v f v dv
z
z
z
vz 0
v f v dv
z
vz 0
z
z
Nvz 0 z h nh
nh C(T ) Nvz u 0 C(T ) n0 vz f vz dvz
Nvz 0 0
Nvz 0 0
n0
vz u
2
m gh
m u
kT
2 kT
Es gilt aber auch: nh n0 e
n0 e
Const (T)
m u2
2 kT
18
v z f v z dvz C1T e
Nvz u 0
u
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Differentiation nach u liefert: u f u
mu
kT
C1T e
m u2
2 kT
m u2
m
2 kT
mit: C2
C1 T f u C2 e
kT
m
C2
weil f u du 1 und
2 k T
m u2
m
2 kT
Symmetrische
f u
e
Gaussverteilung
2 k T
Ist die mittlere kinetische Energie sehr groß gegen die
Differenz der potentiellen innerhalb eines abgeschlossenen Volumens V, ist keine Richtung ausgezeichnet.
3
2
e
x2
dx
m 2m kv T
f v
2 k T
e
2
19
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
Geschwindigkeitsvektoren mit der Länge v+dv enden in einer infinitesimalen
Kugelschale mit dem Betrag der Geschwindigkeit als Radius. Ingegration über
2
alle Richtungen liefert den Faktor: 4 v dv
3
2
Zahl der Moleküle pro Volumeneinheit mit einer Geschwindigkeit
im Betrag zwischen v undv+dv
Mittlere Geschwindigkeit
m
2
2
nv dv n
4
v
e
2 k T
3
2
m
v v f v dv 4
2
k
T
0
Mittlere Geschwindigkeitsquadrat
3 kT
fkT
2
2
v v f v dv
m
m
0
Wahrscheinlichste Geschwindigkeit
dn
0 vw
dv vw
2 kT
m
m v2
v
3
e
m v2
2 kT
dv
8 kT
m
0
kT
2 vw
dv
Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung
nv dv n
4v
v
3
w
2
e
m v2
2 kT
n
dv
4 v
2
3
w
v
e
v2
v w2
dv
Die Geschwindigkeitsverteilung hat eine
ausgeprägte Temperaturabhängigkeit
vw
2 kT
m
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