§6 Reale Feste und Flüssige Körper

Atomares Modell der Aggregatszustände

Kraft auf ein Atom: r

F



 r

F i

 

i





von der Anordnung der Atome ab r

F

 

grad E pot



Gaub WS 2014/15 1



Atomares Modell der Aggregatszustände

Beschreibung des Festkörpers als Kristall: Ortsvektoren der Atome: r

r i



n

1

i

r

a



n

2

i

r

b



n

3

i

r

c

Gaub  r

a

, r

b

, r

c

spannen die Einheitszelle auf.

WS 2014/15 2

Atomares Modell der Aggregatszustände

Beschreibung der Kräfte im Kristall durch Federn:  Atome schwingen bei der Temperatur T mit der mittleren kinetischen Energie

E kin

 1 2

k T

 Kristall: E kin << Bindungsenergie Gaub WS 2014/15 3

Atomares Modell der Aggregatszustände

Phasenübergang ins Flüssige: Potentielle Energie wird vergleichbar mit kinetischer Energie  Atome können Gitterplätze verlassen  Mittlerer Abstand nimmt geringfügig zu  Unordnung nimmt sprunghaft zu  nur noch Aufenthaltswahr scheinlichkeiten für Atome beschreibbar Durch Fäden verbundene Punktteilchen (konstanter Abstand, variabler Winkel) eignen sich als Modell.

Gaub WS 2014/15 4

Atomares Modell der Aggregatszustände

Phasenübergang zum Gasförmigen: potentielle Energie wird klein gegen die kinetische Energie  Atome können sich frei bewegen Der mittlere Abstand benachbarter Teilchen ist abhängig vom zur Verfügung stehenden Volumen.

Gaub WS 2014/15 5

Deformierbare feste Körper

Unterscheide: elastische Körper plastische Körper

Hooke‘sches Gesetz

Kraft auf einen elastischen Körper: Def.: Zugspannung:  

F

Def.: Relativen Dehnung:



q F



E



q

 

L L

Elastizitätsmodul  



N m

2 

 

L L

  

E

    1

 

Gaub   WS 2014/15 6

 



Hooke‘sches Gesetz

Das lineare Kraftgesetz ist eine Näherung, besser:

E pot

 



 

n

 0

E pot

 



E

0 

r





r



r

0 

n n

!



r

0 

 



n



r n







r E pot

 

r



r

0

E pot



r



r

0 Taylorentwicklung von E um



1 2 

r



r

0  2

 

 2 

r

2

E pot

 

r



r

0



1 6 



r



r

0  3

r

0

 

 3 

r

3

r

0 ist Gleichgewichtslage

E pot

 

r



r

0

 

 

grad E pot



 Für kleine Auslenkungen ist F linear.

P Proportionalitätsgrenze F Fließgrenze Z Zerreißgrenze Gaub

Hooke‘sches Gesetz

Die Fließgrenze markiert das Ende der elastischen Verformbarkeit.

Überschreitung: Gitterebenen verschieben sich Verschieben von Gitterebenen nicht mit beliebig kleiner Kraft möglich, weil Atome über Potentialwall gehoben werden müssen: Gaub WS 2014/15 8

Querkontraktion

Volumenänderung eines Stabes mit Länge L und quadratischem Querschnitt unter Einwirkung der Zugspannung σ:

d

2



V

 



d



d



d

2  2





L



L





Ld

2 



2

d



d



d

2 





L



L





Ld

2



 2

d



dL

 

d

2

L



d

2 

L

 2

d



d



L

 

d

2 

L







 2

d



dL



d

2 

L

 





V V



V V





2

d



dL V

2



d d







L L d

2 

L

Definition der



Querkontraktionszahl:

V



L



1



2

L



d

/

d



L

/

L

  





V V



V V

     

L

/

L



L



L E



d

 /

d

1



2 1



2     Gaub



0







1 2 9



Quer-“Kontraktion“ bei Druck

Druck statt Zug auf Fläche:

p

 

  ΔL, ΔV < 0 Δd > 0 => µ>0 Druck von allen Seiten: => Längenverkürzung



durch Druck auf auf d 2 :

 

L

 

L p

Quer“kontraktion“ =>



d





d

zwei Seitenpaare!





E

=> Dickenreduktion durch Druck auf auf Ld:



d



L



d



V V

 

d

  

L

  

d p E p E

  1 Quer“kontraktion“ =>  2  



p E

  1  2  

 

L



 Kompressibilität

L

 

L



L

2



d d

 

3

p

 1



2  

E

 

p



 

p

1

K

  1

K

 3

E

 1  2   



p E p E

Kompressionsmodul Gaub WS 2014/15 10 

Scherung und Torsionsmodul

Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche Scherspannung: 



F d

2 Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α:



 

G

 mit dem Schub- / Scher- / Torsionsmodul G



 Die behandelten Kräfte sind alle auf atomare Kräfte zurück zu führen und damit miteinander verknüpft. Für isotrope Körper kann folgende Beziehung hergeleitet werden:

E

2

G



1



 mit   1

K

 3

E

 1  2    2

G

3

K

 1 1   2   Gaub WS 2014/15 11  

Gaub WS 2014/15 12

SW carbon nanotubes

13

Beispiel: Torsion eines Drahtes

Der Draht wird aufgeteilt in Hohlzylinder mit Radius r und Dicke dr, außerdem in Segmente der Winkelbreite dφ.

Um den Draht um den Winkel φ zu verdrillen ist die Scherspannung τ nötig:





 





G r



L



dF dA

 

r



L



dF



G



dD



D

 



0

R



r



L r dF



L dA



G r



L

2 

r

3 

G dr L

2 

r

3 

G dr



2 2

L



r dr



R

4

G





D r

 Gaub WS 2014/15

  

D r



 2

R

4

L G

Richtmoment 14

Biegung eines Balkens

Ein Balken mit rechteckigem Querschnitt q = d  b wird an einem Ende fest eingespannt und am anderen belastet.

Lokal kann die Krümmung durch Kreisbogen mit Radius r beschrieben werden.

Die Länge in der Mitte des Balkens bleibt unbeeinflusst (neutrale Faser).

Eine Schicht in Höhe z des Balkens (z=0 entspricht der neutralen Faser) wird also verlängert um: 

l

 Für diese Längenänderung nötige Zugspannung:  

z E

 

l l

 

z E l r r z

 

Biegung eines Balkens

   Die auf eine rechteckige Schicht des Balkens mit der Breite b, der Höhe dz und dem Abstand z von der neutralen Faser, wirkende Kraft ist :

dz z z = 0 b

dF

 

b dz



b E r z dz

Dementsprechend wirkt das Drehmoment:

dD



z dF



b E z

2

dz r

 Über die gesamte Balkenhöhe ergibt sich:

D



b E r

d



d

2 2 

z

2

dz



b E r

16

d

3 12 Gaub WS 2014/15 

Biegung eines Balkens

Ursache der Biegung ist eine Kraft bei L, die an der Stelle x das Drehmoment D erzeugt:

D



F

0 

L



x

  Der Balken biegt sich so lange, bis die beiden Drehmomente entgegengesetzt gleich groß sind: Die Krümmung am Ort x ist also:  Bei x=0 wird die Krümmung und damit die Zugspannung an der Oberseite (z=d/2)maximal.

 

b E r d

3 12  

F

0 

L



x

 1

r

  12

F

0

b E d

3 

L



x

  max 

E d

2

r

 6

F

0

L d

2

b

=> Einkerbung und nachfolgend Bruch des Balkens wenn  max  17



Biegung eines Balkens

Allgemein gilt für die Krümmung einer beliebigen Funktion z (x) ( Teubner): 1

r

  1 

z

  

z

   2 3 2 

z(x)

=

0

beschreibt die neutrale Faser des unbelasteten Balkens In der Näherung kleiner Durchbiegungen gilt:

z

    1 

z

    1

r

 Zweimalige Integration mit den Randbedingungen z(0) = z´(0) = 0  

x

 

a

  12

F

0

b E d

3

z



x

   

a L x

   1 2

a L x

2 1 2

a x

2  1 6

a x

3  um s (Biegungspfeil) nach unten: Gaub 

s

 WS 2014/15  1 3

a L

3   4

F b E

0

L

3

d

3 18 

Biegung eines Balkens

Die Biegung eines Balkens mit beliebigem Querschnitt a lässt sich mit der Einführung des Biegemoments B (auch Flächenträgheitsmoment genannt) analog behandeln: x Längsachse des Balkens, Querschnittsfläche:

A

Def. Biegemoment:

B

 

 

dy dz z

2

dy dz

Quader:

d b B



2 



2 

z



d

2





b

2

z

2

dy dz



1 12

d

3

b

Der Biegungspfeil s ist dann allgemein gegeben durch:

s

 

3

L

3

E B F



Andere Beispiele:



Gaub

Biegung eines Balkens

Liegt der Balken auf beiden Enden und die Kraft F wirkt in der Mitte, so wird die maximale Durchbiegung s:

s

 

4

L

3

E d

3

b F



Die Kraft F verteilt sich je zur Hälfte auf beide Balkenhälften der Länge L/2  s wird um den Faktor 16 kleiner!

Gaub WS 2014/15 20

Elastische Hysterese, Deformationsarbeit

Unter Einwirkung der Zugspannung σ erfährt ein Körper die Elongation ε.

Im ε-σ-Diagramm wird dabei der Weg 0A zurückgelegt.

Wird σ danach wieder auf 0 gesetzt, so verbleibt eine Elongation (Punkt B).

 elastische Hysterese Durch temporäres Ausüben des Druckes p = -σ auf den Körper gelangt dieser über Punkt C zu Punkt D.

Gaub WS 2014/15 21

 

Elastische Hysterese, Deformationsarbeit

Beim Durchlaufen der (geschlossenen) Kurve ABCDA, genannt elastische Hysterese-Schleife, wird die Arbeit W verrichtet.

Für einen Quader mit dem Querschnitt q ist die Arbeit W:

W

 





L

 0 0  

F dL q





L d

 0 

L



q

 

V dL

0   

d

 pro Volumeneinheit zu verrichtende Arbeit Im Geltungsbereich des Hooke‘schen Gesetzes gilt:  Außerhalb des Bereiches σ ~ ε gilt:  

d





0  

E





W elast



1 2

E V

 2

 

Die Härte eines Festkörpers

Die Härte gibt den Widerstand eines Körpers beim Eindringen eines anderen an.

Ritzverfahren: Der härtere Körper ritzt den anderen.

 Mohshärte Härteprüfung in der Technik: Brinellverfahren Die Eindrucktiefe h misst die Brinellhärte.

Keine analytischen Beschreibungen mehr!

- numerische Verfahren, - finite Elemente Rechnungen Gaub WS 2014/15 23