Transcript Document

Literatur:
W. Demtröder, Experimentalphysik 1,
Springer Lehrbuch
P. A. Tipler, Physik, Spektrum Akad. Verlag
Meschede: Gerthsen Physik, Springer Verlag
Bergmann, Schäfer : Lehrbuch der Experimentalphysik“
R.W. Pohl „Mechanik, Akustik und Wärmelehre“
The Feynman Lectures on Physics, Vol.1, Addison Wesley
Walther Levine, MIT Open Courseware
Gaub
E1 WS14/15
1
Physik
Die Physik sucht in der Vielzahl der Naturerscheinungen nach
Gesetzmässigkeiten und Zusammenhängen, die sie mit
möglichst wenigen Grundprinzipien erklären kann
Die Mathematik ist die natürliche Sprache der Physik
Die Gültigkeit physikalischer Gesetze wird
durch Experimente geprüft
Gaub
E1 WS14/15
2
Physik
Die Physik ist die Wissenschaft der unbelebten Welt
Die Physik ist die Wissenschaft der Wechselwirkungen
"Daß ich erkenne, was die Welt / Im
Innersten zusammenhält" (V. 382 f.)
Gaub
E1 WS14/15
3
Erkenntnisgewinn:
Beobachtung
Analyse
Hypothese
Experiment
Physikalisches Gesetz
Gaub
E1 WS14/15
4
Gaub
E1 WS14/15
5
Eine umfangreiche Sammlung optischer Täuschungen findet sich unter
http://www.michaelbach.de/ot/
Gaub
E1 WS14/15
6
"Die mathematischen Prinzipien
der Naturphilosopie""
Newtonsche
Mechanik :
mathematische
Theorie
physikalischer
Beobachtungen
Theorie /
Modell
Beobachtungen
Experiment
Vorhersagen
Gaub
Galilei: gilt als der erste
„Experimentator“
Erkenntnis
E1 WS14/15
7
Messverfahren und Normale
Messen heißt immer zwei Größen miteinander zu vergleichen. Für einen
einheitlichen, zahlenmäßigen Vergleich werden Standards, sogenannte
Normale festgelegt. Der Messvorgang sollte folgende Kriterien erfüllen :
Forderungen an eine physikalische Messung:
1. reproduzierbar (Invarianz der Naturgesetze)
2. quantitativ (d.h. zahlenmäßig in Maßeinheiten)
3. genau (unter Angabe eines Messfehlers)
Forderungen an ein Normal:
Normale müssen mit genügender Genauigkeit, reproduzierbar
und mit vertretbarem technischen Aufwand mit zu messender
Größen vergleichbar sein.
Die menschliche Wahrnehmung ist für physikalische Messungen
nur bedingt brauchbar. (siehe Demonstrationen)
Gaub
E1 WS14/15
8
Eine Messung ist der Vergleich
zweier Grössen miteinander
Scale
Gaub
Balance
Aus Erfahrung:
Je höher die Symmetrie im Aufbau, desto genauer die
Messung
E1 WS14/15
9
Die Basiseinheiten (SI-Einheiten)
SI: système international d’unités
Fundamentale Grundgrößen:
war
Länge:
ist heute
1m 
Erdquadrant
10.000.000
c 0  299.792.458
Sonnentag
60  60 24
Zeit:
1s 
Masse:
1kg1dm H2O@4 C
m
s
 Cs  9.192.631.770,0
3
1
s
? Atommassen im Kern
Weitere Grundgrößen des SI-Systems (zweckmäßig):
Stoffmenge:
1Mol  6,022136710 Teilchen
Temperatur:
1K 
Stromstärke:
1A  1,1180mg
Gaub
23
TripelH 2O
273,16
Ag
s
E1 WS14/15
1Mol  6,022136710 Teilchen
23
Ekin Gas
Kraft zwischen zwei Leitern
10
(SI - Vorsätze)
Vorsilben
zur Bezeichnung von dezimalen Vielfachen und Teilen
Gaub
E1 WS14/15
11
Einheit der Länge
Heute gültige Definition : Meter [m]
1 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der
Dauer von 1/299 792 458 Sekunden durchläuft.
=> Relative Messunsicherheit : 10-14
1875 : Das Urmeter (Paris)
1960 Definition über die
Wellenlänge des KryptonIsotops 86
Seit 1983 ist die Lichtgeschwindigkeit auf c0=299 792 458 m/s festgelegt.
Gaub
E1 WS14/15
12
GPS
Triangulation mit Radiosignalen
Gaub
E1 WS14/15
13
Größenordnungen in der Physik
10
n
Logarithmische Skala
Gaub
E1 WS14/15
14
Gaub
E1 WS14/15
15
Zeitenskalen
sec
Gaub
1018
1015
1012
109
106
103
1
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10-24
Alter des Universums ( 5*1017s)
Alter der Erde (1.6*1017s)
Erste Menschen (2*1013s)
Alter der Pyramiden (2*1010s)
1 Jahr = 3,15 107 s , 1 Tag 8,64 104 s
Zeit die Licht von der Sonne zur Erde benötigt (5*102 s)
Abstand zwischen Herzschlägen
Periode einer Schallwelle
Periode einer Radiowelle
Licht legt 30cm zurück
Periode einer Molekülschwingung
Periode einer Atomschwingung
Licht legt Atomdurchmesser zurück
Periode einer Kernschwingung
Licht legt Kerndurchmesser zurück
E1 WS14/15
16
Einheit der Zeit
Heute gültige Definition : Sekunde [s]
1 Sekunde ist das Zeitinterval, während dessen die Cäsiumuhr
9 192 631 770,0 Schwingungen macht.
=> Relative Messunsicherheit : 10-14
Ursprüngliche Definition:
1s = 1/(60 60 24)
= 1/86400 eines mittleren
Sonnentages
Atomuhren gehen auf 20 Millionen Jahre 1 s falsch.
Gaub
E1 WS14/15
17
Gaub
E1 WS14/15
aus Demtröder, 2003
18
Frequency
Comb
Gaub
E1 WS14/15
19
http://nobelprize.org/mediaplayer/index.php?id=858
Gaub
E1 WS14/15
20
Einheit der Masse
Heute gültige Definition : Kilogramm [kg]
1 Kilogramm (kg) ist die Masse eines Platin-Iridium-Zylinders, der als
Massennormal in Paris aufbewahrt wird.
=> Relative Messunsicherheit : 10-9
Das Urkilogramm
Gaub
E1 WS14/15
21
Massen und Längen im Universum
Gaub
E1 WS14/15
22
Stoffmengeneinheit
Definition
1 mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensovielen Teilchen
besteht, wie Atome in 0,012kg des Kohlenstoffnuklids 12C enthalten sind.
Die Anzahl Teilchen in einer Stoffmenge von 1 Mol ist die
Avogadro-Konstante NA= 6,022·1023/mol
N
n
NA
N : Teilchenzahl [einheitenlos]
n : Stoffmenge [mol]
In der Atomphysik und Chemie werden auch Atommasseneinheiten benutzt.
Dem Isotop 12C wird die Atommassezahl 12 zugeordnet
1 12
m C  1,66053 10 27 kg
Eine Atomare Masseneinheit (amu) =
12
Gaub
E1 WS14/15
23
Wer misst misst Mist!
Gaub
E1 WS14/15
24
Wer misst misst Mist!
Systematisch Fehler
Kalibrierfehler
Hintergrundsignale
nj
Statistische Fehler
x
Gaub
∆xj
E1 WS14/15
Thermische Fluktuationen
Schrotrauschen
1/f Rauschen
xj
25
.
Stärke der
Koordinativen
Bindung zwischen
Gold und dem
primären Amin der
Nukleinsäure
Thymin
F ≈ 10 nN/s
PEG
C,G,A
Au
T
Gaub
E1 WS14/15
26
Wer misst misst Mist!
Kalibrierfehler
Hintergrundsignale
Systematisch Fehler
nj
Statistische Fehler
xj
∆xj
x
Thermische Fluktuationen
Schrotrauschen
1/f Rauschen
n
Mittelwert x definiert durch
S  x  x i   Minim um
2
i1

Gaub

n
dS

 2 x  xi   0
dx
i1
E1 WS14/15
1 n
 x   xi
n i1

Arithmetisches
Mittel
27
Fehler
1 n
Def.: Wahrer Wert: xw  lim  xi
n n
i1
Def.: Absoluter Fehler der Messung i: ei  x w  x i

Def.: Absoluter Fehler des Arithmetischen Mittels:   x w  x

1 n
1 n
  x w  x  x w  x i    ei
n i1
n i1
2



1
1
1
1
 2  2  ei   2 e 2 i  2 eie j  2  e 2 i
n i ji
n  i  n i
n i
1 n
weil lim  ei  xw  xw  0
 0

n n
–>
i1



Def.: Mittlerer Fehler
des arithmetischen Mittels:  m   2 

x
1
1
2

e

i
n
n2
w  xi 
2
i
Def.: Arithmetisches Mittel der
1 n
2
1
2
2
quadatischen Abweichungen der Einzelmessung: e  ei  x w  x i 
n

Def.: Standardabweichung:  

Gaub
Zufällige Fehler lassen sich durch
wiederholte MessungenE1"ausgleichen"
WS14/15


=>


e2

m 
n
i1
x
 xi 
2
w
n

n
28
Streuungsmasse
Problem:
Da bei endlicher Zahl der Messungen i der wahre Wert xw nicht bekannt ist und somit auch
ei und , bzw m nicht bestimmbar sind, Übergang zur Grössen relativ zum Mittelwert
Def.: Abweichung vom Mittelwert:
v i  x  x i  x w  x i  x w  x   ei  
Def.: Mittlere quadratische
1
Abweichung vom Mittelwert: s 2 

1 n 
weil    ei ==>
n i1
1
2
e


i 

n i
n i
2
 2
 1
2
 ei   ei  
n i
 n i 
s2 

 v i2 
Gaub


n
1
n 1 2
2
2
2
2
2
e


    m  n 1 m 


i

n i
n
2

Alternative Schreibweise
s 2  xw  xi   xw  x 

m 
2


1
1
2 
2
2
s E1 WS14/15
vi   x  xi 

n i
n i
Vergleich
29
x  xi 
2
=> Standardabweichung der Einzelmessungen:

n 1
x  x 
2
 Mittlerer Fehler des Arithmetischen
Mittels:
(Standardabweichung des Mittelwerts)
m 
i
nn 1

Gaub
E1 WS14/15
30
Verteilungsfunktion
Übergang zu normierten Verteilungen der Messwerte
nj/n
1 k
x   n i  x i
n i1
F = ∆ni/n
f(x)
k
m it

x
∆xj
xj
Gaub
i
n
i1

Verteilungsfunktion
f x  1 nlimni xi 
Übergang zu infinitessimalen Intervallen, k–>oo
für ∆xi 0 geht ∆ni  0, aber
ni = ∆ni/∆xi bleibt endlich!
n
 1 n dn dx

E1 WS14/15
f(x)dx gibt die Wahrscheinlichkeit, den
Messwert bei x im Interwall dx zu finden
31

Eigenschaften der Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion ist normiert:
 f x dx  lim1 n n x  1
k
weil
 x n  n
i
i i
i
i1
Varianz

  e

2
2


 x
 x  f x dx
2
w

Wenn nur statistische Fehler auftreten


Normalverteilung
(Gausssche Glockenkurve)
f x  
Gaub
E1 WS14/15
1
2
2
e
xx w 
2
2
2
32
f x  
Normalverteilung
 = 1/4
f(x)

1
x - xw

Anmerkung : Bei gequantelten statistischen
Vorgängen z.B. Photonenzählen geht die
Gauss- in die Poissonverteilung über

x x x
f x   e
Gaub
x!
e
P x w  x i    
 =1
0
2
2
xx w 
2
2
2
Hat man aus n Messungen 
bestimmt, so ist die
Wahrscheinlichkeit, dass ein weiterer
Messwert innerhalb der
Standartabweichung liegt
 = 1/2
-1
1
x  ganzzahlig E1WS14/15

x w 
 f xdx
x w 
Einsetzen und Integrieren ergibt:
Pei     0,683(68% Vertrauensbereich)
Pei  2   0,954(95% Vertrauensbereich)
Pei  3   0,997(99% Vertrauensbereich)
33


Fehlerfortpflanzung
Zu bestimmende Grösse y sein Funktion der Messgrösse x => dy
df x 

dx
dx
x  xi 
2
x 
n-malige Messung liefert Standardabweichung

y
y
Vorsicht
Fehler im
Demtröder

f x 
dy
n 1
 y  yi 
2
y 
n 1
(x  xdf x/ dx)
2


x


x
x  dx

 
Gaub

n 1
df x
 y  
   x
 dx x
„Fortgepflanzte“ Standardabweichung
E1 WS14/15

34
Fehlerfortpflanzung
Zu bestimmende Grösse sei Funktion zweier Messgrössen f(x,y) , die jeweils unabhängig
voneinander fehlerbehaftet seien
x  x  x 
Mittelwert aus n Messungen

y  y  y 
Mittelwert aus m Messungen



Taylorentwicklung
 
von f x, y um x , y
v
f ik  f x i, y k   f x  v i , y  uk 
2
i
n 1
u


2
k
m 1
mit v i  x i  x
mit uk  y k  y


f x, y
f x, y
 f x , y  vi 
  uk 
  ...
 x x
 y y
Lineare Näherung
Gaub
E1 WS14/15
35
Mittelwertbildung:

1
1 n m 
f
f
f
fik 




f x , y  vi x , y  uk x , y 
nm i k
n  m i1 k1 
dx
dy

Da
1 
f
f 
f

x, y= constant
n  m  f x, y   mv i  n uk 
dx
n  m 
x
y 
i
k
 und
v  u
i
k
0

f  f x , y 
Das arithmetische Mittel der
Funktionswerte ist gleich dem
Funktionswert der
arithmetischen Mittelwerte der
Messgrössen
Herleitung der Standardabweichungen mühsam siehe Bergmann Schäfer o ä.

2
2




f
f
 f   x2    y2  
x 
y 
Wegen
a  b  a  b 
2
Gaub
2
2
2




f
f
f w x, y   f x, y    x2    y2  
x 
y 
f
f
f  f w  f x, y    x
 y
E1 WS14/15
x
y 36
Ausgleichsrechnung
Sei die Messgenauigkeit einer
Grösse viel höher als die der
anderen, hier z.B. ∆x << ∆y
S  yi  axi  b
2





x

S
 2 x i y i  axi  b  0
a
i1
n
S
 2y i  axi  b  0
b
i1
a und b entsprechen mit
68% Zuverlässigkeit
dem wahren Wert
a  x i2  b  x i   x i y i
i
i
i
i
b  1 nyi  a nxi


 x  y   x  x y 

b
2
i
i
i
i i
d
a
E1 WS14/15 
i
a 
xi  b n   yi
2
mit d  n   x   x j 

Gaub
y  ax  b
n
2
i
Weiterführend:
- Maximum
likelihood estimator
- Bayesian inference

 
Gesucht: Ausgleichgerade
Minimierung der Summe
der Abweichungsquadrate
y
n
 x y   x  y 
i i
i
i
d
37
Beispiel: Herzschlagfrequenzen ruhender Fledermäuse
aufgezeichnet in Panama (Quelle: Uni Konstanz)
Gaub
E1 WS14/15
38
Nicht die Zeitmessung unterliegt hier statistischen Schwankungen sondern
eine Grösse von der die Frequenz exponentiell abhängt!
ln (heart rate)
Gaub
E1 WS14/15
39